電磁場矢勢和標勢從洛倫茲勢變換到庫侖勢的證明*①

李伙全 武斌

(揚州大學物理科學與技術學院 江蘇 揚州 225002)

在近代物理學中,規范變換是作為基本方法而引入的.規范不變性是一種重要的物理原則,電磁場的標勢φ與矢勢A滿足規范變換與規范不變性.在處理時變電磁場問題時,常采用庫侖規范與洛倫茲規范.在求解電磁場方程時，采用庫侖規范得出的解(A庫,φ庫)稱為庫侖勢；在采用洛倫茲規范時得出的解(A洛,φ洛)稱為洛倫茲勢.為了使學生比較容易地理解標勢φ與矢勢A的規范變換與規范不變性，本文證明了洛倫茲勢經過一個規范變換成為庫侖勢.

1 電磁場中標勢φ與矢勢A的規范變換及規范不變性回顧

在一般情況下,真空中的電磁場所滿足的規律由麥克斯韋方程組[1]

給出，其中,D=ε0E，B=μ0H,ρ表示體電荷密度,J表示體電流密度，E表示電場強度,H表示磁場強度,B表示磁感應強度,D表示電位移矢量.

因此可引入標勢φ,使得

從而求出

則可得

即(A′，φ′ )與(A，φ)描述同一電磁場.這樣的變換稱為勢的規范變換，每一組(A，φ)稱為一種規范.由矢勢A和標勢φ所表示的電磁場E和B，當其矢勢A和標勢φ作規范變換時，E和B都保持不變，且A和φ所滿足的勢方程也是不變的，稱這種不變性為電磁場的規范不變性.從數學上說，規范變換自由度的存在，是由于勢的定義式中，只確定A的旋度，而沒有確定A的散度.在實際應用中，常用庫侖規范和洛倫茲規范.

2 在庫侖規范與洛倫茲規范下勢滿足的微分方程及其解庫侖勢與洛倫茲勢

由麥克斯韋方程組可以推導出矢勢A和標勢φ所滿足的基本方程[2]如下

這是適用于一般規范的方程組.

以下給出在庫侖規范與洛倫茲規范下勢滿足的微分方程及其解，以及庫侖勢與洛倫茲勢.

在洛倫茲規范下，勢方程為[2]

(1)

(2)

(3)

其中，x′是電荷分布點，x是觀察點，r是x′到x的距離，下同.

(4)

其中，x′是電流分布點，x是觀察點，r是x′到x的距離，下同.

在庫侖規范下,勢方程為[2]

(5)

(6)

方程(5)的解為瞬時庫侖勢[2]

(7)

方程(6)的解是推遲勢A洛(x,t)的橫向分量[3]

A庫(x,t)=A洛(x,t) =

(8)

我們把洛倫茲規范下，勢方程之解式(3)與(4)叫洛倫茲勢;庫侖規范下，勢方程之解式(7)與(8)叫庫侖勢.

3 洛倫茲勢與庫侖勢的關系洛倫茲勢經過一個規范變換成為庫侖勢

以下證明，洛倫茲勢經規范變換為庫侖勢.

若要A庫與φ庫滿足庫侖規范條件，即

(9)

(10)

下面證明經過上述規范變換，洛倫茲勢(A洛，φ洛)變成庫侖勢(A庫，φ庫).即要證明(A庫，φ庫)滿足庫侖規范下的勢方程.

首先證明A庫滿足庫侖規范下的勢方程.

即

(11)

而A洛與φ洛滿足洛倫茲規范條件,將

即

(12)

將(10)式代入(12)式得

(13)

將(13)式兩邊取梯度得

(14)

即

(15)

將(15)式代入(11)式得

這正是庫侖規范下的矢勢A所滿足的方程.

其次證明φ庫滿足庫侖規范下的勢方程.

即

(16)

而洛倫茲規范條件為

該式對時間t求導，得

從而可得

而

從而可得

即

而

從而可得

即

(17)

將(17)式代入(16)式得

這正是庫侖規范下所滿足的勢方程.

4 結語

本文以麥克斯韋方程組及庫侖規范與洛倫茲規范下電磁場的矢勢A和標勢φ所滿足的微分方程為基礎，將洛倫茲勢φ洛和A洛，經過一個規范變換后，變為庫侖勢φ庫和A庫,并將此作為電磁場的規范不變性的一個例子引入到教學環節中,從而加強學生對勢的規范變換與規范不變性的理解.

參考文獻

1 劉迎春,王秀江.電動力學.長春：吉林大學出版社,2006

2 郭碩鴻.電動力學(第三版).北京：高等教育出版社,2008

3 郭亮.電磁場中矢勢A的特性研究.喀什師范學院學報,2007,28(6)