激勵參數對2K－H行星輪系動態響應的影響

孫首群 趙玉香 徐 偉 楊 凡 楊 炎

上海理工大學，上海，200093

激勵參數對2K－H行星輪系動態響應的影響

孫首群 趙玉香 徐 偉 楊 凡 楊 炎

上海理工大學，上海，200093

采用集中質量法構建了混合動力汽車行星齒輪減速機構多自由度彈性動力學模型。在綜合考慮時變嚙合剛度、綜合齒頻誤差以及齒側間隙激勵條件下，借助自適應變步長五階Runge－Kutta法求解該多自由度振動系統的非線性動力學方程。通過位移和動載荷的時間歷程、相圖、FFT、Poincaré映射等途徑，獲得了系統的動態響應和齒間動載特性，并分析了系統各激勵參數對動態響應的影響。結果表明，激勵頻率、齒側間隙、外載荷等激勵參數對系統動態響應影響巨大。

2K－H行星齒輪；參數激勵；非線性動力學；動態響應

0 引言

近20年來，國內外研究者在齒輪上尤其是在行星輪系非線性動力學的研究上已經取得了很多成果［1－7］。由于行星齒輪機構同時有多對齒輪副外嚙合和（或）內嚙合，因而這實際是一個串并聯多自由度動力系統，其非線性響應非常復雜。Parker等［8］用有限元法研究了行星齒輪系統非線性動態響應，Sun等［9］用諧波平衡法研究了行星輪系的幅頻特性，孫智民等［10－11］用數值方法研究了星型輪系純扭轉模型的非線性動力學特性。但是，上述研究成果中有的建模過程簡化較多，有的對多種外載因素變化的綜合影響考慮不夠全面，有的對系統的非線性響應特性的分析不夠深入、細致。鑒于以上情況，本文同時考慮齒側間隙、綜合誤差、時變剛度等因素的綜合影響，對2K－H行星輪系多自由度復雜動力學系統強非線性動力學行為進行深入細致地分析和研究。

2K－H行星輪系作為一個參數激勵系統，各激勵參數怎樣影響動態響應，不同激勵參數下系統嚙合狀態會發生怎樣變化，都有待深入研究。了解參數在系統的整個動力學行為中所起的作用，有助于更加深入地了解系統的振動機理，掌握系統的動力學特性，尋求降低齒輪振動的措施，從而提高齒輪傳動的動態性能。

本文以混合動力汽車雙電機驅動系統的主減速器為研究對象，運用集中質量法構建了混合動力汽車行星齒輪減速機構多自由度彈性動力學模型，借助變步長自適應Runge－Kutta法進行求解。在不同參數激勵變化下對系統動態響應進行詳細而深入的分析和研究，并進一步研究其動態特性及嚙合振動產生的動載荷，對減小振動與沖擊、降低噪聲、延長工作壽命、保證工作可靠性等方面有重要意義。

1 行星齒輪減速器物理模型

圖1是混合動力汽車雙電機驅動系統示意圖。其工作原理是：汽車正常行駛時，主電機5高速運轉，單向離合器4分離，系統動力全部由主電機5通過主減速器6提供，輔助電機7的一端帶動輔助減速器3空轉，另一端通過皮帶輪1帶動空調2運轉；當汽車爬坡等動力不足時，主電機5轉速降低，單向離合器4在主電機5轉速降低到預設值時接合，輔助電機7與主電機5共同向汽車提供動力，從而有效改善了汽車爬坡時的動力性能。

圖1 雙電機驅動系統示意圖

本文研究對象為主減速器6，其機構簡圖見圖2。該機構中，太陽輪s與行星輪p為外嚙合，行星輪p與內齒圈r為內嚙合，內齒圈r固定在機架上。動力從輸入軸h輸入，通過行星架c傳遞到輸出軸l。圖3為該機構的彈性力學模型圖。

圖2 2K－H行星輪系傳動機構簡圖

圖3 行星輪系力學模型圖

2 行星輪系非線性動力學模型

2.1 動力學方程

以輸入轉矩作用下各個構件產生的運動方向為各自角位移相應的正方向，定義嚙合線上的等價線位移時也以輸入轉矩作用下的運動方向為正方向，而對于各個嚙合作用線上的相對位移x，則規定齒面受壓時其為正方向。

下面針對圖2和圖3所示的行星齒輪減速器進行受力分析，建立彈性動力學方程。

設φn為回轉角，Rbn為基圓半徑，Jn為轉動慣量，其中下標n表示各元件的代號。

根據嚙合關系知，太陽輪s與行星輪p的相對位移ΔSsp和行星輪p與內齒圈r的相對位移ΔSrp分別為

式中，下標pi表示第i個行星輪。

設P、D分別為齒輪副的彈性嚙合力和黏性嚙合阻尼力，則有

應用拉格朗日方程，建立八自由度的扭轉振動模型，其中扭轉自由度分別為φh、φs、φpi、φc、φl。圖3所示系統的動力學微分方程如下：

式中，Jceq為行星架等效轉動慣量；mp為行星輪的等效質量；α為壓力角；mh、ms、mpi及ml分別為主軸（齒輪軸）、太陽輪、第i個行星輪及行星架的當量質量；Rbc為行星架當量半徑。

角位移與嚙合線上的線位移轉換式如下：

則可將上述方程組轉換為關于以上10個坐標的方程，寫成狀態方程為

式中，X（t）為系統位移列矩陣（10×1）；M 為系統的質量矩陣（10×10）；C為系統的阻尼矩陣（10×10）；K為系統的剛度矩陣（10×10）；f為系統間隙非線性函數列矩陣（10×1）；F（t）為系統載荷列矩陣（10×1）。

2.2 系統量綱一處理

定義量綱一時間自變量τ＝ωnt，同時引進位移標稱尺度bc＝1μm，通過量綱計算可得出其他量綱一表達式：

為敘述方便，以下各量綱一符號不再加上劃線，未特別說明的各物理量，均為量綱一量。

3 求解與分析

3.1 方程求解

對間隙型非線性微分方程（式（9）），采用變步長五階Runge－Kutta法求其數值解，并針對混合動力汽車雙電機驅動系統的主行星減速器（內含4個行星輪）進行計算。該2K－H行星齒輪傳動系統的部分原始參數見表1。

表1 2K－H行星齒輪減速器原始參數

考慮初始值的影響，為消除系統的瞬態響應，需要將開始的數百個周期略去，這樣才能得到效果理想的相圖、Poincaré映射圖等。求解時，每個嚙合周期劃分為200個等分，相對誤差控制為10－6，絕對誤差控制為10－8。以穩態響應的時間序列為基礎，獲得了該動力系統的位移時間里程圖、相圖、Poincaré映射圖、FFT譜圖等。以下結果均為太陽輪與行星輪的嚙合時的結果，行星輪與內齒圈的嚙合類似，限于篇幅本文不再贅述。

3.2 激勵頻率對動態響應的影響分析

取嚙合阻尼比ζ＝0.02，改變激振頻率Ω，分別得到系統的穩態響應如圖4～圖8所示，其中，f為行星輪系統的橫向振動頻率。

由圖4可知，在Ω＝0.3時，系統為簡諧響應，位移時間歷程為標準正弦波，相圖為標準橢圓，Poincaré映射為單個離散點，FFT頻譜只出現在激勵頻率Ω上，這和線性系統得到的結果相同，即單頻激勵單頻響應。

圖4 簡諧響應（Ω＝0.3）

圖5 單周期非簡諧響應（Ω＝0.38）

圖6 周期二次諧波響應（Ω＝0.5）

圖7 擬周期響應（Ω＝0.78）

圖8 混沌響應（Ω＝0.85）

如圖5所示，系統響應為非簡諧單周期響應，此時的位移時間歷程仍為單周期運動，但相圖為非橢圓單環閉合曲線，Poincaré映射依然為單個離散點。在Ω＝0.5時，系統為周期二次諧波響應（圖6），此時響應的時間歷程為頻率為Ω／2的周期運動，Poincaré映射包含2個離散點，而FFT頻譜分布在多個離散點上。在Ω＝0.85時，系統出現了混沌響應（圖8），此時的位移時間歷程為非周期的，Poincaré映射為無窮多個片狀的密集點，而其FFT頻譜是具有一定寬度的連續譜。

以上在不同激勵頻率條件下得到了系統5類穩態響應，即簡諧響應、單周期非簡諧響應、周期二次響應、擬周期響應以及混沌響應，各種穩態響應分別具有不同的特征。具有超諧或次諧成分的周期響應、擬周期響應和混沌響應是無法用線性系統理論得到的。由此可見，將非線性振動理論用于行星傳動系統的動態特性分析與研究中，可得到更為細致和深入的結果。

3.3 齒側間隙對動態響應的影響

參數取Ω＝0.8，量綱一內嚙合力矩Tin＝1130，嚙合阻尼比ζ＝0.02，改變齒側間隙b，分別得到系統的動載荷和相軌跡如圖9～圖14所示。

圖9 b＝0的動態響應

圖10 b＝10的動態響應

圖11 b＝20的動態響應

圖12 b＝60的動態響應

圖13 b＝150的動態響應

圖14 b＝200的動態響應

分析圖9可知，無間隙時系統為線性系統，其穩態響應為簡諧響應，動載荷為正弦波，相圖為標準橢圓，說明系統處于無沖擊狀態。分析圖9～圖11可知，量綱一齒側間隙小于40.5時相圖均為非橢圓封閉單環曲線，說明系統的穩態響應為單周期非簡諧響應，太陽輪與行星輪的嚙合處于雙邊沖擊狀態，且隨著齒側間隙的增大，動載荷的最大值也隨之增加，振動加劇。當齒側間隙為60時系統響應變為擬周期響應，嚙合處于雙邊沖擊狀態（圖12）。齒側間隙大于150時系統響應為混沌響應，系統仍處于雙邊沖擊狀態但有向單邊沖擊過渡趨勢，齒背沖擊出現的頻率和延續的時間越來越少，各齒輪副之間的嚙合狀態分別由雙邊沖擊狀態逐漸向單邊沖擊狀態轉化（圖13）。系統在量綱一齒側間隙為200時各齒輪副處于單邊沖擊狀態，此后再增大齒側間隙，各齒輪副嚙合狀態不再變化，而且其動載荷系數僅有微小變化。

由以上分析可見，當齒側間隙變化引起行星齒輪傳動的齒輪副嚙合狀態在無沖擊、單邊沖擊、雙邊沖擊之間轉化時，系統響應就會發生突變或分岔甚至混沌。在一定的齒側間隙范圍內，間隙的改變對系統的動態特性只有一些量上的改變，沒有質的影響，齒輪副之間的嚙合將保持在特定的嚙合狀態。但在一些臨界點處，響應是非常敏感的。總體上講，假如在齒側間隙較小時齒輪副的嚙合狀態出現齒背沖擊，那么隨著間隙的不斷增大，會趨向僅發生脫齒的單邊沖擊狀態。當間隙達到某一上限值時，齒輪副的嚙合狀態將保持單邊沖擊狀態，并且系統的響應也不再發生大的變化。

3.4 外嚙合扭矩對動態響應的影響分析

參數取Ω＝0.8，嚙合阻尼比ζ＝0.02，齒側間隙b＝100，改變量綱一外嚙合扭矩Tout，分別得到系統的動載荷和相軌跡如圖15～圖16所示。

由圖15和圖16可知，在扭矩較小時，系統響應為混沌響應。當彈性嚙合力保持大于0時，齒輪副的嚙合為正常嚙合，無沖擊發生；當彈性嚙合力出現0值而無負值時，說明輪齒之間無彈性嚙合力，齒輪副接觸處于脫齒狀態；而彈性嚙合力出現負值時，表明齒輪副以齒背進行接觸，相應的齒輪副有齒背沖擊現象發生。在圖15中齒輪副的最大動載荷很大，各齒輪副均處于雙邊沖擊狀態。當扭矩為950時系統仍為混沌響應，但齒輪副之間的嚙合狀態有所變化，太陽輪與行星輪變為正常齒面嚙合，不存在齒背嚙合，處于無沖擊狀態。

圖15 Tout＝50的動態響應

圖16 Tout＝950的動態響應

進一步計算分析表明，繼續增大負載，齒輪副的嚙合狀態不變，動載荷略有增加，系統響應出現跳躍，逐漸由混沌響應轉化為非簡諧兩周期運動。進一步增大負載，系統響應有轉變為標準簡諧響應的趨勢。

此結果與文獻［10－11］等在相近條件下的實驗與理論分析的結果基本一致［12］，從而說明本文研究方法是有效和可靠的。

4 結論

（1）不同激勵頻率使得系統經歷了5類穩態響應，即簡諧響應、非簡諧單周期響應、周期二次響應、擬周期響應以及混沌響應，各種穩態響應分別具有不同的特征。

（2）增大齒側間隙行星輪系的齒輪副嚙合狀態逐漸由無沖擊經歷單邊沖擊向雙邊沖擊轉化，在此過程中系統響應會產生突變或分岔以至混沌。在一定的齒側間隙范圍內，間隙的改變對系統動力學行為只有一些量上的改變，沒有質的影響，齒輪副之間的嚙合狀態保持不變。

（3）增加負載使系統中各齒輪副的嚙合狀態逐漸經歷雙邊沖擊、單邊沖擊到無沖擊狀態的過渡。每發生一次嚙合狀態的變化，系統響應必然出現質的飛躍。

［1］ 李潤方，王建軍.齒輪系統動力學－振動、沖擊、噪聲［M］.北京：科學出版社，1997.

［2］ 劉夢軍，沈允文，董海軍.單級齒輪非線性系統吸引子的數值特性研究［J］.機械工程學報，2003，42（4）：402－407.

［3］ 盧劍偉，劉夢軍，陳磊，等.隨即參數下齒輪非線性動力學行為［J］.中國機械工程，2009，20（3）：330－333.

［4］ 王曉筍，巫世晶，周旭輝，等.含側隙非線性齒輪傳動系統的分岔與混沌分析［J］.振動與沖擊，2008，27（1）：53－56.

［5］ 龐茂，周曉軍，楊辰龍.汽車主減速器非線性振動特性仿真［J］.浙江大學學報（工學版），2009，43（3）：559－564.

［6］ Al－shyyab A，Kahraman A.Non－linear Dynamic Analysis of a Multi－mesh Gear Train Using Multi－term Harmonic Balance Method：Period－one Motions［J］.Journal of Sound and Vibration，2005，284：151－172.

［7］ 唐進元，陳思雨.阻尼和剛度項含時變參數的強非線性振動系統周期解研究［J］.振動與沖擊，2007，26（10）：96－100.

［8］ Parker R G，Agashe V，Vijayakar S M.Dynamic Response of a Planetary Gear System Using a Finite Element／Contact Mechanics Model［J］.Transactions of the ASME，Journal of Mechanical Design，2000，122（3）：305－311.

［9］ Sun Tao，Hu Haiyan.Nonlinear Dynamics of a Planetary Gear System with Multiple Clearances［J］.Journal of Mechanism and Machine Theory，2003，38：1371－1390.

［10］ 孫智民，沈允文，王三民，等.星型齒輪傳動系統的非線性動力學分析［J］.西北工業大學學報，2002，20（2）：222－226.

［11］ 孫智民，季林紅，沈允文.2K－H行星齒輪傳動非線性動力學［J］.清華大學學報（自然科學版），2003，43（5）：636－639.

［12］ 趙玉香.行星齒輪減速器非線性動力學研究［D］.上海：上海理工大學，2009.

Impacts of Exciting Parameters on 2K－H Planetary System Dynamic Response

Sun Shouqun Zhao Yuxiang Xu Wei Yang Fan Yang Yan
University of Shanghai for Science ＆ Technology，Shanghai，200093

Elastodynamics model of multi－DOF system for planetary mechanism in the hybrid electric vehicle was founded by the method of lumped mass.The nonlinear dynamics equations of vibration system with the excitation of time－varying mesh stiffness，gear composite errors and clearances were solved by the method of the 5－steps self－adaptive Runge－Kutta.As a result，the dynamic response and behaviors of dynamic load between teeth of the system were acquired by combining with displacement or dynamic load，phase plane，FFT，Poincarémapping.Then，impacts of exciting parameters on system dynamic responses were analyzed.The numerical results indicate that frequency，backlash or external load has huge influence on system dynamic response.

2K－H planetary；parameter excitation；nonlinear dynamics；dynamic response

TH132.4

1004—132X（2011）01—0074—06

2009—12—31

國家高技術研究發展計劃（863計劃）資助項目（2009AA11Z211）；國家自然科學基金資助項目（50875174）；上海市教育委員會重點學科建設項目（J50503）

（編輯 郭 偉）

孫首群，男，1964年生。上海理工大學機械工程學院副教授、博士。研究方向為機電系統的電熱耦合效應及軸承轉子系統動力學。趙玉香，女，1980年生。上海理工大學機械工程學院碩士。徐 偉，男，1985年生。上海理工大學機械工程學院碩士研究生。楊 凡，男，1984年生。上海理工大學機械工程學院碩士。楊 炎，男，1986年生。上海理工大學機械工程學院碩士研究生。