基于黏結?滑移效應的鋼筋混凝土梁裂縫寬度數值計算

陸春華，金偉良，蔣遨宇，陳駒

（1. 浙江大學 結構工程研究所，浙江 杭州，310058；2. 江蘇大學 土木工程系，江蘇 鎮江，212013）

基于黏結?滑移效應的鋼筋混凝土梁裂縫寬度數值計算

陸春華1,2，金偉良1，蔣遨宇1，陳駒1

（1. 浙江大學 結構工程研究所，浙江 杭州，310058；2. 江蘇大學 土木工程系，江蘇 鎮江，212013）

基于黏結?滑移理論對鋼筋混凝土受彎構件裂縫寬度的計算進行說明，指出采用數值計算方法進行分析的必要性。在綜合考慮鋼筋與混凝土間的黏結?滑移效應、裂縫間混凝土拉伸硬化效應以及材料非線性本構關系等問題的基礎上，建立鋼筋混凝土梁構件裂縫寬度計算的數值模型。以8根HRB500級高強鋼筋混凝土梁受彎開裂試驗為例，將試驗結果、規范公式計算結果以及數值模型預測結果進行對比分析。研究結果表明：試驗梁短期最大裂縫寬度的模型預測結果與試驗結果較符合，兩者比值的均值為1.098，變異系數為0.146 5；而規范公式計算值則普遍大于試驗值，需要進行適當修正。取等間距開裂的模型梁進行算例分析，得出平均裂縫寬度預測值與規范公式的計算值較吻合，進一步驗證了該數值計算模型是一種有效的、準確的裂縫寬度分析方法。

鋼筋混凝土；受彎構件；黏結?滑移效應；裂縫寬度；數值模型

引起混凝土開裂的原因很多，我國現行《混凝土結構設計規范》（GB 50010—2002）[1]（以下簡稱“規范GB 50010”）主要針對荷載作用下由拉力和彎矩引起的構件橫向裂縫，是一種最常見的宏觀裂縫；規范GB 50010提出了具體的裂縫控制要求，并作為正常使用極限狀態驗算內容之一。對于該類裂縫寬度的計算理論，目前主要有以下3種[2]：黏結?滑移理論、無滑移理論和綜合裂縫理論。其中，黏結?滑移理論最為經典，應用最廣。基于黏結?滑移理論，國內外學者對受力裂縫的計算方法進行了一定的理論分析。Creazza等[3]假定鋼筋與混凝土間的黏結應力與滑移關系符合線性關系，并忽略裂縫間混凝土的拉伸硬化效應后得到了裂縫寬度計算公式的解析解；Kwak等[4]假定裂縫間混凝土與鋼筋的應變可用n次多項式函數來描述，由此據滑移量來計算裂縫寬度；Oh等[5]假定黏結應力與滑移關系符合冪函數關系，在考慮材料線性本構關系的基礎上推導出了裂縫寬度計算的理論公式。然而，以上研究都采用了一定假設和簡化處理，如果要綜合考慮黏結?滑移效應的復雜關系、混凝土的拉伸硬化效應以及材料的非線性本構關系時，很難直接從黏結?滑移理論得到裂縫寬度計算的解析解；此時，采用數值計算方法對裂縫寬度進行分析便是一種有效的途徑[6?7]。與此同時，隨著對混凝土結構耐久性要求的提高、保護層厚度的增大以及普通高強鋼筋（強度500 MPa及以上）的逐步推廣應用[8]，按我國規范GB 50010計算的最大裂縫寬度會出現明顯增大[9]，值得進一步試驗研究和理論分析驗證。鑒于此，本文作者以黏結?滑移理論為的基礎，建立了受彎梁構件裂縫寬度計算的數值模型；結合配置HRB500級鋼筋混凝土梁的受彎試驗，對試驗結果、規范公式計算結果以及數值模型預測結果進行對比分析，驗證了數值模型的可行性和準確性，相關結果可為規范公式的修訂提供參考。

1 黏結?滑移理論簡介

黏結?滑移理論一直被公認為“經典”的裂縫計算理論，并被廣泛地應用。如歐洲規范EN1992-1-1： 2004[10]，CEB-FIP Model Code 1990[11]以及我國規范GB 50010中驗算裂縫寬度的計算公式都是基于黏結?滑移理論建立的。理論認為當第一條（批）裂縫出現后（見圖1（a），圖中：lcr為裂縫間距；τb為黏結應力；T為拉力），裂縫處的混凝土將向兩邊回縮，使混凝土和鋼筋之間產生黏結應力。一方面，通過黏結應力的作用，鋼筋的拉力將部分傳給混凝土；另一方面，由于受拉鋼筋應變與混凝土應變存在差異，兩者間將產生相對滑移（見圖1（b））。此時，某一位置x處的滑移量s（x）可表示為[4]：

式中：lt表示黏結傳遞長度；εs（x）和εct（x）分別表示傳遞長度lt內某x位置處鋼筋與混凝土應變。

在初始開裂階段（裂縫間距lcr較大，一般lcr＞2lt），兩裂縫間有一定區域的混凝土和鋼筋應變相等，該區域不存在黏結應力τb和滑移（見圖1（c））；隨著外部荷載的增大，經過一定的傳遞長度可使該區域混凝土的拉應力達到抗拉強度，此時第2條（批）裂縫出現了。當所有的裂縫間距均小于2lt后，裂縫開展便達到穩定狀態。

圖1 鋼筋與混凝土間黏結與滑移Fig.1 Bond-slip between concrete and steel

根據黏結?滑移理論，某一裂縫的開展寬度w應該等于該裂縫左右兩側滑移量之和，即：

通過鋼筋、混凝土材料的受力平衡分析，在式（1）的基礎上，可得到以下描述黏結應力τb（x）與滑移s（x）關系的微分方程[4?5]：

式中：αE為彈模比，αE=Es/Ec；ρ為縱筋配筋率，ρ=As/Act；As和Act分別為縱向鋼筋面積和受拉混凝土面積；μd為縱向鋼筋的圓周長度。

給定黏結應力?滑移關系，在一定邊界條件下，可以據式（3）求得黏結應力的具體解函數，再通過力平衡關系求得鋼筋和混凝土的應力分布，進而求得相應的裂縫寬度w。但是，通過這種方法計算裂縫寬度存在以下不足之處[4]：

（1） 計算過程要經過2次積分，若黏結滑移關系比較復雜，則相應的解也很復雜；

（2） 鋼筋和混凝土的本構關系為非線性關系時，確定鋼筋和混凝土應變則較為繁瑣；

（3） 計算得到的最大黏結應力與試驗結果一般相差較大。因此，結合黏結?滑移理論對受力裂縫寬度問題進行數值分析計算是很有必要的。

2 數值計算模型的建立

2.1 模型定義

以鋼筋混凝土矩形受彎梁構件為例，根據裂縫開展位置將整根梁劃分為若干個母單元lcr,i；再將母單元等分為n個子單元，如圖2（a）所示。圖2（a）中，M表示彎矩。根據平截面假定，可得截面應變如圖2（b）所示。圖2（b）中，b為寬度；h為高度；uc（x）為受壓砼變形；uct（x）為受拉砼變形；us（x）為鋼筋變形；dt表示受拉混凝土應力傳遞有效高度，可按下式[6]計算。

式中：c為縱向受拉鋼筋的保護層厚度；d為縱筋的直徑。

圖2 數值計算模型圖Fig.2 Model for numerical calculation

2.2 子單元控制方程

對于每個子單元，可建立如下平衡方程（5）～（7）。其中，式（7）為鋼筋微元的平衡方程。

式中：Ac為受壓區混凝土面積，Ac=dc×b，dc為受壓區混凝土高度；At為受拉混凝土有效面積，At=dt×b；k為縱向受拉鋼筋的層數；hs為鋼筋重心到截面形心軸的距離；M（x）為截面外加彎矩；τb（x）為鋼筋與混凝土間的黏結應力。

根據鋼筋與混凝土間的黏結?滑移關系表達式（1），可建立如下變形協調方程：

在求解上述平衡方程和協調方程時，需要確定混凝土、鋼筋以及兩者間黏結?滑移的本構關系。這里，混凝土的本構關系σc=σc（εc）采用CEB-FIP 1990[11]建議的模型；鋼筋的本構關系σs=σs（εs）由鋼筋拉伸試驗確定；黏結滑移本構關系τb=τb（s）采用CEB-FIP 1990中給出的黏結?滑移曲線（見圖3），具體如下式所示：

對于無約束、黏結性能良好的混凝土構件，式（9a）～（9d）中相關參數取值如下：；α=0.4；s1，s2和s3分別為0.6，0.6和1.0 mm；其中fck為混凝土圓柱體（直徑×高度為150 mm× 300 mm）抗壓強度標準值（MPa），當強度等級≤C50時，fck=0.8fcu,k[11]。

圖3 黏結?滑移本構關系[11]Fig.3 Bond-slip relationship[11]

3 單元的數值求解

3.1 母單元的邊界條件

由計算模型可知：母單元的邊界有開裂截面和梁端截面2種情況。在裂縫開展截面，由于受拉區混凝土不參與工作，拉力全部由鋼筋承擔，此時，平衡方程（5）和（6）可以簡化，進而可求得裂縫截面處的鋼筋應力σs,0和σs,n（滑移量s0和sn是未知的），可作為開裂截面的邊界條件。對于梁端截面，可考慮混凝土完好，鋼筋與相鄰混凝土之間無相對滑移，故可取滑移量s0或sn等于0為邊界條件。

3.2 子單元的迭代求解

控制方程（5）～（8）的求解涉及不同截面中和軸位置的確定、材料本構關系的非線性分析等問題，這里采用文獻[6?7]建議的迭代算法進行求解。將母單元lcr,i等分為n=100個子單元?x，假定各子單元范圍內黏結應力τb均勻分布。則結合微分方程（7）和（8），對于第i次迭代，若j截面處的變量值已知，則由有限差分法可得到j+1截面處的變量表達式為：

再根據母單元邊界條件，可以給出子單元迭代求解的收斂判斷方法。以兩端為開裂截面的母單元為例，其收斂控制方程如下式所示，相應的迭代過程及裂縫計算的流程圖如圖4所示。

圖4 單元迭代計算流程圖Fig.4 Flowchart of numerical solution

4 試驗研究與模型驗證

4.1 試驗簡介

以保護層厚度、鋼筋配筋率以及鋼筋直徑為主要參數，設計制作了8根HRB500級鋼筋混凝土梁；受壓構造鋼筋均采用直徑10 mm的HPB235級鋼筋（計算時可不考慮受壓鋼筋影響），試件構造見圖5。試驗梁混凝土設計強度等級均為C30，試件參數和材料力學性能見表1。表1中，為150 mm立方體混凝土抗壓強度實測值；而軸心抗壓強度計算，軸心抗拉強度計算。混凝土和鋼筋的彈性模量按N/mm2計算。

圖5 試件構造圖Fig.5 Specimen configuration

試驗采用四點受彎，通過分配梁在跨中形成1 m的純彎段。按《混凝土結構試驗方法標準》（GB 50152— 92）分多級加載至正常使用狀態短期試驗荷載，此時，跨中彎矩M與極限彎矩的比在0.6～0.7之間（是按混凝土實測強度和鋼筋屈服強度計算得到的理論極限彎矩）。試驗測得了各級荷載作用下的裂縫寬度（包括梁底和鋼筋水平位置處）和裂縫間距等結果。

4.2 規范公式計算

對于梁表面縱向受拉鋼筋水平位置處的裂縫，規范GB 50010給出的短期最大裂縫寬度的計算公式為：

式中：sτ為短期裂縫寬度擴大系數，對受彎構件取為1.66；cα為裂縫間混凝土應變對裂縫寬度的影響系數，取為0.85。

4.3 數值模型驗證

根據試驗梁的裂縫分布情況將整根梁劃分為若干個母單元，建立相應的數值計算模型，并通過MATLAB語言進行編程實現。當荷載水平M/在0.45～0.70之間時，在各級荷載步作用下（對L2-A和L2-C梁測讀2個荷載步，對其余梁測讀3個荷載步），試驗梁的短期最大裂縫寬度試驗值、模型預測值以及規范公式計算值的比較如圖6所示。

從圖6可以看出：數值模型預測值與試驗值較符合，而規范公式的計算值則偏大，尤其是L1和L2梁。經計算，模型預測值與試驗值比值的均值為1.098，變異系數為0.146 5；而公式計算值與試驗值比值的均值為1.244，變異系數為0.169 9。可見：對于正常使用狀態下500級高強鋼筋混凝土梁，數值模型能較準確地分析和計算梁的短期最大裂縫寬度；而按規范公式計算的短期最大裂縫寬度需要除以1.2的系數進行適當修正。

表1 試件參數和混凝土力學性能Table 1 Parameters and concrete mechanical properties of specimen

圖6 短期最大裂縫寬度比較Fig.6 Comparisons of short-term maximum crack width

表2所示為L1-C梁在第12級荷載水平作用下（M/=0.619）鋼筋水平位置處各條裂縫的預測寬度和試驗寬度的比較。由表2可知：梁純彎段內較寬裂縫（2～8號裂縫）的預測值與試驗值較吻合，兩者比值的均值為1.103，變異系數為0.122 3；而對于純彎段外較細小的斜裂縫，則相對偏差較大，這說明黏結?滑移理論不適用斜裂縫寬度的計算。按照規范的裂縫控制要求，梁內較寬的裂縫往往為主要研究對象；對于這些裂縫，數值模型的預測精度是能滿足要求的。

表2 L1-C梁第12荷載步下各裂縫寬度預測值與試驗值對比Table 2 Comparison of crack width of specimen L1-C calculated at load step 12 with test results

5 算例應用分析

為了進一步說明數值模型的應用效果，對配置不同強度等級鋼筋的混凝土梁構件進行裂縫寬度分析。規范GB 50010規定，當截面高度大于300 mm時，應沿梁全長設置箍筋；對于這類構件，試驗研究[12?14]和統計分析[15]均表明：構件的裂縫間距明顯受箍筋位置影響；在梁純彎段內，裂縫發生位置與箍筋位置基本一致，即裂縫間距為箍筋間距。因此，在模型實際應用時，將梁純彎段內的裂縫間距取為箍筋間距；并設箍筋間距為單一值，則裂縫間距即為平均裂縫間距，且各條裂縫寬度相等，均為平均裂縫寬度。此時，規范式（13）需要進行適當調整，將平均裂縫間距取為箍筋間距sv，且無需考慮短期裂縫寬度擴大系數，即：

在構件參數的選取上，取計算跨度l0=5.6 m的簡支梁，截面寬度×高度為250 mm×500 mm；當裂縫間距一定時，保護層厚度對裂縫寬度的影響不大，統一取為30 mm；混凝土強度等級取為C30。以鋼筋配筋率、鋼筋強度等級以及箍筋間距為參數，對四點受彎（梁純彎段長度為2.8 m）的簡支梁進行開裂分析；當跨中彎矩M達到0.65時，認為構件達到正常使用極限狀態。經計算，不同情況下裂縫寬度的模型預測值與理論計算值間的關系如圖7所示。

（a） 3Φ20; （b） 4Φ201—預測值（HRB335）; 2—計算值（HRB335）;3—預測值（HRB400）; 4—計算值（HRB400）;5—預測值（HRB500）; 6—計算值（HRB500）

從圖7可以看出：當箍筋間距分別取為100，150和200 mm時，對于配置3根和4根直徑為20 mm的HRB335，HRB400和HRB500鋼筋混凝土模型梁，裂縫寬度數值預測結果與按式（14）的計算結果較符合；當箍筋間距增大到300 mm時，模型預測結果則偏小。考慮到實際配箍梁，裂縫間距通常在100～200 mm范圍內，此時，預測值與計算值比值的均值為1.050，變異系數為0.06。可見：模型的應用效果是非常理想的。同時，從另一方面也可以看出：我國規范公式中關于平均裂縫寬度的計算方法是可行的，是建立在黏結?滑移理論基礎上的。

6 結論

（1） 以黏結?滑移理論為基礎，綜合考慮裂縫間受拉區混凝土拉伸硬化效應的影響，建立了鋼筋混凝土梁構件受力裂縫寬度計算的數值模型，并通過MATLAB語言進行編程實現，為混凝土結構受力裂縫計算提供了一種有效的分析方法。

（2） 以8根HRB500級高強鋼筋混凝土梁受彎開裂試驗為依據，對數值模型的準確性進行了驗證。結果表明，模型預測結果與試驗結果較符合，相關數值計算模型在分析受力裂縫方面是可行的，預測精度較高；而規范公式計算值則普遍大于試驗值，需要進行適當修正。

（3） 對于等間距開裂的試驗梁，數值計算模型的裂縫寬度預測結果與規范公式中平均裂縫寬度的計算結果較吻合，說明規范公式也是基于黏結?滑移理論建立的，兩者間有較好的相關性。

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（編輯 楊幼平）

Numerical analysis for crack width of reinforced concrete beam with bond-slip effect

LU Chun-hua1,2, JIN Wei-liang1, JIANG Ao-yu1, CHEN Ju1
（1. Institute of Structural Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China; 2. Department of Civil Engineering, Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China）

The element principle of bond-slip relation in calculating structural crack width was briefly introduced, and the necessity to adopt numerical analysis was pointed out. Then, a numerical model for analyzing the crack width of reinforced concrete （RC） beams was built, which took bond-slip relationship between concrete and steel bar, tensionstiffening effect of concrete and nonlinear constitutive relationships of materials into account. Based on the experimental results of eight RC beams with 500 MPa steel bars, a comparison between model predictions, test observations and formula calculations was made. The outcome indicates that the predicted results agree well with the test values and the mean and coefficient of variation of their ratios are 1.098 and 0.146 5, respectively. And the calculations are greater than test values and should be modified. Based on analytical example, it can be concluded that the numerical model agrees with code formula in the calculation of mean crack width and it is practical in predicting crack width for RC beams.

reinforced concrete; flexural specimen; bond-slip effect; crack width; numerical model

TU375

A

1672?7207（2011）05?1399?07

2010?03?29；

2010?06?30

國家科技支撐計劃項目（2006BAJ03A02）；國家自然科學青年基金資助項目（50908103）

陳駒（1978?），男，浙江杭州人，博士，講師，從事混凝土結構工程研究；電話：0571-88208719；E-mail： cecj@zju.edu.cn