一個游離于考綱邊緣的物理量
——流量——習題教學中的流量教學

許冬保

(九江市第一中學 江西 九江 332000)

1 引言

流量是流體力學中描述流體運動的重要物理量.《普通高中物理課程標準(實驗)》、高考《考試大綱》及競賽大綱(即全國中學生物理競賽內容提要)，均未將流量列入知識內容.因此，它既非教學目標，也非學習內容.但是在物理習題和試題中，往往出現與流量相關的問題，于是流量便成為一個游離于考綱邊緣的物理量.在習題教學中，流量教學應依據學生的認知規律和物理學的特點進行設計.

2 由“電磁流量計”認識流量

首先看文獻[1]第四章中的一道習題.

原題：圖1是電磁流量計的示意圖.圓管由非磁性材料制成，空間有勻強磁場.當管中的導電液體流過磁場區域時，測出管壁上MN兩點間的電動勢E，就可以知道管中液體的流量Q——單位時間內流過管道橫截面的液體的體積.已知管的直徑為d，磁感應強度為B，試推出Q與E的關系式.假定管中各處液體的流速相同.

電磁流量計的管道內沒有任何阻礙流體流動的結構，所以常用來測量高黏度及強腐蝕性流體的流量.它的優點是測量范圍寬、反應快、易與其他自動裝置配套.

2.1 分析

當導電液體流過管道時，液體中的正、負離子由于受到洛倫茲力作用，分別向管道兩側壁遷移，于是產生動生電動勢E.電荷的積累形成附加電場，該電場阻礙離子的定向遷移，當洛倫茲力和附加電場力大小相等時，達到動態平衡.于是有

由流量的定義，有

Q=Sv

圓管截面積S與直徑d的關系為

聯立解得

說明：原題中的流量用字母q表示，考慮到它與表示電荷量的符號q相同及流體力學中表示流量的通用符號Q的一致性，將字母q改為字母Q.

2.2 探究

上述分析自然、流暢，進一步提出下面兩個探究性的問題.

(1)流量在國際單位制中是什么單位？

(2)流量的物理意義是什么？

2.3 總結

師生共同完成，通過該題的分析，認識了什么是流量(準確的說是體積流量).

(1)從定義式知道流量在國際單位制中的單位是m3·s-1.

(2)對于同一管道中的任意兩個截面，單位時間內流進某一截面的液體的體積(或質量)等于從另一個截面流出的液體的體積(或質量).即液體在管道中穩定流動時質量守恒.這就是流量的物理意義.

3 流體力學中的流量

首先介紹兩個概念：流線和流管.

物理學中常把某個物理量的時空分布叫做場，流體內各點流速分布可以看成速度場.描述場的幾何方法是引入所謂的場線，就像靜電場中引入電場線一樣.在流速場中，將流體內的一條連續的有向曲線定義為流線.流線上每一點的切線方向代表流體內微粒經過該點時的速度方向.在穩定流動中，流線不隨時間變化，此時流線表示流體中微粒運動的軌道(即行跡).在流體內作一微小的閉合曲線，通過其上各點的流線所圍成的細管叫做流管.由于流線永遠不會相交，因此流管內、外的流體都不具有穿過流管的速度，也就是說流管內部的流體不能流到流管外部，流管外部的流體也不能流入流管內[2].

為了定量描述流體的運動，流體力學中引入了流量的概念.單位時間通過流管截面的流體質量叫做質量流量.單位時間通過流管截面的體積叫做體積流量.質量流量及體積流量又泛稱為流量[3].

如圖2所示，表示流管的兩個截面S1，S2，流體經過兩個截面的速度分別為v1，v2.對于理想流體(沒有黏性且不可壓縮)的定常流動(穩定流動)，則有

S1v1=S2v2

該式稱為定常流體的連續性方程.

圖2 流速和流管截面的關系

上述方程表明：流管入口端的流量等于出口端的流量，流管周壁的流量為零，一流管的擴張處流速小，收縮處流速大，以保持流量為一常量.流量符號一般用Q表示，即

式中流體密度為ρ，通過截面ΔS的速度為v，在Δt時間內流體通過截面的質量為Δm.

在應用中，研究的往往是理想流體的定常流動，流管便為理想化模型，與該模型相伴隨的一個物理量就是流量.

上述內容是否補充，應視學生實際情況而定.

4 流量在解題中的應用

認識流量，理解流量的意義，并不意味著學生就會應用流量分析問題，必須通過習題教學來完成.

4.1 流管中的流量分析

【例1】如圖3所示為不可壓縮流體在截面面積變化的管道中流動的示意圖.在S1面以速度v1向前運動，在S2面以速度v2向前運動，若S1

A.v1>v2B.v1

C.v1=v2D.以上均有可能

圖3 流管中流量分布

分析：由于流體不可壓縮，因此在截面面積變化的管道中流量Q=Sv保持不變，即S1v1=S2v2.已知S1v2.選項A正確.

點評：不可壓縮的流體即流體密度不隨空間、時間發生變化.管道確定時，流體的運動是定常流動，S1v1=S2v2，即為流體的連續性方程.

4.2 氣體中的流量分析

【例2】(2006年高考廣東理綜試題)風力發電是一種環保的電能獲取方式.設計每臺風力發電機的功率為40.0 kW.實驗測得風的動能轉化為電能的效率約為20%，空氣的密度是1.29 kg/m3，當地水平風速約為10.0 m/s.問風力發電機的葉片長度約為多少才能滿足設計要求？

圖4 長為vΔt的流管

分析：設風力發電機的葉片長度為l，如圖4所示，在Δt時間內作用于葉片的空氣質量Δm；Δm即以發電機的葉片為半徑的圓面積S和以vΔt為長度的體積內的空氣質量

Δm=ρV=ρπl2vΔt

風的動能為

由能量轉化及守恒定律知，發電機的功率

聯立解得

代入已知數值，得

l≈10.0 m

點評：風是空氣的流動形成的，大量空氣微粒的定向運動使發電機葉片轉動以帶動發電機發電.在這一過程中，將“風”視為理想流體，微粒的運動視為定常流動，建立流管模型.表達式

Δm=ρπl2vΔt

即

表示質量流量保持不變.

繼續探究的問題：假設某一固定豎直平面的面積和以發電機的葉片為半徑的圓面積相等，從豎直平面返回的空氣不影響后面的風吹向該平面，并設想豎直平面是完全彈性面.試求豎直平面受到風作用的平均壓強.

師生共同分析：由動量定理，有

4.3 液體中的流量分析

【例3】在風景旖麗的公園，往往都有噴泉以增加觀賞性.一噴泉的豎直水柱高達h.已知水的密度為ρ，噴泉出水口的面積為S，則空中水的質量為

A.ρhSB.2ρhS

C.3ρhSD.4ρhS

分析：如圖5所示，噴泉出水口噴出的水做豎直上拋運動，空中水的質量取決于空中水的體積，如何計算這一體積，成為問題的難點.如果從流量的角度思考，則柳暗花明.

圖5 水流的長拋運動

假定從出口處流出的水的速度v0相同，空中水的體積等于從噴泉出水口在一段時間內噴出的水的體積，這段時間就是水作上拋運動的總時間t，即

噴嘴噴出的水其體積流量

Q=Sv0

空中水的體積

V=Qt

空中水的質量

m=ρV

水柱高達h與速度v0的關系為

聯立解得

m=4ρhS

因此選項D正確.

點評：解決本題的思路在于研究對象的轉換，即空中水的體積轉換為噴嘴在一段時間內噴出的水的體積，這一段時間即為上拋運動的時間.理解流量的意義則成為求解的關鍵.

2004年全國理綜卷Ⅱ上有一道類似的試題：

一水平放置的水管，距地面高h=1.8 m，管內橫截面積S=2.0 cm2.有水從管口處以不變的速度v=2.0 m/s源源不斷地沿水平方向射出，設出口處橫截面上各處水的速度都相同，并假設水流在空中不散開.取重力加速度g=10 m/s2，不計空氣阻力.求水流穩定后在空中有多少立方米的水?

該題可作為學生課外練習題(分析方法同上，解略).

4.4 電流中的流量分析

【例4】有一段通電導線，橫截面積為S，導線每單位體積中含有的自由電荷數為n，每個自由電荷的電荷量為q，定向移動的平均速率為v.試導出導線中電流的微觀表達式.

圖6 一段導線中的流管

分析：大量自由電荷的定向運動形成電流，自由電荷的定向運動可視為流體的運動，在Δt時間內自由電荷運動的位移大小為vΔt，如圖6所示.在通電導線中取微小的一段，對應流管的長度vΔt，體積流量為Q=Sv，則流經某一截面的電荷量表示為

Δq=qnQΔt

由電流的定義式，有

聯立解得

I=nqQ

即

I=nqSv

點評：本題的推導過程可以不用流量表達式；但是建立流管模型，用流量來分析問題比較自然.流體力學中的流管及流量，遷移到電學中，這有利于學生解題能力的提高.實際上電磁學中引入了“電流管”[4]，含義與流體力學中的流管類似.

4.5 復雜問題中的流量分析

圖7 出口與噴氣口間的流管

分析：于火箭燃燒室出口處與噴氣口間的流管如圖7所示，設經過極短時間Δt，有質量為Δm的氣體從噴氣口噴出，并假設流經截面S1的體積和流經截面S2的體積分別為ΔV1，ΔV2，兩處氣體密度分別為ρ1，ρ2，流速分別為v1，v2.氣流定常流動時，流管內的氣體質量與能量不變.

由理想氣體的狀態方程和絕熱過程方程，有

(1)

(2)

聯立(1)、(2)式解得，噴氣口處氣體的溫度

(3)

流經截面S1的質量流量和流經截面S2的質量流量相等，即

ρ1S1v1=ρ2S2v2

(4)

或ρ1ΔV1=ρ2ΔV2

(5)

由(2)、(3)、(4)、(5)式解得

(6)

因為S2?S1，p2?p1，所以v1?v2.

整個體系經Δt時間的總能量(包括宏觀流動機械能與微觀熱運動內能)增量為ΔE.忽略重力勢能變化，對理想氣體并考慮到v1?v2，有

(7)

體系移動過程中，外界做的總功為

W=p1ΔV1-p2ΔV2

(8)

根據能量守恒定律，絕熱過程滿足

ΔE=W

(9)

聯立(7)、(8)、(9)式并利用(1)、(3)式，解得氣體的噴射速率

點評：本題描述的是理想氣體(理想流體)的定常流動.綜合應用熱力學中的狀態方程及熱力學第一定律求解，原參考解答未提及流量概念，但實際上應用流量來處理問題.文字說明多，給學生理解帶來困惑.

5 結語

有關流量分析的實例還很多，限于篇幅僅舉以上幾例.流體是連續體，理想流體的定常流動遵循質量守恒定律.流體在流動中對物體的持續作用，產生的宏觀效果是壓強，或者是力.在習題教學中，引導學生應用流量分析流體問題，讓學生領悟流量在解題中的價值，有利于提高學生分析問題及解決問題的能力.

參考文獻

1 張大昌.普通高中課程標準實驗教科書(物理·選修3-2).北京：人民教育出版社，2006.181

2 戚伯云，楊維纮.力學(第二版).北京：科學出版社，2005.192～194

3 舒幼生.力學.北京：北京大學出版社，2005.211

4 胡友秋，程福臻，葉邦角.電磁學與電動力學(上冊).北京：科學出版社，2008.90

5 全國中學生物理競賽委員會辦公室.全國中學生物理2010競賽專輯.北京：北京大學出版社，2010.48～52