單向變厚度Levy型薄板的自由振動分析

蘇淑蘭，饒秋華，王銀邦

（1. 中南大學 土木建筑學院，湖南 長沙，410083；2. 中南林業科技大學 土木工程與力學學院，湖南 長沙，410004；3. 中國海洋大學 工程學院，山東 青島，266100）

單向變厚度Levy型薄板的自由振動分析

蘇淑蘭1,2，饒秋華1，王銀邦3

（1. 中南大學 土木建筑學院，湖南 長沙，410083；2. 中南林業科技大學 土木工程與力學學院，湖南 長沙，410004；3. 中國海洋大學 工程學院，山東 青島，266100）

針對單向變厚度Levy型薄板的自由振動問題，基于薄板振動理論，將設定的撓度函數代入關于撓度的變系數四階偏微分的振動控制方程，把變系數四階偏微分方程求解撓度的問題轉化為第二類Volterra積分方程的求解，并采用二次樣條函數近似求解積分方程，建立單向變厚度Levy型薄板自由振動固有頻率的求解方法。對3種不同邊界條件的Levy型薄板最低固有頻率的算例進行驗證。研究結果表明：該方法合理可靠、計算簡便，滿足精度要求；該方法還可進一步推廣到求解任意單向變剛度Levy型薄板自由振動的最低固有頻率。

Levy型薄板；自由振動；固有頻率；二次樣條函數；變厚度

變厚度矩形薄板具有密度低、板厚度小且變化可以改變其共振頻率等優點，已廣泛應用于船舶、海洋和航空航天等工程結構中。由于共振容易導致板結構的破壞，變厚度矩形薄板的振動分析尤其是固有頻率的求解越來越引起人們的高度重視。因變厚度矩形薄板的振動控制方程為變系數的四階偏微分方程，只有在極少數情況下才能求得固有頻率的解析解[1?2]，更多的是采用近似方法進行數值求解，如有限元法[3?4]、有限差分法[5?6]、能量法[7?9]、有限板條法[10?11]、單向級數法[12]、冪級數法[13]、微分求積法[14]和Green函數法[15]等。但這些方法都各有其自身的優點和缺點，如：能量法能夠有效地求解自由振動問題，但撓度函數的選取要考慮板邊界條件；冪級數法的精確度很高但收斂很慢。目前，人們一直致力于尋找一種更簡單有效、更精確的方法求解變厚度矩形薄板的自由振動問題。在此，本文作者用一種新的二次樣條函數近似求解該問題，并通過與已有結果的比較來說明其有效性和精確性。針對單向變厚度Levy型（一對邊簡支、一對邊任意支承）薄板的自由振動問題，基于薄板振動理論，通過將設定的撓度函數代入關于撓度的變系數四階偏微分振動控制方程，將變系數偏微分方程求解問題轉化為第二類Volterra積分方程的求解，并采用二次樣條函數近似求解該積分方程，建立其固有頻率的求解方法，以便為單向變厚度Levy型薄板結構的振動分析及穩定性設計提供科學依據。

1 自由振動控制方程

長為a、寬為b的Levy型薄板如圖1所示，在x=0和x=a兩對邊簡支，在y=0和y=b兩對邊任意支承，其簡支邊界條件為：

其中：w為撓度。

設該薄板厚度h沿y方向單向變化，h=h（y）。根據薄板振動理論，該Levy型薄板自由振動的撓度控制方程為：其中：D（y）為彎曲剛度；μ為泊松比；γ為板的密度。

圖1 Levy型薄板Fig.1 Levy plate

由于式（2）為變系數的四階偏微分方程，難以求得撓度w的解析解，故采用近似解法求解。

對于自由振動問題，設撓度函數為：

式中：A1m，A2m，A3m和A4m為待定系數（由y=0和y=b處邊界條件確定）；φm（ξ）為未知函數，αm= mπ/a；m為正整數。顯然，撓度函數式（3）自動滿足x=0和x=a兩對邊邊界條件（1），它還滿足控制方程（2）。將式（3）代入式（2）得：

式（5）是關于未知函數φm（y）的第二類Volterra積分方程，其中：

因此，求解變系數偏微分方程（2）的解析解轉化為求解關于φm（y）第二類Volterra積分方程（5）的近似解。

2 固有頻率近似解

關于積分方程式（5），φm（y）可采用如下形式的二次樣條函數作為近似解：

其中：yi（i=0, 1, 2, …,k；k為由計算精度確定的正整數）為薄板寬度[0,b]內的劃分點；fm0，fm′0，fmj（j=1, 2, …,k）為待定系數；H（y-yj-1）為Heaviside函數。

將式（6）代入式（5），得到以下線性方程組：

將二次樣條函數近似解（6）代入撓度函數（3）進行積分，便可得到撓度的近似解：

將含有待定系數fm0，fm′0，fmj（j=1, 2, …,k）的方程組（7）和y=0與y=b的2個邊界條件聯立，構成了關于A1m，A2m，A3m，A4m，fm0，fm′0和fmj（j=1, 2, …,k）的k+6個方程組。對于薄板的任何振動，振形函數W必須具有1個非零解，令該k+6個方程組的系數行列式為0，即可得到固有頻率的計算方程。

3 算例驗證

如圖2所示，考慮工程中常見的厚度沿單一方向線性變化的Levy型薄板，設厚度變化系數為β，厚度其結構及材料參數分別為：板的長a為1 m，寬b為 1 m，y=0處板厚度h0=0.5 cm，板材料密度γ=2 790 kg/m3，彈性模量E=69.7 GPa，泊松比μ=1/3。

圖2 線性變厚度板Fig.2 Rectangular plates with linearly varying thickness

本文討論3種不同約束邊界下的單向變厚度Levy型薄板：四邊簡支（簡稱SS板），三邊簡支、一邊固支（簡稱CS板），一對邊簡支、一對邊固支（簡稱CC板）。具體邊界條件如表1所示。 將撓度的近似解（8）代入邊界條件，可分別得到SS板、CS板、CC板關于待定系數A1m，A2m，A3m和A4m的方程組。

下面以SS板為例，具體說明本文方法的應用。

對SS板，聯立式（7）和式（9a），得到關于A1m，A2m，A3m，A4m，fm0，fm′0和fmj（j=1, 2, …,k）的方程組，取撓度項數m=1及薄板寬度劃分點k=4，將上述方程組進行整理，并寫成矩陣形式如下：

其中：S（ω）為10×10的系數矩陣。

由于式（10）具有非零解，故該系數行列式必須為0，即：

式（11）即關于固有頻率ω的計算方程。為求解該式得到最低固有頻率ωmin及其頻率參數，本文采用Fortran語言編程計算，具體流程圖如圖3所示。從設定的初始值ω0（該值取為四邊簡支等厚度矩形板的最低固有頻率）開始循環，直到|det[S（ω）]|≤0.000 01（近似有|det[S（ω）]|≈0），此時ω即為最低固有頻率ωmin，計算結果如表1所示。為便于比較，表1還列出了文獻[12]中采用冪級數法計算的頻率參數結果。

表1 Levy型線性變厚度薄板最低固有頻率及頻率參數計算結果Table 1 Calculation results of lowest natural frequency and frequency parameter of three Levy thin plates with different boundary conditions

圖3 計算薄板頻率參數流程圖Fig.3 Flow chart of calculated frequency parameters of thin plate

由表1可知：各種Levy型薄板的最低固有頻率ωmin及頻率參數λ均隨著厚度系數β的增大而增大；當厚度系數β相同時，不同類型的Levy型薄板的ωmin和λ從小到大的排序為SS板、CS板、CC板，即ωmin和λ均隨著約束的增強而增大。本文在劃分點較少（如k=4）的情況下，計算Levy型等厚度薄板得到的λ與解析值很接近，計算Levy型變厚度薄板得到的λ與文獻[12]中采用冪級數法計算得到的結果基本一致，表明該方法合理可靠，計算簡便，且能滿足精度要求。

4 結論

（1） 基于薄板振動理論，將設定的撓度函數代入關于撓度的變系數四階偏微分的振動控制方程，把變系數偏微分方程求解撓度的問題變換成第二類Volterra積分方程求解，并采用二次樣條函數近似求解該積分方程，建立了單向變厚度Levy型薄板自由振動固有頻率的求解方法。

（2） 各種Levy型薄板的最低固有頻率ωmin及頻率參數λ均隨著厚度系數β的增大而增大；當厚度系數相同時，不同類型的Levy型薄板的ωmin及λ均隨約束的增強而增大。這表明所提出的方法合理可靠，計算簡便，且能滿足精度要求。該方法可進一步推廣到求解任意單向變厚度的Levy型薄板自由振動的最低固有頻率。

[1] Appl F C, Byers N F. Fundamental frequency of simply supported rectangular plates with varying thickness[J]. Journal of Applied Mechanics, 1965, 32： 163?168.

[2] Ashton J E. Free vibration of linearly tapered clamped plates[J]. J Eng Mech Div, ASCE, 1969, 95： 497?500.

[3] Dawe D J. Vibration of rectangular plate of variable thickness[J]. Journal of Mechanical Engineering Science, 1966, 8： 42?51.

[4] Mukherjee A, Mukhopadhyay M. Finite clement for flexural vibration analysis of plates having various shapes and varying rigidities[J]. Comput Struct, 1986, 23（6）： 807?812.

[5] Mukhopadayay M. A semi-analytical solution for free vibration of rectangular plates[J]. Journal of Sound and Vibration, 1978, 60（1）： 71?85.

[6] Aksu G, Al-Kaabi S A. Free vibration analysis of Mindlin plates with linearly varying thickness[J]. Journal of Sound and Vibration, 1987, 119（2）： 189?205.

[7] Bhat R B, Laura P A A, Gutierrez R G, et al. Numerical experiments on the determination of natural frequencies of transverse vibrations of rectangular plates of non-uniform thickness[J]. Journal of Sound and Vibration, 1990, 138（2）： 205?219.

[8] Cheung Y K, Zhou D. The free vibration of tapered rectangular plates using a new set of beam with the Rayleigh-Ritz method[J]. Journal of Sound and Vibration, 1999, 223（5）： 703?722.

[9] Bambill D V, Rossit C A, Laura P A A, et al. Transverse vibrations of an orthotropic rectangular plate of linearly varying thickness and with a free edge[J]. Journal of Sound and Vibration, 2000, 235（3）： 530?538.

[10] Pulmano V A, Gupta R K. Vibration of tapered plates by finite strip method[J]. Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, 1976, 102： 553?559.

[11] 黃玉盈. 變厚度矩形板的穩定與振動[J]. 力學學報, 1979, 15（4）： 395?398.

HUANG Yu-ying. Stability and vibration problems of rectangular plates of variable thickness[J]. Acta Mechanica Sinica, 1979, 15（4）： 395?398.

[12] 李景高, 牛忠榮. 變厚度矩形薄板的屈曲和自由振動問題[J].安徽建筑工業學院學報, 1995, 3（1）： 1?5.

LI Jing-gao, NIU Zhong-rong. Buckling and free vibration problems of thin rectangular plates with thickness variation[J]. Journal of Anhui Institute of Architecture, 1995, 3（1）： 1?5.

[13] Kobayashi H, Sonoda K. Vibration and buckling of tapered rectangular plates with two edges simply supported and the other two edges elastically restrained against rotation[J]. Journal of Sound and Vibration, 1991, 146（2）： 323?337.

[14] Bert C W, Malik M. Free vibration analysis of tapered rectangular plates by differential quadrature method： A semi-analytical approach[J]. Journal of Sound and Vibration, 1996, 190（1）： 41?63.

[15] Sakiyama T, Huang M. Free vibration analysis of rectangular plates with variable thickness[J]. Journal of Sound and Vibration, 1998, 216（3）： 379?397.

（編輯 陳燦華）

Free vibration of Levy-plate with uni-directionally varying thickness

SU Shu-lan1,2, RAO Qiu-hua1, WANG Yin-bang3

（1. School of Civil Engineering and Architecture, Central South University, Changsha 410075, China;
2. College of Civil Engineering and Mechanics, Central South University of Forestry and Technology, Changsha 410004, China;
3. College of Engineering, Ocean University of China, Qingdao 266100, China）

Based on vibration theory, a new solution method for natural frequency of free vibration of Levy-plate with uni-directionally varying thickness was established by substituting an unknown function into the four-order partial differential equation of vibration with variable coefficients, and then the second Volterra integral equation was solved with quadratic spline function. The results show that the new method has the lowest natural frequency of three Levy-plates with different boundary conditions, verifying that this new solution method is reliable and simple with sufficient accuracy and can be applied for analyzing free vibration of Levy-plate with uni-directionally varying rigidity.

Levy-plate; free vibration; natural frequency; quadratic spline function; varying thickness

TU311.1

A

1672?7207（2011）05?1413?06

2010?06?11；

2010?09?20

國家自然科學基金資助項目（20476106，50721003）

饒秋華（1965?），女，江西豐城人，博士，教授，從事工程力學研究；電話：13787265488；E-mail： raoqh@csu.edu.cn