長周期結構地震瞬態反應研究

吳 琛，周瑞忠

(1.福建工程學院 土木工程系，福州 350108;2.福州大學 土木工程學院，福州 350108)

長周期結構地震瞬態反應研究

吳 琛1，周瑞忠2

(1.福建工程學院 土木工程系，福州 350108;2.福州大學 土木工程學院，福州 350108)

傳統動力學理論通常認為地震瞬態反應可以忽略。基于簡諧地震反應的基本理論，引進小波包分解技術，推導了實際地震動作用下，多自由度體系瞬態反應的計算方法。分析了等效單自由度體系的反應譜特性以及瞬態振動的規律。明確了長周期結構的最大位移可能出現在結構瞬態振動中，其值甚至超過結構在地震激勵期間所發生的共振位移。通過實際地震動作用下長、短周期結構瞬態反應的比較，表明短周期結構主要由穩態振動控制，而長周期受瞬態振動影響顯著。因此，長周期結構抗震不僅要避免共振發生，還須充分考慮到結構瞬態振動的位移破壞。

振動與波;長周期結構;瞬態反應;小波包分析;反應譜

傳統的結構動力學理論［1］認為，由于阻尼的影響，由自由振動和伴生自由振動構成的瞬態自由振動隨時間很快就消失了，因此通常不予討論，而只強調穩態振動的作用。關于這一點，近期的研究［2－4］以簡諧荷載為輸入，經位移解析解分析認為，當激震頻率相對結構自振頻率較大時，瞬態自由振動可以引起結構很大的位移反應，因而對于長周期高柔結構或基礎隔震結構而言，瞬態振動不能被簡單地忽略。

簡諧震動的位移解析解為地震瞬態反應的研究提供了理論基礎。但在工程實踐中，研究結構的實際地震反應才更具有實用價值。問題的難點在于:實際地震動是一種典型的寬頻帶非平穩信號，地震反應無法如簡諧荷載般用解析解來表示。當采用數值計算時，所得的計算結果為全解，無法區分瞬態反應與穩態反應，因此結構的地震瞬態反應在計算方法上具有一定的難度。本文將利用小波包分解［5］可將任意寬頻帶信號分解成若干個窄帶頻率成分之線性疊加的強大功能，以簡諧地震反應為理論基礎，實現長周期結構在實際地震作用下的瞬態反應計算與分析。

1 地震瞬態反應的解析數值求法

為利用簡諧波瞬態反應的解析法求解，現將地震動通過小波包分解成若干個頻率的線性疊加。對每個分量按照小波包系數進行線性調幅，從而將各分量擬合成簡諧波。于是，在小波空間內可建立k振型等效單自由度體系的簡諧振動方程:

經推導，方程(1)的k振型等效單自由度體系位移yk(t)由三部分組成:

至此，小波空間內等效單自由度體系在擬合簡諧波作用下的瞬態反應yk1(t)+yk2(t)已得解，進而通過一次線性調幅的逆過程即可實現小波空間到物理空間的映射。然后將各小波包分量產生的分項位移進行線性疊加，即可獲得等效單自由度體系的瞬態反應與穩態反應。

對于彈性多自由度體系而言，其動力計算可利用各振型相互正交的特性轉化為若干個等效單自由度體系的問題。于是，N自由度體系i質點的瞬態位移xti(t)和穩態位移xsi(t)可分別表達為:

其中γk為第k振型的參與系數，Xki為振型幅值。

2 等效單自由度體系瞬態反應分析

現以福州地區一座基本自振周期T1=2.10 s的27層長周期結構為例分析瞬態反應對長周期結構的影響。輸入峰值為35 gal的Taft波，持時10 s，將其經過8層“db4”小波包分解，并利用小波變換可安全有效地濾去地震動超高頻成分，提高信噪比的特點［6］，選取其中前30個分量參與計算，這30個分量經重構后仍能較好地反映原始地震波的基本特性，如圖1所示。

2.1 等效單自由度體系反應譜研究

圖1 Taft地震波及小波包分量重構信號Fig.1 Taft earthquake and the reconstructed signal by wavelet packet components

抗震設計所關注的主要是結構在地震作用下的最大反應，反應譜恰好表現出了這一要求，至于最大反應究竟發生在結構的穩態振動階段還是瞬態振動階段，當采用傳統的數值計算方法時并不明確。在本文解析數值解法的基礎上，現以結構第一自振周期T1與小波包分量振動周期Tg之比為橫坐標，分別繪制等效單自由度體系位移全解、瞬態解和穩態解的反應譜圖，見圖2。

圖2 等效單自由度體系位移全解、瞬態解、穩態解反應譜Fig.2 Response spectra of equivalent SDOF system for complete solution，transient solution and steady state solutions

由圖可見:

(1)三類反應譜均在共振區出現峰值，這與動力學及抗震理論的共振原理完全相符。

(2)全解反應與瞬態反應在長周期段的最大位移隨結構基本自振周期的增長而增大，當T1?Tg時，結構的最大位移甚至可超過共振體系的最大位移。可見，大位移不僅可能發生在共振體系中，還可能發生在外載頻率較高，結構基本自振頻率較低的長周期體系中。

(3)在長周期段，瞬態反應譜的形態與全解反應譜大致相同，而穩態反應譜則趨于一個小值常數，說明了當地震動高頻分量極為豐富時，長周期結構的最大位移往往出現在結構的瞬態振動階段，因而必須充分考慮到瞬態反應對長周期結構的影響。

2.2 等效單自由度體系瞬態反應計算與分析

為討論外載頻率較高時長周期體系瞬態振動的影響，現在30個小波包分量中，選取周期Tg≈0.32 s的高頻分量作用于上述長周期結構各振型對應的等效單自由度體系，按本文方法計算其位移瞬態解與穩態解。圖3顯示了第1、3、5階等效單自由度體系的計算結果。為驗證本文推導公式(2)～(4)之正確性，將瞬態與穩態振動疊加之總位移與Duhamel積分數值全解進行了比較。

圖3 第1、3、5階等效單自由度體系位移瞬態解、穩態解、全解及Duhamel積分數值解Fig.3 The transient solution，steady state solution and complete solution of No.1，No.3＆No.5 equivalent SDOF syst

由該圖可見:

(1)本文所提供的解析數值法能有效地從位移全解中區分出瞬態與穩態振動，二者疊加后與Duhamel積分結果基本吻合，說明該方法是有效的。

(2)當地震動高頻分量作用于第一振型時，等效單自由度體系的瞬態反應幅值較大且衰減緩慢，總位移的形態與幅值更接近于瞬態振動。可見，當高頻地震動作用于低階振型(Tj?Tgi)時，該等效體系的位移主要受控于瞬態振動。

(3)當地震動高頻分量作用于第三振型時，瞬態解約在4 s處衰減完畢，4 s內瞬態振動對于總位移的影響不可忽略，同一時刻穩態位移與總位移在方向以及幅值上的差異正是由于瞬態振動的存在引起的;當地震動高頻分量作用于第五振型時，瞬態解約在1.5 s處就衰減完畢，說明此時瞬態振動對總位移的貢獻幾乎可以忽略。可見，隨著振型階次的提高，瞬態反應的衰減越來越快，位移的振動由受瞬態反應控制逐漸轉變為受瞬態與穩態振動的共同影響，最后轉變為受穩態振動控制。由于低階振型特別是第一階振型為結構振動提供了最主要的能量［7］，因此當激震頻率較高時，長周期結構受瞬態反應的影響是很大的。

抗震基本原理［8］認為:由于地震波在由震源向外擴散傳播時，高頻分量衰減快而低頻分量衰減慢，因此當長周期柔性建筑物處在大地震、遠震中距時，易與低頻地震動分量產生共振，其震害往往要比處于中小震級、近震中距時嚴重。然而在近年來的幾次大地震中，近場地震動對長周期結構都產生了不同于理論的顯著影響。通常我們將這種現象歸因于近場地震動中的低頻分量對長周期結構產生了共振［9］，但經過以上分析，還必須注意到，在近斷層場地，地面結構主要受到地震動中體波的影響。體波中含有豐富的縱波和橫波分量，其中縱波的周期短，振幅小，而橫波的周期較長，振幅較大。盡管振幅較小的縱波本身不會使結構產生較大的位移反應，但如果再與橫波造成的結構位移反應進行疊加，那么高頻分量豐富的體波對地面結構的位移反應影響將是十分顯著的。

3 長、短周期結構瞬態反應比較

現將峰值為35 gal的Taft波分別輸入上述基本自振周期T1=2.10 s的27層長周期結構和一座T1=0.22 s的3層短周期結構中，按本文方法分別計算長、短周期結構在實際地震動作用下的頂層瞬態反應與穩態反應，并將疊加后的總位移與傳統振型分解法進行比較，見圖4、圖5。

如圖可見:

(1)采用本文所述的解析數值法進行結構地震反應計算，由瞬態振動和穩態振動疊加之總位移與傳統振型分解法的結果是相近的，說明采用本方法討論結構瞬態振動的影響是可行的。

(2)在實際地震動作用下，短周期結構的瞬態振動因阻尼的存在而迅速衰減，頂層位移的形態與幅值更接近于穩態解，說明短周期結構的振動主要由穩態反應控制，正如動力學理論所述，此時瞬態反應可以不考慮;但在長周期結構的振動中，瞬態振動對于結構變形的形態、幅值、方向都起著至關重要的作用。特別是對于考慮了基底隔震的結構，其周期遠大于原基礎固定結構的周期［10］，因而，瞬態反應在總地震反應中的作用是不可忽略的。

4 結論

(1)本文利用小波包分解將地震信號分解成有限窄帶信號，并通過線性調幅擬合簡諧波形，借助簡諧地震反應解析解實現等效單自度體系瞬態反應與穩態反應的分離，最后通過振型疊加及小波包分量疊加，求得結構在實際地震動作用下的分項位移，這一方法為地震瞬態振動的研究奠定了基礎。嚴格說來，幅值調整和線性疊加等方法只適合于線性時不變系統。但基于結構地震反應的分項定量計算目前尚無其他計算方案可資比較，并且非線性彈性階段仍可以用分段線性作為計算依據，因此，本文方法仍具有較大的工程實用意義。如何進一步增強對非線性反應的適應性、實現在實際工程中的合理應用將是我們下一步的工作，以期真正對工程設計有所裨益。

(2)從等效單自由度體系的反應譜來看，對于基本自振周期遠大于激震卓越周期的長周期結構而言，最大反應不僅可能發生在共振情況下，還可能發生在自由瞬態振動階段。因此，長周期結構抗震不僅要避免共振發生，還須充分考慮到瞬態自由振動階段的位移破壞。

(3)在高頻分量豐富的體波作用下，長周期結構振動主要受控于瞬態振動，隨振型階次的提高，位移的振動逐漸由受瞬態反應控制過渡到受穩態振動控制。由于低階振型為結構振動提供了最主要的能量，因此，高頻分量引起了長周期結構很大的位移，該位移甚至超過結構在地震激勵期間所發生的共振位移，這是除共振外，近場地震動頻頻引發中心城市高層建筑破壞的重要原因之一。

［1］Chopra A K.Dynamics of structures:Theory and applications to earthquake engineering［M］.Prentice Hall:Englewood Cliffs，NJ，1995.

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Earthquake transient response of a long period structure

WU Chen1，ZHOU Rui-zhong2

(1.Department of Civil Engineering，Fujian College of Technology，Fuzhou 350108，China;2.College of Civil Engineering，Fuzhou University，Fuzhou 350108，China)

The transient response of a structure is usually ignored in traditional dynamic analysis.Based on the theory of harmonic earthquake response and wavelet packet analysis，the transient vibration of a MDOF system subjected to real earthquake ground motion was studied.Response spectra and transient vibration rules of the equivalent SDOF system were analyzed.It was concluded that the maximum displacement of a long period structure may occur in transient vibration and its value is greater than its resonance displacement.By comparing the transient response of a long period building with that of a short period one，it was shown that short period structures are mainly controlled by steady state vibration and the effects of transient vibration on a long period structure is prominent.Therefore，transient displacement and resonance one should be considered in earthquake-resistant design of long period structures.

vibration＆wave;long period structure;transient response;wavelet packet analysis;response spectra

TV312

A

福建省自然科學基金資助項目(2010J05103);福建省教育廳A類科研項目(JA08173);福建工程學院引進人才科研啟動基金項目(GY－Z0804)

2009－09－08 修改稿收到日期:2010－03－29

吳 琛 女，博士，1978年生