妙用另類加速度 巧解“勻”變速運動

李維兵

(南通高等師范學校 江蘇 南通 226100)

歷史上有些科學家曾把在相等位移內(nèi)速度變化相等的單向直線運動稱為“勻變速直線運動”(現(xiàn)稱“另類勻變速直線運動”)，

另類加速度表達式為

其中v0和vt分別表示某段位移x內(nèi)的初速度和末速度.A>0表示物體做加速運動，A<0表示物體做減速運動，且A不變 .偉大的物理學家牛頓也曾經(jīng)在他的名著《自然哲學的數(shù)學原理》一書中寫到：如果一個物體受到的阻力與其速度成正比，則阻力使它損失的運動正比于它在運動中所掠過的距離.下面證明之.

設(shè)物體所受力F=kv

由牛頓第二定律得F=ma

即

取Δt很短 ，則

設(shè)Δx為在很短的時間Δt內(nèi)發(fā)生的位移，即

Δx=vΔt

則

對上式兩邊求和，可得

故整個過程速度的變化和位移之間的關(guān)系為

1 流體阻力作用下的另類勻變速直線運動的探究

【例1】質(zhì)量為 0.5 t的摩托艇，在水面上以30 m/s速度行駛，摩托艇受到的阻力與速度成正比，其比例系數(shù)為200 N·s·m-1.問：在關(guān)閉發(fā)動機后，摩托艇還能向前滑行多遠距離？

分析：本題研究的是摩托艇從制動到停止的過程.在這個過程中，摩托艇所受的阻力是隨速度的變化而變化的，屬于變加速直線運動，加速度a是變化的，用原有的運動學公式不可以求解；但是通過分析發(fā)現(xiàn)，阻力與速度的比例系數(shù)與質(zhì)量的乘積是定值，即另類加速度恒定，應(yīng)屬于另類勻變速直線運動.

解析:由題意

由公式vt-v0=Ax，可得

在關(guān)閉發(fā)動機后，摩托艇還能向前滑行75 m.

2 安培力作用下的另類勻變速直線運動的探究

【例2】如圖1所示，導體棒MN放在光滑的金屬導軌上，導軌足夠長，除電阻R外，其他電阻不計.整個裝置處于磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，若導體棒MN的質(zhì)量為m，長為L，給MN棒一個水平向右的初速度v0，因感應(yīng)電流作用，MN棒將減速運動，求導體棒向前滑行的距離.

分析：本題研究的是導體棒在安培力作用下的減速過程.在這個過程中，導體棒所受的安培力是隨速度的變化而變化的，屬于變加速直線運動，加速度a是變化的，用原有的運動學公式不可以求解；但是通過分析發(fā)現(xiàn)安培力與速度成正比，其比例系數(shù)與質(zhì)量的乘積是定值，即另類加速度恒定.應(yīng)屬于另類勻變速直線運動.

圖1

解析：由題意可知

即

且F安與v反向.

由公式vt-v0=Ax可得

3 另類加速度在多個力作用下的變速運動中巧妙應(yīng)用

【例3】設(shè)質(zhì)量為m的雨滴從高處由靜止開始豎直下落，所受空氣阻力f和其速度v成正比，經(jīng)H高度速度達到穩(wěn)定.重力加速度為g，求：

(1)達到穩(wěn)定時的速度；

(2)經(jīng)多長時間達到穩(wěn)定.

分析：本題研究的是雨滴下落模型.在整個過程中，雨滴受重力和空氣阻力兩個力作用，其中重力不變，空氣阻力和下落的瞬時速度成正比，做加速度a減小的加速，雖然阻力與速度成正比，但由于重力的存在，不滿足A恒定，故該題也不屬于另類勻變速直線運動.此時可以利用運動的合成和分解的思想來將該直線運動分解成只受重力的勻變速直線運動和只受阻力的另類勻變速直線運動.

解析：(1)由牛頓第二定律得

mg-kv=ma

當a=0時速度達到最大，即

(2)利用運動的分解將該運動分解成

1)只在重力作用下的勻變速直線運動，此時速度變化

Δv1=gt

2)只在阻力作用下的另類勻變速直線運動，此時速度變化

由于是同一直線運動的分解，故

Δv=Δv1+Δv2

即

解得

【例4】如圖2(a)，相距為L的光滑平行金屬導軌水平放置，導軌一部分處在垂直導軌平面的勻強磁場中，OO′為磁場邊界，磁感應(yīng)強度為B，導軌右側(cè)接有定值電阻R，導軌電阻忽略不計.在距OO′為L處垂直導軌放置一質(zhì)量為m、電阻不計的金屬桿MN.若MN桿在恒力作用下由靜止開始向右運動，其速度-位移的關(guān)系圖像如圖2(b)所示，則

(1)在此過程中電阻R上產(chǎn)生的電熱Q1是多少？

(2)MN桿從開始運動到離開磁場所用的時間是多少？

圖2

分析：本題涉及到兩個過程中，導體棒在磁場中的做加速度a減小的加速運動，離開磁場后做恒力F作用下的勻加速直線運動.在磁場中導體棒在水平方向受恒力和安培力兩個力作用，其中安培力和物體運動的瞬時速度成正比，做加速度a減小的加速，雖然安培力與速度成正比，但由于恒力F的存在，不滿足A恒定，故該題也不屬于另類勻變速直線運動.此時也可以利用運動的合成和分解的思想來將該水平方向的直線運動分解成只受恒力F的勻變速直線運動和只受安培力的另類勻變速直線運動.

解析：(1)MN桿在位移L到3L的過程中，由動能定理

MN桿在磁場中發(fā)生L過程中，恒力F做的功等于MN桿增加的動能和回路產(chǎn)生的電能

(2)MN桿在離開磁場前，水平方向上受安培力F安和外力F作用，將該運動分解成

1)只在恒力作用下的勻變速直線運動，此時速度變化

由于在同一直線上的分解，故

Δv=Δv1+Δv2

即

解得

4 應(yīng)用另類加速度巧解高考壓卷題

【例5】(2009年高考江蘇卷第15題)如圖3所示.

圖3

兩平行的光滑金屬導軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導軌間距為l、 足夠長且電阻忽略不計，導軌平面的傾角為α，條形勻強磁場的寬度為d，磁感應(yīng)強度大小為B，方向與導軌平面垂直.長度為2d的絕緣桿將導體棒和正方形的單匝線框連接在一起組成“┬?”型裝置，總質(zhì)量為m，置于導軌上.導體棒中通以大小恒為I的電流(由外接恒流源產(chǎn)生，圖中未畫出).線框的邊長為d(d

(1)裝置從釋放到開始返回的過程中，線框中產(chǎn)生的焦耳熱Q；

(2)線框第一次穿越磁場區(qū)域所需的時間t1；

(3)經(jīng)過足夠長時間后，線框上邊與磁場區(qū)域下邊界的最大距離xm.

解答：命題者提供的解答：(1)、(3)略.

(2)采用微元法求解：設(shè)線框剛離開磁場下邊界時的速度為v1，則接著向下運動2d.

由動能定理

裝置在磁場中運動時受到的合力

F=mgsinα-F′

感應(yīng)電動勢ε=Bdv

安培力F′=BI′d

由牛頓第二定律，在t到t+Δt時間內(nèi)，有

解得

分析：本題是2009年江蘇高考最后一題，難度相當大，主要原因就是線框在穿越磁場區(qū)域時做加速度a減小的加速直線運動，這在高中階段用常規(guī)的運動方法是無法解答的，而命題者命題的意圖是采用了微元的思想，而在高中階段，微元法解題是學生的一個難點.現(xiàn)在分析可知，線框在磁場中沿斜面方向受重力沿斜面的分力和安培力兩個力作用，其中重力沿斜面的分力是恒定的，安培力和物體運動的瞬時速度成正比，故跟上面的規(guī)律相似，可以利用運動分解的思想來將該斜面方向的直線運動分解成只受恒力的勻變速直線運動和只受安培力的另類勻變速直線運動.

解析：設(shè)線框剛離開磁場下邊界時的速度為v1，則接著向下運動2d.

由動能定理

在此過程中，線框在離開磁場前，在斜面方向上受向上安培力F安和沿斜面向下的重力的分力作用，將該運動分解成

1)只在重力沿斜面分力F=mgsinα作用下的勻變速直線運動，此時速度變化

Δv1=gsinαt1

由于在同一直線上的分解，故

Δv=Δv1+Δv2

綜上所述，另類加速度可以用于解決變速運動的題型，它的適用條件是研究對象所受的合力或者是它受到的某個力要符合與物體的瞬時速度成正比關(guān)系，比如像流體的阻力、勻強磁場中的安培力等.