一種四自由度空間并聯機構的奇異容錯糾錯策略與方法研究

陳 斯 范守文

電子科技大學，成都，611731

一種四自由度空間并聯機構的奇異容錯糾錯策略與方法研究

陳 斯 范守文

電子科技大學，成都，611731

以Gosselin的奇異分類為基礎，將第二類奇異位形對并聯機構的不利影響看成是一種機械系統故障，提出了結合冗余驅動的并聯機構奇異容錯糾錯策略框架。闡述了該容錯糾錯策略框架的基本思想和實現步驟，用線性方程組解的情況和矩陣條件數解釋了該奇異位形“故障”發生和被克服的實質，以此為基礎定義了描述奇異被消除程度的奇異容錯度指標，基于該指標提出了容錯結構優化算法，用來確定使并聯機構具有最佳奇異容錯能力的冗余驅動的結構參數。分析得到了2RPS＆2TPS型并聯機構的一個典型的第二類奇異位形，比較了三種奇異容錯策略克服這一奇異位形效果的優劣，對這三種容錯糾錯策略進行了仿真研究，結果表明，提出的以奇異容錯度為依據的容錯糾錯策略能有效克服奇異位形的不良影響。

并聯機構；奇異位形；容錯；糾錯；冗余驅動

0 引言

容錯糾錯技術是提高機電產品可靠性的有效手段［1］?，F代機電產品正朝著集成化、自動化、智能化的方向發展，其發生故障的隨機性很大，往往難以預料。工程實踐表明，除了少數突發故障以外，大多數故障如果早期發現，及時采取恰當的措施是完全可以防止的。雖然人們無法保證所設計的系統各個構成環節絕對可靠，但如果將容錯、糾錯的概念引入到系統中，構成容錯、糾錯系統，則可以使系統中的各個故障因素對系統性能的影響被顯著削弱，這就意味著間接地提高了系統的可靠性，尤其是在構成系統的各個部件的可靠度未知時，容錯、糾錯技術更是在系統設計階段保證了系統可靠性的要求，為提高復雜系統的可靠性開辟了一條新途徑。容錯糾錯的基本思想是：在系統中存在一定的冗余，容錯技術能夠自動適時地監測并診斷出系統的故障，然后采取相應的控制方案或處理方法自動隔離或在線修復故障［2］。

機構的奇異位形可以定義為機構運動狀態不可控的點的集合。并聯機構由于其具有特殊的閉環結構，所以比其他類型的機構擁有更多的奇異區間、更豐富的奇異種類，理論分析也更加復雜［3－5］。奇異位形對并聯機構的有效工作空間、可控性、剛度、速度變化的均勻性和運動的靈活性等都會產生不利的影響［6－7］。

并聯機構的奇異位形可以看作先天固有的一類機械系統故障。機構如果對“奇異”這種“故障”具備了容錯糾錯能力，它的應用價值將得到進一步的提高。文獻［8］從理論上證明了冗余驅動能夠消除驅動奇異，文獻［9－11］就不同的并聯機構提出了冗余驅動的實現方法并取得了較好的效果。

本文提出了并聯機構奇異位形容錯糾錯策略的基本框架，基于線性方程組解的分類和矩陣條件數的數學意義給出了添加冗余驅動不產生額外內力的條件、冗余驅動克服第二類奇異的判定依據以及奇異容錯失效的原因，最后圍繞克服2RPS＆2TPS型并聯機構一個典型的奇異位姿問題，對并聯機構奇異容錯能力的評價指標、冗余驅動結構參數的最優設計和各種奇異容錯策略的優劣比較進行了討論。

1 并聯機構的奇異容錯糾錯策略

2RPS＆2TPS型并聯機構如圖1所示，它由正方形布局、外接圓半徑分別為r和R的動平臺和固定平臺，以及連接它們的4條腿組成，4條腿的長度分別為l1、l2、l3、l4，4條腿與動平臺由球鉸連接。l1、l3與定平臺由軸線與B2B4平行的轉動副連接，l2、l4與定平臺由虎克鉸或球鉸相連。機構的自由度為4，每條腿中各有一個移動副，在4條腿驅動器的作用下，動平臺可以實現空間的位置和姿態變化。

圖1 四自由度空間并聯機構簡圖

并聯機構奇異的實質是機構的雅克比矩陣降秩，位形空間與驅動空間因失去確定的映射關系而處于不可控的狀態。并聯機構奇異位形的分類方法中經典的有 Gosselin［12］和 Park［13］的分類方法，在Gosselin的奇異分類方法中，第一類、第三類奇異發生在工作空間邊界，通過限定驅動器運動范圍很容易就能避免；第二類奇異以奇異曲面的形式大量存在于工作空間內部，將工作空間分割成互不連通的區域，機構的結構越復雜，奇異曲面越復雜，對運動影響也越大。第二類奇異發生時，末端執行器具有瞬時自由度，機構在外力的作用下不能保證靜態平衡，處于一個不穩定的狀態，第二類奇異也稱為力不確定位姿或力不約束位姿，克服它的方法最值得研究。本文將第二類奇異看作機械系統的“故障”，研究了其容錯糾錯技術，下文提到的奇異都是指第二類奇異。

并聯機構對奇異的容錯糾錯是指機構在無人干預的情況下能順利地度過奇異位姿，完成預定操作任務。基本原理如圖2所示。故障檢測模塊由傳感器測得的數據計算得到描述奇異位形可診斷性和可修復性兩個指標值。首先比較診斷性指標，當它高于某值時，機構正常工作，冗余驅動器處于從動狀態；當它低于某值時，故障發生。再比較修復性指標，當它高于某值時，系統對故障具有容錯糾錯能力，冗余驅動器啟動，添加的冗余驅動的關節由被動變為主動；當它低于某值時，故障不能自動排除，系統停機，報警。

圖2 奇異位形容錯糾錯控制系統原理框圖

2 冗余驅動實現奇異容錯的原因分析

設驅動器數為m，自由度數為n，A′的秩為R（A′），則A′∈ Rm×n（m ＞n），A 為A′的子方陣。對于某時刻特定的輸入，B′q·′ 可看作常量，式（3）為超定線性方程組，它的解分三種情況。

（1）R（A′）＞n時式（3）無解，對應冗余驅動產生很大的內力，機構可能遭到破壞。因此添加冗余驅動的必要條件是R（A′）≤n，即冗余驅動器的運動不任意，應由其他驅動器運動的線性組合給出。后面的討論只針對R（A′）≤n的情況。

（2）R（A′）＝n時式（3）有唯一解。此時機構可能處于兩種狀態：一是原機構不發生奇異；二是冗余驅動克服了奇異，方程組必須滿足m－n≥n－R（A），且引入冗余驅動而增加的m－n個方程中有n－R（A）個線性無關的方程不能由式（2）中任意r′個方程線性表示。

（3）R（A′）＜n 時式（3）有無窮多解。由于R（A）≤R（A′），故A奇異。該情況發生的原因有二：當m－n＜n－R（A）時，有R（A′）≤R（A）＋（m－n）＜n，實質是添加冗余驅動器的數量不夠；當m－n≥n－R（A）時，增加的m－n個方程中找不到n－r′個線性無關的方程或這n－r′個方程中有方程能由式（2）中r′個線性無關的方程線性表示。這兩種情況都對應于冗余驅動沒有克服奇異。

3 容錯性能指標與容錯結構優化

國內外學者對冗余驅動克服奇異位形做了一些有價值的研究工作。文獻［8］將冗余驅動力能否在機構的不可控運動方向做功作為判定奇異是否得到克服的判定依據，文獻［10］以平面三自由度并聯機構為例，通過比較添加冗余驅動前后機構所具有的奇異位姿的減少說明冗余驅動克服了奇異。對于冗余驅動的啟動控制，需要提出一個指標來定量描述奇異被克服的程度。本文定義了并聯機構的奇異位形容錯糾錯度指標，它只與機構的結構參數、運動位姿和冗余驅動的結構參數有關，以下簡稱為奇異容錯度，用χ表示：

式中，i＝Cnm，m＞n；Aj為機構中n個驅動約束方程構成的方程組的輔助正解雅克比矩陣；cond（）為矩陣的條件數函數；λj為各個雅克比矩陣條件數的權系數，cond（Aj）→ ∞時，λj＝0，否則λj＝1。

特別地，對于沒有冗余驅動器工作的原機構，m＝n，將它的奇異容錯度記為χ0：原機構在發生奇異的位姿處不具有奇異容錯能力，所以這些位姿對應的χ0為零。χ0＝0可以作為原機構發生奇異的判定依據。

矩陣的條件數刻畫了擾動對方程組解的影響程度。cond（A）能反映并聯機構的三種狀態：cond（A）較小時數值穩定性好，對于q·的微小變化，p·的變化也很小，機構的可控性和運動性好；cond（A）較大時數值穩定性差，q·的微小變化能引起p·很大的變化，機構的可控性和運動性差；cond（A）無窮大時A奇異，q·不變時p·仍能在對應特征向量方向上變化，即動平臺具有了瞬時自由度，機構發生奇異。cond（A）≥1恒成立，所以0≤χ≤1。當χ＝0時，所有cond（Aj）都為無窮大，即A′中每個n階子方陣都奇異，R（A′）＜n，冗余驅動沒有克服奇異；當χ＞0時，R（A′）＝n，冗余驅動克服了奇異。χ越大說明容錯的效果越好。

由以上的分析可知：冗余驅動實現奇異容錯的充要條件是，在原機構發生奇異的位姿處冗余機構的奇異容錯度大于零，即χ＞χ0＝0。

定義奇異容錯度的維數為驅動器數與機構維數之差，簡稱奇異容錯維數，記為V（χ），即

顯然V（χ0）＝0。某一奇異具有容錯的必要條件是奇異容錯維數不小于奇異空間的維數，即

并聯機構添加冗余驅動前后的奇異容錯度分別為χ和χ0，一方面它們可以分別作為診斷性指標和修復性指標實現容錯控制，另一方面也能利用它們對冗余驅動的結構參數進行優化設計。χ描述了奇異被消除的程度，它的大小只與原始機構的結構參數、位姿變量及冗余驅動的結構參數有關。因此容錯結構優化問題可以描述為：根據已知的操作任務確定原始機構的結構參數，并由χ0＝0確定出機構發生奇異的位姿后，搜索冗余驅動的結構參數，使χ極大化，即

式中，p為并聯機構的位姿輸出向量；Rp為運動平臺工作空間；e為添加冗余驅動的分支與動平臺相連的鉸鏈點在基礎坐標系中的坐標向量；Re為e所允許選取的位置的集合；f為添加冗余驅動的分支與定平臺相連的鉸鏈點在基礎坐標系ξ中的坐標向量；Rf為f所允許選取的位置的集合。

滿足式（9）、式（10）的位姿發生了奇異，式（11）是對冗余驅動結構參數的約束。式（7）～式（11）是非線性約束最優化問題。

4 奇異容錯糾錯實例

4.1 原始機構的奇異位形分析

建立坐標系如圖1所示，定平臺各鉸鏈點在基礎坐標系ξ中的坐標為：Bi＝ （gi，hi，0）T，i＝1，2，3，4。動平臺上各鉸鏈點在動坐標系ξ′中的坐標為：P′i＝（mi，ni，0）T，i＝1，2，3，4。

ξ′相對于ξ的姿態可通過兩次旋轉變換得到：①繞y軸旋轉角度α；②繞x′軸（由旋轉變換①得到）旋轉角度β。旋轉變換矩陣R為

4條腿的長度用鉸鏈點Bi、Pi的坐標表示為：｜Bi－Pi｜2＝l2i，得到機構的約束方程如下：

由式（17）知：α＝β＝0時｜A｜＝0，即兩平臺平行時發生奇異。機構運動通過該位姿時，它的各種性能將難以保證，機構若要在此位姿停留，在外力的作用下將失去平衡。

4.2 容錯策略及容錯效果分析

添加帶驅動的TPS分支是并聯機構實現冗余驅動常用的方法，由自由度計算可知，添加這種分支不改變原機構的自由度。用此方法在2RPS＆2TPS機構上實現冗余驅動，該分支安裝的位置不同會影響奇異容錯的效果。假設它與動平臺中心p相連，與定平臺的連接點f可以在定平臺上任意選取。

方案Ⅰ：f點選為O，如圖3a所示。寫出約束方程后對時間求導，再與式（15）構成新的方程組，得到此冗余機構的A′1，代入α＝β＝0后經初等行變換得

由式（18）知R（A′1）＜4，說明方案 Ⅰ 沒有克服奇異。從上面的過程不難發現，現有的冗余驅動結構參數的設計方法具有一定的盲目性，隨意添加冗余甚至有時不能達到奇異容錯的效果。

筆者通過研究發現動平臺和固定平臺上各鉸鏈點的對稱分布是造成這一奇異發生的原因，可以采用不規則的鉸鏈點分布消除此類奇異。

方案Ⅱ：如圖3b所示。相比原始機構，鉸鏈點B2在基礎坐標系中的坐標選取為（－0.5R，－R，0），其他結構參數不變。l2對應的約束方程為

用式（20）替換式（15）中對應的方程后代入α＝β＝0，并經初等行變換得

由式（21）知R（A′2）＝4，所以方案 Ⅱ 克服了這類奇異。

圖3 機構簡圖

4.3 仿真算例及分析

外接圓的半徑分別取R＝180mm，r＝90mm，動平臺中心p點在基礎坐標系ξ中的坐標為（70，0，400）mm，α、β 在 （－10°，10°）范圍內變化。用容錯結構優化方法進行運算：第一步由式（9）、式（10）得到機構發生奇異的一個姿態參數α＝β＝0。將α＝β＝0代入原機構的輔助正解雅克比矩陣，得到奇異容錯維數為1，確定需要添加冗余驅動器最少的數目為1。冗余驅動機構的A′3為

由式（22）可知，f點坐標在Y軸方向的選取對于奇異容錯的效果沒有影響。確定f點在X軸方向的坐標fX為優化設計變量，由容錯結構優化算法求得fX＝±180mm。將f點選為A1點的方案記為方案Ⅲ，如圖4所示。

圖4 機構簡圖

圖5 奇異容錯度隨α的變化曲線

圖5為β＝0、α∈ （－3°，3°）時，原機構和方案Ⅰ、方案Ⅱ、方案Ⅲ的奇異容錯度隨α的變化情況。從圖5中可看出零維奇異容錯度在α＝0°附近急劇地趨向于零，說明原機構在α＝β＝0處發生了奇異；方案Ⅰ的奇異容錯度在α＝β＝0處也為零，說明它沒有起到克服奇異的作用；方案Ⅱ、方案Ⅲ在α＝β＝0處都不為零，說明它們克服了奇異；方案Ⅲ的奇異容錯度值比方案Ⅱ的奇異容錯度值大，說明方案Ⅲ的奇異容錯效果更好，圖6顯示了奇異容錯度的值與fX之間的關系。

圖6 奇異容錯度與fX的關系

5 結論

（1）發現了2RPS＆2TPS型并聯機構一個典型的奇異位形位姿，當固定平臺與動平臺平行時，出現奇異位形；證明了采用不規則的鉸鏈點分布能有效消除該奇異位形。

（2）隨意添加冗余驅動具有一定的盲目性，有時甚至起不到消除奇異的效果；基于奇異容錯度的冗余驅動器結構參數的優化設計方法能夠得到奇異容錯效果最佳的添加冗余驅動的方案。

（3）當機構一些尺寸參數由于某些原因確定且無法修改時，添加冗余驅動消除奇異的方法相比不規則的鉸鏈點分布法具有更好的奇異容錯效果。

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Study on Fault Tolerance and Fault Rectification Strategy and Approach for Singularities of a 4－DOF Spatial Parallel Mechanism

Chen Si Fan Shouwen
University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu，611731

Based on singularity classification approach of Gosselin，singularities of typeⅡ were treated as a kind of mechanical system faults，a fault－tolerance and fault－rectification strategy framework for eliminating singularities was presented based on actuation redundancy herein.Basic idea and implementation process of this framework were expatiated，the essence of singularity occurring and singularity being removed were interpreted by solutions of linear equations and matrix condition number.Degree of singularity fault－tolerance was defined as an index for describing the performance of singularities being eliminated.Based on this index，an optimization algorithm was proposed to determine optimal structural parameters for the redundant actuation，which enabled parallel manipulators to possess maximum singularity fault－tolerance ability.A typical singularity loci for 2RPS＆2TPS parallel mechanism was obtained，three fault－tolerance and fault－rectification strategies were presented and compared in details.Simulation researches for above three fault－tolerance and fault－rectification strategies were conducted.Simulation results show that the fault－tolerance and fault－rectification strategy based on degree of singularity fault－tolerance can eliminate side effect of singularities in parallel mechanisms effectively.

parallel mechanism；singularity；fault－tolerance；fault－rectification；actuation redundancy

TH11；TG502.13

1004—132X（2011）10—1143—06

2010—07—28

國家自然科學基金資助項目（50775027）；機械傳動國家重點實驗室開放基金資助項目（SKLMT－KFKT－201010）；流體傳動及控制國家重點實驗室開放基金資助項目（GZKF－201029）

（編輯 袁興玲）

陳 斯，男，1985年生。電子科技大學機械電子工程學院碩士研究生。主要研究方向為并聯機構設計、容錯控制。范守文，男，1968年生。電子科技大學機械電子工程學院教授、博士研究生導師。