電磁場(chǎng)矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)從洛倫茲勢(shì)變換到庫(kù)侖勢(shì)的證明*①

李伙全 武斌

(揚(yáng)州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 江蘇 揚(yáng)州 225002)

在近代物理學(xué)中,規(guī)范變換是作為基本方法而引入的.規(guī)范不變性是一種重要的物理原則,電磁場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)φ與矢勢(shì)A滿足規(guī)范變換與規(guī)范不變性.在處理時(shí)變電磁場(chǎng)問題時(shí),常采用庫(kù)侖規(guī)范與洛倫茲規(guī)范.在求解電磁場(chǎng)方程時(shí)，采用庫(kù)侖規(guī)范得出的解(A庫(kù),φ庫(kù))稱為庫(kù)侖勢(shì)；在采用洛倫茲規(guī)范時(shí)得出的解(A洛,φ洛)稱為洛倫茲勢(shì).為了使學(xué)生比較容易地理解標(biāo)勢(shì)φ與矢勢(shì)A的規(guī)范變換與規(guī)范不變性，本文證明了洛倫茲勢(shì)經(jīng)過一個(gè)規(guī)范變換成為庫(kù)侖勢(shì).

1 電磁場(chǎng)中標(biāo)勢(shì)φ與矢勢(shì)A的規(guī)范變換及規(guī)范不變性回顧

在一般情況下,真空中的電磁場(chǎng)所滿足的規(guī)律由麥克斯韋方程組[1]

給出，其中,D=ε0E，B=μ0H,ρ表示體電荷密度,J表示體電流密度，E表示電場(chǎng)強(qiáng)度,H表示磁場(chǎng)強(qiáng)度,B表示磁感應(yīng)強(qiáng)度,D表示電位移矢量.

因此可引入標(biāo)勢(shì)φ,使得

從而求出

則可得

即(A′，φ′ )與(A，φ)描述同一電磁場(chǎng).這樣的變換稱為勢(shì)的規(guī)范變換，每一組(A，φ)稱為一種規(guī)范.由矢勢(shì)A和標(biāo)勢(shì)φ所表示的電磁場(chǎng)E和B，當(dāng)其矢勢(shì)A和標(biāo)勢(shì)φ作規(guī)范變換時(shí)，E和B都保持不變，且A和φ所滿足的勢(shì)方程也是不變的，稱這種不變性為電磁場(chǎng)的規(guī)范不變性.從數(shù)學(xué)上說(shuō)，規(guī)范變換自由度的存在，是由于勢(shì)的定義式中，只確定A的旋度，而沒有確定A的散度.在實(shí)際應(yīng)用中，常用庫(kù)侖規(guī)范和洛倫茲規(guī)范.

2 在庫(kù)侖規(guī)范與洛倫茲規(guī)范下勢(shì)滿足的微分方程及其解庫(kù)侖勢(shì)與洛倫茲勢(shì)

由麥克斯韋方程組可以推導(dǎo)出矢勢(shì)A和標(biāo)勢(shì)φ所滿足的基本方程[2]如下

這是適用于一般規(guī)范的方程組.

以下給出在庫(kù)侖規(guī)范與洛倫茲規(guī)范下勢(shì)滿足的微分方程及其解，以及庫(kù)侖勢(shì)與洛倫茲勢(shì).

在洛倫茲規(guī)范下，勢(shì)方程為[2]

(1)

(2)

(3)

其中，x′是電荷分布點(diǎn)，x是觀察點(diǎn)，r是x′到x的距離，下同.

(4)

其中，x′是電流分布點(diǎn)，x是觀察點(diǎn)，r是x′到x的距離，下同.

在庫(kù)侖規(guī)范下,勢(shì)方程為[2]

(5)

(6)

方程(5)的解為瞬時(shí)庫(kù)侖勢(shì)[2]

(7)

方程(6)的解是推遲勢(shì)A洛(x,t)的橫向分量[3]

A庫(kù)(x,t)=A洛(x,t) =

(8)

我們把洛倫茲規(guī)范下，勢(shì)方程之解式(3)與(4)叫洛倫茲勢(shì);庫(kù)侖規(guī)范下，勢(shì)方程之解式(7)與(8)叫庫(kù)侖勢(shì).

3 洛倫茲勢(shì)與庫(kù)侖勢(shì)的關(guān)系洛倫茲勢(shì)經(jīng)過一個(gè)規(guī)范變換成為庫(kù)侖勢(shì)

以下證明，洛倫茲勢(shì)經(jīng)規(guī)范變換為庫(kù)侖勢(shì).

若要A庫(kù)與φ庫(kù)滿足庫(kù)侖規(guī)范條件，即

(9)

(10)

下面證明經(jīng)過上述規(guī)范變換，洛倫茲勢(shì)(A洛，φ洛)變成庫(kù)侖勢(shì)(A庫(kù)，φ庫(kù)).即要證明(A庫(kù)，φ庫(kù))滿足庫(kù)侖規(guī)范下的勢(shì)方程.

首先證明A庫(kù)滿足庫(kù)侖規(guī)范下的勢(shì)方程.

即

(11)

而A洛與φ洛滿足洛倫茲規(guī)范條件,將

即

(12)

將(10)式代入(12)式得

(13)

將(13)式兩邊取梯度得

(14)

即

(15)

將(15)式代入(11)式得

這正是庫(kù)侖規(guī)范下的矢勢(shì)A所滿足的方程.

其次證明φ庫(kù)滿足庫(kù)侖規(guī)范下的勢(shì)方程.

即

(16)

而洛倫茲規(guī)范條件為

該式對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得

從而可得

而

從而可得

即

而

從而可得

即

(17)

將(17)式代入(16)式得

這正是庫(kù)侖規(guī)范下所滿足的勢(shì)方程.

4 結(jié)語(yǔ)

本文以麥克斯韋方程組及庫(kù)侖規(guī)范與洛倫茲規(guī)范下電磁場(chǎng)的矢勢(shì)A和標(biāo)勢(shì)φ所滿足的微分方程為基礎(chǔ)，將洛倫茲勢(shì)φ洛和A洛，經(jīng)過一個(gè)規(guī)范變換后，變?yōu)閹?kù)侖勢(shì)φ庫(kù)和A庫(kù),并將此作為電磁場(chǎng)的規(guī)范不變性的一個(gè)例子引入到教學(xué)環(huán)節(jié)中,從而加強(qiáng)學(xué)生對(duì)勢(shì)的規(guī)范變換與規(guī)范不變性的理解.

參考文獻(xiàn)

1 劉迎春,王秀江.電動(dòng)力學(xué).長(zhǎng)春：吉林大學(xué)出版社,2006

2 郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)(第三版).北京：高等教育出版社,2008

3 郭亮.電磁場(chǎng)中矢勢(shì)A的特性研究.喀什師范學(xué)院學(xué)報(bào),2007,28(6)