“動(dòng)能定理”教學(xué)中的四點(diǎn)拓展

閆峰

(徐州市第一中學(xué) 江蘇 徐州 221140)

1 “化曲為直、化變?yōu)楹恪?思想的應(yīng)用

人教版高中《物理·必修2》動(dòng)能定理中通過“物體在恒力作用下做直線運(yùn)動(dòng)”的情境推導(dǎo)得到動(dòng)能定理.對于變力作用、物體做曲線運(yùn)動(dòng)的情況教材沒有深入討論，只是做出了如下表述“當(dāng)物體受變力作用，或做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，仍可采用過去的方法，把過程分解成許多小段，認(rèn)為物體在每小段運(yùn)動(dòng)中受到的是恒力，運(yùn)動(dòng)的軌跡是直線，這樣也能得到動(dòng)能定理.”那么究竟如何借助上述思想推導(dǎo)出動(dòng)能定理呢？現(xiàn)從高中物理教學(xué)的角度嘗試如下.

設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)沿曲線路徑由1運(yùn)動(dòng)到2，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，所受合力為F.現(xiàn)將軌跡分為n小段，質(zhì)點(diǎn)在每一小段內(nèi)的位移稱為元位移Δsi(i=1，2，…，n)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可看作由許多元位移組成，如圖1所示.

圖1

解析：因?yàn)樵灰痞i很小，故可近似認(rèn)為

(1)在Δsi內(nèi)合力Fi(i=1，2，…,n)不變；

(2)Δsi的方向?yàn)樵摱挝灰破瘘c(diǎn)處曲線的切線方向.

由(1)、(2)兩步得

對上式求和

考慮到在曲線運(yùn)動(dòng)中vτ2=v2，且m為恒量，上式即為

或

該式表示的物理意義為“質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的合力所作的功”即動(dòng)能定理.

2 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理及其應(yīng)用

高中階段主要是對單個(gè)質(zhì)點(diǎn)使用動(dòng)能定理，以至于不少教輔資料都將動(dòng)能定理的研究對象表述為單個(gè)質(zhì)點(diǎn).實(shí)際上，如同牛頓第二定律，動(dòng)能定理不但適用于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)，也適用于質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的表述為“質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量在數(shù)值上等于一切外力所作功與一切內(nèi)力所作功的代數(shù)和”即

W外總+W內(nèi)總=ΔEk.

【例1】如圖2(a)所示，有一光滑的“T”形支架，在它的豎直桿上套有一個(gè)質(zhì)量為m的物體a，用長為l的不可伸長的細(xì)繩將a懸掛在套于水平桿上的小環(huán)b下，b的質(zhì)量也為m.開始時(shí)a處于靜止?fàn)顟B(tài)，細(xì)繩處于豎直狀態(tài).今用水平恒力F=3mg拉小環(huán)b使a上升.求當(dāng)拉至細(xì)繩與水平桿成θ=37°角時(shí)，a的速度為多大?

圖2

解析：將a，b和繩看作質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng).在外力方面，F(xiàn)做正功，a的重力做負(fù)功

W外總=Flcosθ-magl(1- sinθ)

在內(nèi)力方面，繩與a之間、繩與b之間有相互的拉力作用，但相互拉力做功的代數(shù)和為零.由此可知本題中W內(nèi)總=0.

由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理得

因繩不可伸長，由圖2(b)知

vasinθ=vbcosθ

解得

【例2】 a，b，c三物體由不可伸長的輕繩和兩定滑輪連接，如圖3(a)所示.體積很小的物體a疊放在平板b的右端，平板長l=0.4 m，物體的質(zhì)量分別為ma=mb=1 kg、mc=2 kg，a，b之間以及b與水平桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25，整個(gè)系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng)，求a滑離b時(shí)各物體的速度?(g=10 m/s2)

圖3

解析：將a，b，c及輕繩看作一質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng).如圖3(b)所示，在外力方面，c的重力mcg作正功、桌面對b的摩擦力f作負(fù)功

W外總=mcgsc-fsb

在內(nèi)力方面，a,b間的滑動(dòng)摩擦力f1和f2都作負(fù)功、繩與a，b，c之間雖有相互的拉力作用，但相互拉力作功的代數(shù)和為零，W內(nèi)總= -f1sa-f2sb.

因繩不可伸長，有

va=vb=vc=v

由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理得

其中

f=μ(ma+mb)gf1=f2=μmag

sa=sb=sc=0.5l

解得

v=1 m/s

3 動(dòng)能定理在非慣性系中的應(yīng)用

由于動(dòng)能定理是在牛頓運(yùn)動(dòng)定律的基礎(chǔ)上推得的，因此只能在慣性系中使用.但是有些問題在慣性系中分析比較繁瑣，而在非慣性系中考慮反而比較簡單.那么在非慣性系中能否使用動(dòng)能定理呢？在引入慣性力后，也可以在非慣性系中討論質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題而保持質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程的形式不變，動(dòng)能定理的形式是依然成立的，此時(shí)動(dòng)能定理中的速度應(yīng)理解為相對非慣性系的速度.

圖4

解析：選半球體為參考系.設(shè)滑塊剛離開半球體時(shí)的速度為v，滑塊受到的慣性力為F.由動(dòng)力學(xué)方程有

由非慣性系中的動(dòng)能定理有

其中

解得

h=0.81R

4 贗動(dòng)能定理及其應(yīng)用

圖5

如圖5所示，穿無摩擦溜冰鞋的溜冰者站在水平地面上，用手推墻，使自己向后運(yùn)動(dòng).溜冰者所受的外力(重力、地面和墻面對人的彈力)不做功，人獲得的動(dòng)能是內(nèi)力做功的結(jié)果.但是沒有外力是不能改變系統(tǒng)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的，即沒有外力是不能改變質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能的，那么外力和質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能間的定量關(guān)系如何呢？

外力對質(zhì)點(diǎn)系的贗功定義為

式中Fi為作用于質(zhì)點(diǎn)系的第i個(gè)外力，rC為質(zhì)心的位矢.由此可得

上式表明“作用于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的合外力所作的贗功，等于該質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能的增量”這就是贗動(dòng)能定理.贗動(dòng)能定理能夠幫助學(xué)生理解外力不做功時(shí)系統(tǒng)質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能如何改變，高中教學(xué)中向?qū)W生簡單介紹還是有意義的.

【例4】如圖6所示，把質(zhì)量均為m的兩個(gè)小鋼球用長為2l的線連接，放在光滑的水平面上.在線的中點(diǎn)O作用一個(gè)恒定的拉力F，其方向沿水平方向且與開始時(shí)連線的方向垂直；連線非常柔軟且不會(huì)伸縮，質(zhì)量可忽略不計(jì).經(jīng)過若干次碰撞后，最后兩個(gè)鋼球一直在接觸狀態(tài)下運(yùn)動(dòng)，若此時(shí)繩中點(diǎn)的位移為s，那么系統(tǒng)因碰撞而失去的能量是多少?

圖6

分析：本題的關(guān)鍵是要求得兩小球最后的共同速度，對繩球系統(tǒng)使用贗動(dòng)能定理得

這里vC是系統(tǒng)質(zhì)心的速度，當(dāng)然也是最終兩小球的共同速度；求得此速度后該題得到解決(以下略).

動(dòng)能定理是高中物理的重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容.在教學(xué)中教師如何適時(shí)滲透科學(xué)探究的思想、引導(dǎo)學(xué)生從多角度認(rèn)識(shí)同一物理規(guī)律，筆者在此進(jìn)行了粗淺的探索，歡迎大家批評(píng)指正.