對帶有非局部邊界條件的Dirac方程的跡的研究

梁銀雙，夏云青

(中州大學信息工程學院，鄭州450044)

右邊第二項的積分因單值性消失，則

3．csc(λ+m0)π的最簡分式展開式如下:

所以問題(I)的跡公式為

1引言

關于Sturm－Liouvile算子的跡的研究，已積累了大量文獻，不過大多數結果都是對局部方程局部邊界條件得到的。1981年李夢如教授在文獻［1］中得到下述帶有非局部邊界條件的S－L算子的跡公式:

本篇論文主要研究下述問題漸近跡的公式:

p(x)，r(x)，μ(x) 均為［0，π］上的實值連續函數。

2問題(I)的整函數

我們先來考慮(I)的Cauchy問題(II):

引理1:由文獻［2］知:問題(II)的解φ(x，λ)對λ的漸近式為:

其中:

由此可知ω(λ)零點集合與(I)的特征值集合重合。下面計算整函數ω(λ)的漸近式。

由引理1知:

用分部積分可得:

所以

因而

3問題(I)的跡

以下根據m0的不同取值來討論問題(I)的跡公式:

(1)若m0≠0，且m0不是整數

ω0(λ) 的零點為:λn=n － m0，n=0，± 1，±2，…

因此

σ2= τ2=，在 CN上，以下三式均有界:

命題2:當N充分大時，ω(λ)與ω0(λ)在CN內有相同個數的零點。

證明:由引理2知:

當 N充分大時，在Cn上有，因為ω(λ)，ω0(λ)是λ的整函數，ω0(λ)在CN上無零點，由Rouche定理知，ω(λ)和ω0(λ)在CN內有相同個數的零點。

定理1:對于問題(I)，設 p(x)，r(x) ∈ C(2)［0，π］，μ(x) ∈ C(3)［0，π］，則有如下跡公式:

右邊第二項的積分因單值性消失，則

又

2．cot(λ+m0)π的最簡分式展開式如下:

所以

3．csc(λ+m0)π的最簡分式展開式如下:

所以

所以問題(I)的跡公式為

同理可得以下幾種情況的跡公式:(2)若m0=0，問題(I)的跡公式為

(3)m0≤Z且m0為偶數時，問題(1)的跡公式同m0=0的結果。

(4)m0∈Z且m0為奇數時，問題(1)的跡公式為:

［1］李夢如．帶有非定局邊界條件的Sturm－Liouville算子的跡［J］．鄭州大學學報:自然科學版，1981(1)．

［2］Abdukadyrov E．Calculation of the regularized spur for the Dirac system［J］．Journal of Moscow University，1967(4)．

［3］曹策問．微分算子的跡［J］．數學進展，1989，18(2):170 －178．

［4］曹策問．非自伴 Sturm －Liouville算子的漸近跡［J］．數學學報，1981，24(1):84 －94．

［5］曹之江．常微分算子［M］．上海:上海科技出版社，1985．

［6］Gelfand E M，Levitan B M．On trace identity for eigenvalue of differtial operator with sencod order［J］．DAN，1953，88:593 －596．［7］Levitan B M，Sargsjan I S．Sturm － Liouville and Dirac operators［J］．Kluwer Academic Publishers，1991(4)．

［8］納依瑪克．線性微分算子［M］．北京:科學出版社，1964．