含持續預載的旋轉彈簧振動系統鍵合圖建模與仿真

唐進元，陳海鋒

(中南大學 現代復雜裝備設計與極端制造教育部重點實驗室;中南大學 機電工程學院，長沙 410083)

含持續預載的旋轉彈簧振動系統鍵合圖建模與仿真

唐進元，陳海鋒

(中南大學 現代復雜裝備設計與極端制造教育部重點實驗室;中南大學 機電工程學院，長沙 410083)

針對鍵合圖難以表達的彈簧初始載荷的添加和保持問題，以含持續預載的旋轉彈簧振動系統為研究對象，用兩個容性元件描述含持續預載的彈簧，根據振動系統的拉格朗日方程，建立整個系統的鍵合圖模型，采用20－sim仿真軟件對含有持續預載和不含持續預載的模型分別進行仿真，研究其對質量塊振動特性的影響，為驗證鍵合圖模型的正確性，運用ADAMS軟件對系統進行動力學仿真，兩種軟件仿真結果進行對比，驗證含持續預載的旋轉彈簧振動系統鍵合圖模型的正確性。

持續預載;彈簧;鍵合圖理論;動力學仿真;20－sim

鍵合圖是研究振動系統的有效工具，采用圖形化建模，物理意義直觀，振動系統中的質量塊、彈簧以及阻尼、無論具有線性還是非線性特性，都可以用鍵合圖中的慣性、容性和阻性元件予以相應的描述［1］。與傳統的振動微分方程相比，鍵合圖方法可以方便、靈活的建立系統的狀態方程和傳遞函數，能在復域、時域中進行動態特性的數字仿真，也可以進行靜力學特性的數字仿真，不需要采用微分方程的轉換和降階處理［2］。與ADAMS等動力學仿真方法相比，鍵合圖方法不需要建立系統的虛擬樣機模型，尤其對于復雜機械系統，鍵合圖方法采用模塊化建模方式，可以將復雜機械系統分解為多個簡單的子系統，分別進行建模，另外鍵合圖特有的多能域系統統一建模的能力可以使振動模型和其它諸如機械、電子及控制部分很方便地連接起來形成全系統模型。但是，鍵合圖中的容性元件只能對彈簧的剛度進行描述［3－4］，而對含有持續預載的彈簧目前還沒有研究，含有持續預載的彈簧其主要特征在于，彈簧的初始載荷只有在特定條件下才開始改變，該類彈簧可作為速度感應器［5］，用于測試系統是否超速，運用鍵合圖方法建立其模型的難點在于初始載荷的添加和保持。因彈簧具有儲存能量的特性，廣泛應用于機械和電子行業中，是振動系統中最常用的元件之一，因此，對含有持續預載的彈簧鍵合圖建模研究對振動系統具有重要的理論意義和工程價值。

本文以旋轉的彈簧振動系統為載體，研究含持續預載的彈簧振動系統鍵合圖建模方法，以拉格朗日方法建立旋轉的彈簧振動系統的微分方程，結合振動系統的原理圖和彈簧的建模方法，建立系統的鍵合圖模型，并基于20－sim對模型進行仿真，研究彈簧的持續預載對質量塊振動特性的影響，并與ADAMS的仿真結果進行對比，驗證鍵合圖模型的正確性。

1 建立旋轉的彈簧振動系統鍵合圖模型

1.1 旋轉的彈簧振動系統數學模型

圖1為旋轉的彈簧振動系統示意圖，質量塊通過彈簧和阻尼器連接在圓盤中心O上(圓盤只畫出1/4)，并用滑軌限制質量塊只能沿圓盤直徑方向滑動，圓盤繞中心O以角速度ω沿順時針方向旋轉，在角速度較小時，彈簧保持初始載荷不變，即持續預載，質量塊保持靜止，當角速度增大到一定后，離心力與質量塊在法向的分力之和大于彈簧初始載荷，使質量塊開始運動，彈簧力與變形符合胡克定律。設彈簧的剛度系數為k，阻尼系數為μ，質量塊質心至圓盤中心的距離r，質量塊的重量為m，圓盤的質量為M，圓盤的轉動慣量為I，彈簧的初始長度為l，質量塊在法線方向的速度為vr，切線方向的速度為 vθ。

圖1 旋轉的彈簧振動系統Fig.1 Rotating vibration system of spring

振動系統的自由度為2，選取擺角θ和質量塊到圓盤中心的距離r為廣義坐標，系統的動能為:

將主動力為有勢力和廣義耗散力的拉格朗日方程寫成如下形式［6］:

把方程(1)～(3)代入方程(4)可得到兩個微分方程:

1.2 建立系統的鍵合圖模型

根據圖1所示的旋轉的振動系統示意圖及方程(5)－(7)可建立系統的鍵合圖模型，但是當彈簧含有持續預載時，很難直接采用容性元件描述彈簧，因此，在建立系統的鍵合圖模型之前，首先對含持續預載的彈簧進行研究，建立彈簧的鍵合圖模型。

1.2.1 含持續預載的彈簧建模方法

在有預載時，設彈簧的剛度系數為k，預載長度為Δx，當 Δx為正時，表示彈簧受壓，當 Δx為負時，表示彈簧受拉，則在任意時刻的彈簧力可表示為:

此外，為了保持彈簧的預載，質量塊與支撐面之間存在接觸變形，根據Hertz接觸理論，考慮接觸面積為圓形時為［7］

由式(9)可得彈簧端面與支撐面接觸法向力P和變形δ關系為:

綜上所述，在考慮彈簧的預載時，必須用兩個容性元件來描述彈簧，如圖2所示。

圖2中，容性元件c1用來描述彈簧的剛度特性，容度系數為1/k，信號流表示彈簧的預載長度，c2表示彈簧端面與支撐面的接觸特性，在變形小于零時，容度系數為1/K，在20－sim仿真軟件中，定義容性元件c1、c2的參數方程為:

圖2 彈簧的鍵合圖模型Fig.2 Bond graph model of spring

因c2的容度參數為不連續函數，可以在鍵合圖仿真軟件中采用計算機高級語言的語句對方程進行定義。

1.2.2 振動系統的鍵合圖模型

為了更加直觀的表達旋轉振動系統的鍵合圖模型，根據方程(5)～(7)將質量塊的速度分解為切向和法向兩個部分，彈簧力、阻尼力主要作用在法向方法，外部輸入主要作用在切向方向，并用調制回轉器MGY描述切向速度與法向速度的聯系，系統的鍵合圖模型如圖3所示。

圖3 振動系統的鍵合圖模型Fig.3 Bond graph model of vibration system

在圖3中，阻尼元件R表示阻尼，各調制變換器的激勵信號均與方程(5)、(6)相對應，并用法向速度vr的積分作為切向速度vθ與輸入ω之間的調制信號。

2 仿真研究

2.1 基于20-sim的仿真分析

設圓盤從靜止開始運動，加速度為9.8 m/s2，當轉速達到20 r/s時，反向運動，加速度為9.8 m/s2，圓盤的角速度曲線如圖4所示，設置各元件的參數如表1所示，設置仿真時間為3 s，選擇backward differentiation formula求解器，絕對誤差取1×10－7，相對誤差取1×10－7，初始步長取默認步長0.1，對模型進行求解，為了研究彈簧預載和接觸對仿真結果的影響，對鍵合圖模型進行了三次仿真實驗，第一次仿真考慮了彈簧預載和接觸，第2次仿真考慮了彈簧的預載，沒有考慮接觸，分別得到彈簧力的變化曲線和質量塊在法線方向的位移曲線，為了更好的研究預載和接觸對系統的影響，將仿真曲線進行對比研究。

表1 主要元件的仿真參數Tab.1 Main components of the simulation parameters

由圖5、圖6可知，在2 s前，持續預載對彈簧力和質量塊的運動特性影響較大，在2 s后，影響較小。在第1次仿真中，當離心力、重力分力和阻尼力之和小于彈簧的初始預載時，質量塊保證靜止，彈簧保持預載不變，當圓盤速度逐漸增大，使離心力、重力分力和阻尼力之和大于彈簧的初始載荷時，使質量塊運動，彈簧力與變形符合胡克定律，因此，在2 s后，兩次仿真的曲線基本重合，在第2次仿真試驗中，由于沒有考慮預載的持續性，因此，在仿真開始后，質量塊在初始預載的作用下做近似簡諧振動，因為阻尼器的存在，彈簧振幅逐漸減小，隨著圓盤速度的逐漸增大，質量塊的離心力逐漸增大，因此，彈簧力逐漸增大，并在圓盤轉速達到最大時，彈簧力達到極值，之后圓盤反向加速，速度逐漸減小至零后繼續加速，在此過程中，因離心力較小，質量塊在彈簧力、阻尼力、重力分力和離心力的共同作用下做近似簡諧振動，當圓盤角速度足夠大時，質量塊的離心力、重力分力和阻尼力之和大于彈簧的初始載荷，運動規律與第1次仿真基本重合。

2.2 基于ADAMS仿真分析

為了進一步驗證振動系統鍵合圖模型的正確性，采用目前國際上使用最廣泛的機械系統動態模擬軟件ADAMS(Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems)對含持續預載的旋轉彈簧振動系統進行動力學仿真分析。運用pro/e構造出系統的三維模型，導入ADAMS/View中，設置各構件的材料屬性，并根據系統的運動特征添加約束和驅動，彈簧剛度、接觸剛度和阻尼系數等主要參數均與20－sim中的設置一致，設置仿真時間為3 s，仿真步長為5 000，對系統進行動力學仿真，在后處理模塊中得到彈簧力的變化曲線和質量塊在法線方向的位移曲線，為了相互驗證兩種仿真方法的準確性，將ADAMS的仿真與20－sim的仿真結果進行對比，如圖7、圖8所示。

2.3 數據分析

由圖7、圖8可知，20－sim的第一次仿真曲線與ADAMS的仿真曲線趨勢基本一致，為了進一步定量的對滑塊的運動過程進行分析，并驗證ADAMS仿真與鍵合圖理論計算結果的精確性，分別將滑塊位移和彈簧力的波峰值導出，如表2、表3所示，對數值進行對比分析，得到各對應數值點之間的誤差值如表4所示。

表2ADAMS仿真結果Tab.2 Simulation results by ADAMS

表3 20－sim仿真結果Tab.3 Simulation results by 20-SIM

表4 誤差值Tab.4 Error

由表4可知，兩種軟件分別對系統進行仿真分析，時間的最大誤差為6.12%，彈簧力的最大誤差為4.23%，質量塊法向位移的最大誤差為7.69%，且最大誤差主要集中在質量塊剛開始運動階段，隨著時間的推移，誤差逐漸減小。產生誤差的原因主要是兩種軟件對接觸的定義不同，在ADAMS中，將碰撞過程中的接觸力等效成一個彈簧阻尼模型［8］，接觸力的計算公式為:

式中K為剛度系數，D為阻尼系數，式(12)所描述的接觸力模型可用于整個接觸過程中，等效彈簧阻尼方法的關鍵是選擇合理接觸力模型，通過建立接觸力的模型，就可以求解接觸碰撞問題，ADAMS軟件中提供了一種用step函數表示的黏性阻尼模型，其阻尼系數的計算公式如下:

其中:C為最大阻尼系數，用于表征接觸能量損失;d是使阻尼達到最大值時的侵入深度;step函數為階躍函數。在軟件中，用impact函數來實現該模型，impact函數模型的計算公式為:

由式(15)可知，ADAMS中定義的接觸與接觸物體之間的相對運動速度有關，是一種動接觸，而在鍵合圖理論中，本文用hertz接觸理論定義了質量塊與支撐面之間的接觸力，其作用主要是保持預載不變，是一種靜接觸。同時，由于ADAMS中的接觸力包含阻尼項，其體現出的總的接觸力要比20－sim中的小，使質量塊在法線方向的平衡更早的被打破，因此，ADAMS仿真結果中的質量塊要比20－sim早0.11 s開始運動，此外，由于接觸力變小，離心力、質量塊法線方向的合力將對彈簧產生更大的變形，因此，ADAMS中的彈簧力與質量塊位移要大于20－sim的仿真結果。

3 結論

(1)根據持續預載彈簧的特性，結合鍵合圖理論的建模方法，用兩個容性元件來描述含持續預載的彈簧，給出了兩個容性元件的鍵合圖模型。

(2)建立了含持續預載的旋轉彈簧振動系統的鍵合圖模型，并基于20－sim軟件和ADAMS研究了持續預載對質量塊振動特性的影響。

(3)基于20－sim軟件和ADAMS軟件仿真對比，證明提出的持續預載彈簧鍵合圖模型的正確性。

(4)持續預載彈簧鍵合圖建模豐富了機構動力學鍵合圖建模方法，對類似的機構鍵合圖建模及動態分析有參考價值。

［1］任錦堂。鍵圖仿真理論及應用［M］.上海:上海交通大學出版社，1992.

［2］ Karnopp D C，Margolis D L，Rosenberg R C.SYSTEM DYNAMICS:Modeling and Simulation of Mechatronic Systems［M］.4th Edition，Wiley，2006.

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［7］Johnson K L.著，徐秉業，羅學富，劉信聲等譯.接觸力學［M］.北京:高等教育出版社，1992.

［8］安雪斌，潘尚峰.多體系統動力學仿真中的接觸碰撞模型分析［J］.計算機仿真，2008，25(10):98 －101.

Modeling and simulation for bond graph of a vibrating system containing a rotating and sustainably pre-loading spring

TANG Jin-yuan，CHEN Hai-feng

(Key Laboratory of Modern Complex Equipment Design and Extreme Manufacturing of Ministry of Education，School of Mechanical and Electrical Engineering，Central South University，Changsha 410083，China)

Aiming at the problem of adding and keeping pre-loading of spring which was difficult to express with bond graph，a vibrating system containing a rotating and sustainably pre-loading spring was selected as a subject to be studied.The sustainably pre-loading spring model was deseribed by using two 1-port capacitors and the bond graph model of the vibrating system was established based on Lagrange equations.In order to study the influence of the sustainably preloading spring on dynamic characteristics of the mass，the advanced software 20-sim was used to simulate the dynamic behavior of the model.Finally，the results were compared with those using ADAMS to check the bond graph model and verity its credibility.

sustainably pre-loading;spring;bond graph;dynamic simulation;20-sim software

TH113.1

A

國家自然科學基金資助項目(50875263);中南大學研究生學位創新論文(2009ssxt053)

2010－01－20 修改稿收到日期:2010－03－18

唐進元 男，教授，1962年生