人教版“條件概率”探究引例的隨機模擬設計

●劉紅霞 (平湖中學 浙江嘉興 314200) ●龔 雷 (杭州市第九中學 浙江杭州 310020)

人教版“條件概率”探究引例的隨機模擬設計

●劉紅霞 (平湖中學 浙江嘉興 314200) ●龔 雷 (杭州市第九中學 浙江杭州 310020)

在人教版教材必修3中學生學習了電腦隨機模擬方法，針對人教版教材選修2-3(本文所提到的教材均指人教版教材)中“條件概率”一節的一個探究引例:

3張獎券中只有一張能中獎，現分別由3名同學無放回地抽取，問最后一名同學抽到中獎獎券的概率是否比前2名同學小．

學生很自然地提出了這樣一個問題:能否用隨機模擬方法驗證這一問題?可惜教材對此只字未提．筆者曾就此問題與一些數學教師討論過，有不少數學教師并不能獨立設計出用EXCEL進行隨機模擬的方法，這直接引發了筆者寫作本文的沖動．

將3張獎券分別編號為0，1，2，并規定0號為中獎券．第1位同學的隨機結果很容易模擬，在EXCEL中用函數INT(3*RAND())即可生成{0，1，2}中一個隨機數(以下用A表示此數)．這里的RAND()是一個隨機函數，生成區間(0，1)上的連續型隨機數(實質上仍是離散的);INT()是取整函數(教材中介紹的整數型隨機函數RANDBETWEEN()在EXCEL的典型安裝方案中一般沒有裝入，所以這里采用這2個更基本的函數，使得這個方法更具普適性)．這些內容學生在必修3中都已經有所接觸．

如何模擬第2位同學的摸獎結果?這是一個難點．用函數INT(2*RAND())(以下用D表示此數)可以模擬在剩下2張中任取一張的2種結果，但這并不是其抽到的真實號碼．我們可以這樣來理解，在第1位同學抽取以后，剩下的獎券按原來次序重新編號為0和1，而隨機數D正是這個重新編號以后的號碼．這樣一來，能否還原這2張獎券的原先號碼就成為解決這個問題的關鍵．通過分析不難發現:原號碼B與新號碼D之間滿足函數關系:

在EXCEL中，可利用邏輯函數“=IF(A1＜=D1，1，0)”來實現這一函數，其含義是:當 A1≤D1時取1，否則取0．

1 隨機模擬的基本思路和方法

解決了第2位同學的模擬，最后一位就不再復雜了，可以利用“3位同學的獎號總和為3”這一規律來設計．于是，就得到了用EXCEL進行隨機模擬的基本思路和方法，具體操作如下:

(1)在A1單元格輸入“=INT(3*RAND())”;

(2)在D1單元格輸入“=INT(2*RAND())”;

(3)在E1 單元格輸入“=IF(A1 ＜ =D1，1，0)”;

(4)在B1單元格輸入“=C1+E1”;

(5)在C1單元格輸入“=3－A1－B1”;

(6)選中A1:E1區域，利用復制句柄將其復制N行，得N次隨機試驗，表1為20次隨機試驗的結果．

接下來只需利用EXCEL的統計和計算功能計算頻數和頻率即可，這里不再贅述．

表1 20次隨機試驗的結果

2 條件概率公式在此隨機模擬中的直觀解釋

這個隨機模擬過程可以較為直觀解釋為什么第2位學生的中獎概率不是而是．事實上，雖然D列中0的頻率接近于，但這并不全部都是真正的中獎券．例如當第1位同學抽到0號簽時，剩下的號簽都進行了重新編號，1號改成了0號．因此當且僅當A列不為0時，D列的0號簽才是B列的0號簽．例如在表1中，D列共有9個0，接近，但其中第9，11，17次試驗對應的 A列是0，此時中獎簽已經被第1位同學抽取，D列的0并不是第2位同學抽取的真實簽號，第2位同學抽取的真實號簽是1，所以B列中0的個數為6，接近．我們可以按對應的 A列取值{0，1，2}，將其分為3類，這3類基本上是平均分布的．其中對應于A列取值為1和2的2類才是真正的中獎券．因此D列中真正的中獎券頻率約為:×=．這恰好印證了條件概率公式:

3 隨機模擬結果的精致化

隨機模擬只能用頻率來近似估計概率，控制隨機誤差的唯一方法是增加試驗次數．雖然電腦模擬使得增加試驗次數并不困難，但這也同時帶來了對精度的進一步追求．從某種意義上來講，單憑這樣的隨機模擬要讓學生相信“3位同學的獲獎概率都一樣”這個結論沒有太大的說服力．

解決這個問題可以從2條思路考慮:一是從改進這個隨機模擬方法的角度思考;一是從結合其他解題思路(例如教材上的用古典概型的概率計算公式分析)．后者不是本文所要論述的問題，這里著重研究一下前面這個思路．

我們知道，頻率在概率附近擺動，而且隨著試驗次數的增多，頻率越接近概率．但這并不是說200次試驗所得的頻率值一定比100次試驗所得的頻率值更接近概率．在教材必修3中采用了用折線圖方法反映隨著試驗次數增加頻率的變化趨勢．我們這里也可以采用這種方法把隨機模擬的結果更精致化(如表2)．

表2 中獎頻率和中獎頻數

據此畫出如圖1所示的折線圖就能很清晰地說明了3個頻率越來越接近的趨勢:

圖1

4 不是題外話

曾經有一位教育家說過:“如果學生沒有按照我們教的方法去學，那么我們就按照學生學的方法來教”．有些教師喜歡讓學生按照自己教的方法學，很少注意到改進自己的教學方法以適應學生學的方法．這正是新課程改革所期望改變的．

在學習理解概率的過程中，電腦隨機模擬方法雖然不見得是所有學生都喜愛的方法，但肯定是部分學生所喜歡的，可惜有一些教師沒有認真體會新課程理念，沒有給這一部分學生以足夠的關注．這大概也就是“關注平均分”與“關注學生個性”之間的不同點之一吧?本文也無非就是對這種教育理念的一次實踐．的極線為x=－t．拋物線在點A處的切線與極線x=－t交于點N，過點N作直線AP的垂線MN，垂足為M，則直線MN恒過x軸上的一個定點Q，且點M的軌跡是以PQ為直徑的圓(點Q除外)．

故直線MN通過x軸上一點Q(p－t，0)．

當x1=t時，MN的方程為y=0，顯然直線MN過 x軸上一點 Q(p－t，0)．

因為t是定值，所以Q(p－t，0)為x軸上的一定點，故直線MN恒過x軸上一定點Q(p－t，0)．

由于P，Q 是 2個定點，且∠PMQ=90°，因此點M的軌跡是以PQ為直徑的圓(點Q除外)．