高中物理中傳送帶問題的基礎模型和解決方法

薛甫

(睢寧縣城北中學 江蘇 徐州 221200)

傳送帶問題是高中物理教學和高考考查的一種常見力學模型.此類問題一般從兩個方面展開：一是受力和運動分析，受力分析的關鍵是注意摩擦力突變(大小、方向)——發生在物體的速度和傳送帶速度相同的時刻；運動分析中的關鍵是相對運動的速度大小和方向的變化——物體和傳送帶對地速度的大小和方向的比較；二是功能關系分析，注意功能關系：WF=ΔEk+ΔEp+Q, 其中WF為傳送帶做功，ΔEk,ΔEp為傳送帶上的物體的動能和重力勢能的變化，Q是由于摩擦產生的內能.

解決此類問題時，要注意分析物理過程，構建清晰的物理模型，從而將一個復雜的問題轉化為若干簡單的小問題，進而找出它們之間的聯系，運用相關的物理規律求解.

1 水平傳送帶

情景一：如圖1(a)所示，傳送帶以速率v勻速運行，AB間的距離為L，現在將小物塊從A點輕輕地放于傳送帶上，經一段時間物塊運動到B點.

分析：小物塊放在傳送帶瞬間的速度可視為零.它所受到傳送帶的滑動摩擦力水平向右，受力情況如圖1(b)所示.小物塊在合力作用下，從A點向右相對于地面做勻加速運動.如果能達到物塊和傳送帶無相對運動趨勢，之后小物塊隨著傳送帶一起向右做直線運動.

圖1

【例題1】傳送帶以速率v=2 m/s勻速運行，AB間的距離為L=10 m，現在將小物塊從A點輕輕地放于傳送帶上，它們之間的動摩擦因數為μ=0.2，如圖1(a)所示.求物塊從A點運動到B所需的時間.

解：小物塊加速階段的加速度由μmg=ma,得

a=μg=2 m/s2

加速到v所需的時間為

加速階段的位移為

物塊勻速運動的時間為

所以物塊從A點運動到B所需的時間為

t=t1+t2=5.5 s

圖2

情景二:如圖2所示，水平傳送帶在外部電動機的帶動下以速度v勻速運行.現將一質量為m的物塊以速度-v沿水平方向扔在傳送帶上，經一段時間與傳送帶保持相對靜止.

分析：物塊從與傳送帶接觸到二者相對靜止，這一過程可以分為兩個階段：第一階段，物塊在滑動摩擦力作用下向左做勻減速運動，直到速度減為零，這個階段摩擦力對物塊做負功；第二階段，物塊在摩擦力作用下向右做初速度為零的勻加速直線運動，直到速度增大到v,之后同傳送帶保持相對靜止，這一階段摩擦力做正功.

【例題2】如圖3所示，足夠長的水平傳送帶以速度v沿順時針方向運動，傳送帶的右端與光滑的曲面的底部連接，曲面上的A點距離底部的高度為h=0.45 m.一物塊從A點靜止滑下，再滑上傳送帶，經過一段時間又返回曲面，g=10 m/s2,則下列說法正確的是

A.若v=1 m/s,則物塊能回到A點

B.若v=3 m/s,則物塊能回到A點

C.若v=5 m/s,則物塊能回到A點

D.無論v等于多少,物塊均能回到A點

圖3

(1)若v0>v，物塊加速至v后就以速度v做勻速運動至右端，沿曲面上升的高度h′將小于h，即不能到達A點.

(2)若v0≤v，物塊一直加速運動至右端時速度恰為v0=3 m/s，物塊沿曲面上升的高度h′將等于h，即能回到達A點.

所以，本題應該選擇B，C.

點評：處理水平傳送帶問題，首先是要對放在傳送帶上的物體進行受力分析，通過比較物體初速度與傳送帶的速度的關系，分清物體所受的摩擦力是動力還是阻力；其次是分析物體的運動狀態，即對靜態—動態—終態做分析和判斷，對其全過程做出合理的分析、推斷，進而用相關的物理規律求解.

2 傾斜的傳送帶

情景一：如圖4(a)所示，傳送帶順時針勻速運行，且足夠長.現將物體輕輕放在傳送帶上的A端，物體經過一段時間運動到另一端B點.

分析：將物塊輕輕放在傳送帶上后，物塊所受滑動摩擦力方向沿斜面向下，受力情況如圖3(b)所示，物塊將做勻加速直線運動.當速度達到v后，如果mgsinθ>f,將繼續向下加速運動，直到運動至B點.如果mgsinθ≤f，物塊將隨傳送帶一起勻速運動至B點，物塊受力情況如圖4(b)所示.

圖4

圖5

【例題3】如圖5所示，傾角為θ=37°的傳送帶AB段長為L=16 m, 以勻速率10 m/s沿逆時針方向運行，將一個物塊輕輕放在傳送帶的A端，若物塊與傳送帶間的滑動摩擦因數μ=0.5，則物塊運動到B端所需時間為多少？(sin37°≈0.6，cos37°≈0.8)

解：設物塊接觸傳送帶后加速下滑的加速度為a1，由牛頓第二定律得

mgsinθ+μmgcosθ=ma1

因而

速度達到v所需的時間為

物塊達到速度v后的加速度為a2, 由牛頓第二定律得

mgsinθ-μmgcosθ=ma2

故

設后一階段運動時間為t2,由位移公式得到

求解得到t2=1 s (t2=-11 s不合題意，舍去).所以物塊運動的總時間為t=t1+t2=2 s.

圖6

情景二：如圖6所示，傳送帶順時針勻速運動，且足夠長，現將物體輕輕放在傳送帶上的A端，物體經一段時間運動到另一端B點.

分析：將物體輕輕放于傳送帶上的A點后，物塊所受傳送帶的滑動摩擦力的方向沿斜面向上.

如果mgsinθ>f時，物塊不能向上傳送.

如果mgsinθ≤f時，物塊做勻加速直線運動.當達到v后，將和傳送帶保持相對靜止，勻速運動至B點.

【例題4】傾角為θ的傳送帶AB段足夠長，且長為L，以勻速率v沿順時針方向運行,如圖6所示.若將一個質量為m的小物塊輕輕放在傳送帶的A端.若物塊與傳送帶間的滑動摩擦因數為μ，則把物塊從A端運動到B端,電動機為此而多做的功是多少？(不計輪軸處的摩擦)

解：設物塊做勻加速運動的加速度為a, 由牛頓運動定律得到

μmgcosθ-mgsinθ=ma

a=g(μcosθ-sinθ)

加速階段的位移為

傳送帶在此時間內通過的位移為

此過程產生的熱量

物塊從B點到A點機械能的增加量為

把物塊從B端運動到A端電動機為此而多做的功是

W=Q+ΔE=

點評：處理傾斜傳送帶問題，也要先對物體進行受力分析，再判斷摩擦力的大小和方向.這類問題特別要注意，若傳送帶勻速運行，則不管物體的運動狀態如何，物體與傳送帶間的摩擦力都不會消失.