柯西不等式的妙用

441000 湖北省襄陽市一中 王 勇 周雪麗

柯西不等式的妙用

441000 湖北省襄陽市一中 王 勇 周雪麗

以上不等式就是選修 4-5《不等式選講》中所介紹的柯西不等式(簡記為“方和積不小于積和方”),其應用十分廣泛和靈活,掌握它,對證明不等式、求函數的最值、解方程(組)、求參數的取值范圍、求代數式的值、實現有效傳接等都是大有裨益的.

應用柯西不等式解題的關鍵是,根據式子本身特點,對照柯西不等式,通過巧分因式,合理地添項、拆項,靈活地變換結構等,構造兩組實數,,…,,,,…,.下面分類例析,旨在探索題型規律,揭示解題方法.

1 利用柯西不等式證明不等式

∴原不等式成立.

點評 利用柯西不等式證明某些不等式時,有時需要將數學表達式適當地變形,這種變形往往要求具有很高的技巧,必須善于分析題目的特征,根據題設條件,綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數形結合等方法才能找到證題的突破口.

例 2 設 a,b,c均為正數,且 a+b+c=1,求證：

∴原不等式成立.

點評 利用柯西不等式證明其他不等式時,首先應轉化為符合柯西不等式的基本形式,爾后再進行證明,體現了轉化與化歸思想.

例 4 若 n是不小于 2的正整數,試證：

分析 注意中間的一列數的代數和,其奇數項為正,偶數項為負,可進行恒等變形予以化簡.

綜上可知原不等式成立.

點評 本題先進行代數變形將問題轉化,再兩次靈活運用柯西不等式,從而達到證明不等式的目的.

2 利用柯西不等式求函數的最值

例 5 設 a,b,c均為正數,a+b+4c2=1,求+的最大值.

分析 關鍵是構造兩組數使它符合柯西不等式的形式,另外還需注意等號成立的條件.

解析 因為 a,b,c均為正數,

由柯西不等式,有

例 6 如圖 1所示,等腰直角三角形 A O B的一直角邊為 1,在此三角形內任取點 P,過 P分別引三邊的平行線,與各邊圍成以 P為頂點的三個三角形(圖中陰影部分),求這三個三角形的面積和的最小值以及達到最小值時 P點的位置.

圖1

分析 首先建立直角坐標系,然后建立三個三角形的面積和 S與 xP,yP的函數關系式,最后利用柯西不等式求最值.

圖2

解析 分別取 O A,O B所在直線為 x軸,y軸建立如圖

3 利用柯西不等式解方程(組)

點評 利用二維形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(a c+b d)2,取“=”號的充要條件是 a d=b c,因此,在解題時,對照柯西不等式,必須弄清要求的問題中哪些數或代數式分別相當于柯西不等式中的“否則容易出錯.

例 8 在實數集內解方程組

分析 本題中兩個方程含有三個未知數,不可能用一般方法求解,我們可以利用柯西不等式,將不等式中的等號成立轉化為方程,從而使問題得到解決.

解析 將兩方程左右兩邊分別相加并變形,得

由方程 2x+3y+z=13變形,得

于是由柯西不等式,得

注意到 2x+(3y+3)+(z+2)=18,∴2x=3y+3=z+2=6,

解得x=3,y=1,z=4.

4 利用柯西不等式求參數的取值范圍

例 9 已知實數 a,b,c,d滿足 a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,試求 a的取值范圍.

分析 分離參數 a,利用柯西不等式把方程化為關于參數 a的不等式,解不等式即可.

點評 如果 a≥f(x)恒成立,則 a≥[f(x)]max;如果a≤f(x)恒成立,則 a≤[f(x)]min.這是很重要的結論,必須切實掌握.

5 利用柯西不等式求代數式的值

例 12 已知 a,b∈R且 a2-2b2+b1-2a2=1,求 2a2+b2的值.

解析 由柯西不等式,得

6 利用柯西不等式實現有效傳接

分析 (1)用柯西不等式證明;(2)可考慮直接用(1)的結論即可.

點評 本題先利用柯西不等式得到不等關系,再由柯西不等式中取等號的條件得到等量關系.

例 16 (1)設三個正實數 a,b,c滿足(a2+b2+c2)2＞2(a4+b4+c4),求證：a,b,c一定是某一個三角形的三條邊長;

分析 (1)是為(2)服務的,(2)是(1)的推廣,所以把(2)中,…,中任何三個關系轉化為(1)的條件即可.

證明 (1)由題意,得

(2)運用柯西不等式,得

20110321)