一道2010年中考題的教學分析

●羅增儒 (陜西師范大學數學系 陜西西安 710062)

一道2010年中考題的教學分析

●羅增儒 (陜西師范大學數學系 陜西西安 710062)

這是一道對初中生來說難度很大的問題．據測試，大約300人中只有9人做對，初中教師做對的概率也很低(有人懷疑超綱)．本文想以此作為解題教學的示例，分4個步驟講解如下．

題目水管的外部需要包扎，包扎時用帶子纏繞在管道的外部．若要使帶子全部包住管道且不重疊(不考慮管道2端的情況)，需計算帶子的纏繞角度α(α指纏繞中將部分帶子拉成圖1所示的平面ABCD時的∠ABC，其中AB為管道側面母線的一部分)．若帶子寬度為1，水管直徑為2，則 α的余弦值為 ＿＿．

圖1

(2010年浙江省紹興市數學中考試題)

1 理解題意

包括3項基本工作:

(1)條件是什么?一共有幾個?其數學含義如何?

條件有4個:

①以水管及附圖為載體給出一個圓柱，從而圓柱的所有性質可視為已知．

②圓柱(水管)的底面直徑為2，從而底面及水平截面圓的周長、面積等可視為已知．

③以帶子纏繞管道為載體給出圓柱側面的一個斜長條圖形覆蓋，斜長條圖形展平時底邊與母線的夾角為α．

④帶子寬度為1，即2條平行線間的距離為1．但帶子寬度應在什么地方出現呢?文中沒有明確的交待．

(2)結論是什么?一共有幾個?其數學含義如何?

結論有1個:求角α的余弦值．

(3)條件與結論有什么初步聯系?

①結論所需要的直角三角形應該在條件③的斜長條圖形的展開圖中．而為了得出展開圖，需要用到條件①中圓柱的性質，結合本例有:

1°圓柱的母線與底面垂直;

2°圓柱側面沿母線剪開的展開圖為矩形，而不沿母線剪開的展開圖可以為平行四邊形．

②為了找出結論所需要的直角三角形，從條件①和條件④中找出提供直角的2處機會:

1°“圓柱的母線垂直于底面”;

2°“帶子寬度為1”，即2條平行線間的距離，有垂直的含義．

③為了找出計算余弦值所需要的“鄰邊、斜邊”，我們關注條件②和④．由底面直徑為2知，圓柱的底面周長為2π;由帶子寬度為1知，點A到BC的距離為1．

條件與結論的更深入聯系由“思路探求”階段去完成．

2 思路探求

(1)為了求角α的余弦值，要尋找α所在的直角三角形．

(2)為了找直角三角形，把纏繞一圈的帶子展開，這時出現一個平行四邊形和角α，但還沒有出現直角三角形(參見圖2中的實線)．

(3)為了出現直角三角形，連結AC，并作AH⊥BC，有 AC=2π，AH=1，AB⊥AC(如圖 2)，得出 3個直角三角形:Rt△BAC，Rt△ABH，Rt△AHC(可以不用)．

(4)由于Rt△AHC有2條已知邊，因此每個銳角的余弦都可求得．由同角的余角相等知，∠CAH=∠B=α(解法見文獻［1］)．

圖2

3 書寫解法

解設圖1中帶子的一圈里，點 C與點 A重合、CD與AB共線，則纏繞一圈的帶子展開后為平行四邊形(如圖2)，作對角線AC及邊上的高AH，則AC⊥AB．由△ABC≌△HAC，得

4 反思回顧

(1)問題解決的關鍵是將圖1中纏繞一圈的帶子展開(如圖2)，把空間問題化歸為平面幾何中解直角三角形的問題求解．主要有以下3個化歸:

化歸1把一個實際問題轉化為一個數學問題(需要空間想象能力);

化歸2把一個空間數學問題轉化為平面數學問題(平行四邊形)(需要構造性思維能力);

化歸3把一個平面數學問題轉化為解直角三角形．

(2)用到的數學知識有:

①圓柱．圓柱母線垂直于底面，圓柱側面展開圖為矩形．

②平行四邊形的判定．當把纏繞一圈的帶子展開時(空間圖形向平面圖形轉化)，AD平行并等于BC，因而四邊形ABCD是平行四邊形．但是這個四邊形上鮮有已知條件．

③直角三角形相似．作輔助線AC，AH，把平行四邊形的內角轉化為直角三角形的內角，并且出現了條件②和條件④，有△ABC≌△HAC(可用“同角的余角相等”來代替)．

④余弦的定義．

(3)主要困難有:

①在把一個實際問題轉化為一個數學問題時，想象不出帶子是如何纏繞在管道外部的，弄不清應該轉化為一個什么樣的數學問題，因而很多學生讀完題目后便不知如何入手了．

解決辦法:可動手操作，轉化為平行四邊形的內角問題．

②把一個空間數學問題轉化為平面數學問題時，將帶子展開為平面圖形具有開放性，學生想象不出展開圖形是什么，因而原圖1中的曲線BC不知該拉直到什么地方，這樣就找不到角α．

③有一部分學生把筆作為水管、用紙條進行操作(這是好辦法)，但會誤認為一周的展開圖是矩形(把 α 作為90°)．

解決辦法是通過正確操作，把圖1中的CD還原為與AB共線．

④想不到母線與過點A的圓周展開線垂直，因而“水管直徑為2”的條件沒有用上，輔助線AC也出不來．即使輔助線AC出來了，也不知道△ABC為直角三角形．

解決辦法:可以過點A作一個截面圓．

⑤誤認帶子寬度為AB，從而AB=1，帶子寬度的輔助線AH出不來．

⑥很多學生得出數值大于1的答案，這說明對余弦值概念理解不透．也反映出教師或學生對課本中“探究活動”重視得不夠．

本例的更多分析請參見文獻［1］．

［1］ 王春麗．一題一世界 亮點成永恒——紹興卷第16題［J］．中學數學教學參考(中旬)，2010(9):60．