轉子－齒式聯軸器－軸承系統不對中動力學特性

趙 廣， 郭嘉楠， 王曉放， 劉占生

（1.大連理工大學能源與動力學院，遼寧大連 116024；2.哈爾濱工業大學能源學院，黑龍江哈爾濱 150001）

0 引 言

大型旋轉機械中轉子故障是關系到生產安全的重要問題，其中不對中故障占轉子系統故障的60%以上［1］.不對中狀態下轉子運動將引起機械振動、軸承的磨損、軸的撓曲變形、轉子與定子間碰摩等，同時，不對中會直接改變轉子系統的穩定性.因此系統地開展不對中對轉子－聯軸器－軸承系統動力學特性和穩定性的研究對于大型旋轉機械的安全穩定運行和故障診斷具有重要的意義.

大多數旋轉機械由驅動部件和被驅動部件組成，中間通過各種聯軸器的聯接來傳遞扭矩［2］.目前工業用的聯軸器有很多種，其中齒式聯軸器可以傳遞較高負載并且可以調整兩轉子的不對中，因此常用于船舶驅動軸、汽輪機等大型工業設備中［3］.盡管如此，齒式聯軸器復雜結構、較大負載及加工安裝誤差，以及轉子變形、軸承不同心和機座高低偏差等，不可避免地導致被連接的兩轉子產生不對中.不對中的存在導致其運動過程中產生一系列的不利于設備運行的動態效應，使旋轉機械的振動變得復雜，有時候很難做出合理解釋［4］.

文獻［5、6］研究了鼓形齒式聯軸器的角向自激振動問題，Al－Hussain［4］研究發現傾角不對中或者聯軸器剛度增加會增加系統的穩定性.李明［7］的研究表明平行不對中轉子系統是一個具有自激振動特征的強非線性系統，不對中對軸心軌跡、振動頻率成分具有重要的影響.文獻［8］指出當聯軸器處于對中和良好潤滑狀態時，其內阻尼對失穩轉速影響較小.

本文推導齒式聯軸器不對中嚙合力模型，建立不對中轉子－齒式聯軸器－軸承系統非線性動力學方程，通過Newmark數值仿真預測系統的不對中動力學特性和穩定性，并建立轉子－齒式聯軸器－軸承系統實驗臺進行實驗驗證.

1 齒式聯軸器不對中嚙合力模型

在潤滑良好的情況下，忽略齒面間的摩擦，輪齒的嚙合剛度主要與單齒的彈性變形有關［9、10］.參考作者在文獻［11］中對于齒式聯軸器不對中嚙合力模型的研究，單個輪齒在嚙合點處單位荷載作用下的彈性變形δj主要包括懸臂梁（輪齒）的變形δbj、彈性基礎的變形δmj、齒面嚙合點處的接觸變形δcj.單齒嚙合剛度

單齒嚙合剛度除了與聯軸器各參數有關外，還與各齒嚙合點到齒根的距離即嚙合距離L j有關.考慮系統的靜態不對中（e0，φ0）和動態不對中（x，y），實際不對中（e，φ）為

各齒等效嚙合距離

φj＝2π（j－1）／z，為各齒與x軸正向的夾角.

在轉子 －聯軸器－軸承系統中，聯軸器傳遞扭矩使輪齒產生一個變形，即扭轉使各齒產生一個嚙合力

T為聯軸器傳遞扭矩，Rf為聯軸器齒根圓半徑.

由于內、外聯軸器隨系統各自振動時，內外聯軸器的嚙合又使各齒產生一個變形，即動態振動位移使各齒產生一個嚙合力，其表達式為

綜上，聯軸器由于不對中而產生的嚙合力為

由于振動作用，聯軸器整圈齒中，編號為1～z／2的各齒嚙合力變大，其余變小，但每一個齒的嚙合力均不會為負，因此，當傳遞扭矩為0時，即使存在動態振動位移，也不會產生嚙合力.即

則不對中使整個聯軸器產生的x、y向合力為

其中θj為每個齒作用力方向與x軸正向的夾角，根據以上推導可知

考慮實際不對中發生的角度φ，聯軸器不對中嚙合力為

從齒式聯軸器不對中嚙合力模型推導看出，該力是一個復雜的非線性函數，不但與聯軸器結構參數有關，還與被連接系統的傳遞扭矩、靜態不對中、動態不對中等有關.

2 轉子－聯軸器－軸承系統動力學模型

轉子－聯軸器－軸承系統結構示意圖如圖1所示.采用有限元法將系統劃分為19個軸段，20個節點，共計80個自由度.4個滑動軸承分別位于節點2、10、12和19.

圖1 轉子－聯軸器－軸承系統結構示意圖

Fig.1 Structure sketch of rotor－coupling－bearing system

基于有限元法，采用Eular－Bernouli梁模型假設，得到該系統的動力學方程如下：

式中：M、C、K分別為系統質量、阻尼（取比例阻尼）、剛度陣；JΩ為轉子的陀螺力矩陣；Z＝（x ky k－θxkθyk）（k為節點編號）為節點位移向量；G、Q（t）分別為重力和不平衡力項；F（z，Ω）為滑動軸承非線性油膜力，本文采用修正的短圓柱瓦軸承非線性油膜力解析模型［12］.

Fc為齒式聯軸器動態嚙合力.由式（10）可得

設dx、dy分別為內、外聯軸器所在節點的相對位移，上式各符號含義如下：

不對中聯軸器的外齒套偏心將產生不平衡激勵，激勵頻率為轉頻的2倍，表達式為［5］

其中m為聯軸器外殼質量.

聯軸器嚙合力和油膜力均為典型的非線性項，因此式（11）是復雜的多自由度非線性方程.目前對該方程求解唯一有效的方法是數值仿真法.Newmark－β逐步積分法計算效率高、穩定性好，因此本文采用該方法求解系統的動力學響應.

3 齒式聯軸器不對中動力學特性

本文研究的齒式聯軸器型號為GICLZ3，其結構參數如表1所示.

3.1 靜態不對中動力學特性

設轉子－齒式聯軸器－軸承系統不平衡量發生在某一特定輪盤上，其大小和方向一定.當不對中量為0～0.8 mm且位于垂向時，3 000 r／min時軸承3＃處轉子頻譜圖如圖2所示.

表1 齒式聯軸器參數Tab.1 Parameters of gear coupling

圖2 不同靜態不對中量下軸承3＃頻譜圖Fig.2 Frequencies of bearing 3 with different static misalignments

結果表明，一定不平衡力下，靜態不對中量增加會導致各軸承x、y向2X倍頻振幅顯著增加，1X倍頻振幅也有所增加；不對中量繼續增加，系統將出現3X、4X高倍頻振動.

3.2 動態不對中動力學特性

不平衡和基礎支撐柔性是導致轉子系統產生動態不對中的根源.在上述靜態不對中量為0、0.4 mm的基礎上，僅將不平衡量大小增加3倍，即改變系統的動態不對中量，相同位置處轉子頻譜圖如圖3所示.

圖3 不同動態不對中量下軸承3＃頻譜圖Fig.3 Frequencies of bearing 3 with different dynamic misalignments

動態不對中變化前后轉子響應對比表明，當靜態不對中保持不變時，增加動態不對中聯軸器兩邊軸承x、y向的1X、2X倍頻振動均增大.因此動態不對中量的增加，同樣會導致系統2X倍頻振幅的增加.

4 齒式聯軸器不對中穩定性

轉子響應的幅頻特性曲線、三維譜圖、分岔圖等是研究系統失穩的基本手段，在0～1.2 mm范圍內改變轉子不對中量，軸承1＃響應結果如圖4～6所示.

圖4 不對中量為0時軸承1＃y向分岔圖Fig.4 Bifurcation of bearing 1y with 0 misalignment

圖5 不對中量為0.4 mm時軸承1＃y向三維譜圖Fig.5 Waterfall of bearing 1y with 0.4 mm misalignment

完全對中時，在3 380 r／min之前，轉子振幅較小，轉速稍微提高則通頻振幅急劇增加，出現振幅突跳，系統出現擬周期分岔，并進入鎖頻狀態，導致失穩.因此，對中狀態下系統失穩轉速為3 380 r／min.

不對中量為0.4 mm時，在3 400 r／min以前，以基頻振動為主，之后出現0.5X低頻渦動，油膜力非線性效應增強；轉速提高至3 460 r／min時低頻振幅劇增，轉子非同步渦動頻率不隨轉速增加，而是保持在轉子一階臨界轉速附近，油膜渦動發展為油膜振蕩.因此，該狀態下系統失穩轉速為3 460 r／min.

圖6 不同不對中量下軸承1＃幅頻特性Fig.6 Amplitude－frequency of bearing 1 with different misalignment

整理各狀態下的失穩轉速如圖7所示.轉子－聯軸器－軸承系統的失穩轉速Ω′隨著不對中量的增加先稍微增加，而后顯著降低.究其緣由為，較小不對中量時，聯軸器偏心占主導作用，因為適當的小偏心會提高轉子系統的穩定性［13］；而較大不對中狀態下，聯軸器不對中嚙合力起主導作用，嚙合力間接改變了軸承負載分布，即2＃軸承負載降低并引起系統穩定性降低.綜上，轉子－聯軸器－軸承系統穩定性與不對中密切相關.

圖7 失穩轉速隨不對中量變化的曲線Fig.7 Threshold speeds of stability versus misalignments

5 齒式聯軸器不對中試驗研究

5.1 實驗臺的建立

轉子－聯軸器－軸承系統實驗臺實物圖如圖8所示，其由驅動、潤滑、轉子－聯軸器－軸承系統、信號采集與處理系統等構成；兩個單轉子分別采用圓柱瓦滑動軸承支撐，并通過齒式聯軸器連接起來，驅動部件振動通過柔性繩子連接予以消除.

圖8 轉子－齒式聯軸器－軸承系統實驗臺Fig.8 Test rig of rotor－gear coupling－bearing system

不對中通過軸承標高調節裝置實現，如圖9所示，可線性、連續精確調節軸承支承標高并采用百分表測量實現.齒式聯軸器及其組成部件如圖10所示.

圖9 軸承標高調節裝置Fig.9 Adjustor of bearing elevation

圖10 齒式聯軸器及其組成部件Fig.10 Gear coupling and its components

轉子軸承處的振動通過8個位移傳感器測量實現，分別測量軸承附近轉子的x、y向振動位移，轉速通過鍵槽觸發，信號采集系統如圖11所示.

5.2 齒式聯軸器不對中動力學特性

為了使各狀態具有可比性，試驗過程中固定轉子1的軸承支承標高，同時調節轉子2的兩個軸承標高在0～0.8 mm，各狀態軸承3＃y向試驗結果三維譜圖如圖12所示.

圖11 信號采集與處理系統Fig.11 Signal acquisition and processing system

結果表明，對中系統的振動以1X倍頻振動為主，基本不存在其他頻率成分的振動；當不對中量為0.4 mm時，升速至2 800 r／min以后，出現2X、3X倍頻振動，但振幅較小；隨著不對中量的增加，2X、3X振幅明顯增加，不對中量為0.8 mm時開始出現較大的4X倍頻振動.

數值仿真和試驗研究均較為一致地預測出不對中轉子系統的倍頻振動，及倍頻振動隨不對中量增加而增加的規律.數值仿真中，2X倍頻變化比較顯著，而試驗結果存在著各種倍頻振動，這種差別源于數值仿真引入的基礎剛性、阻尼線性、驅動電機的理想化等假設.

5.3 齒式聯軸器不對中穩定性

轉子－齒式聯軸器－軸承系統對中狀態下升、降速過程振動三維譜圖如圖13、14所示.

升速試驗中，在3 050 r／min以后，轉子1（軸承2＃y向）出現油膜的半速渦動，而轉子2（軸承3＃y向）只有工頻振動；升速至3 302 r／min時，轉子2突然出現巨大的0.687 5X倍頻低頻振動.電機保護，自然降速、停機，降速時轉子1、2均出現典型的鎖頻現象，如圖13（b）、14（b）所示.轉子1、2的頻率分別鎖定在各自的一階臨界轉速附近，轉子1在降速至2 924 r／min以后出現，而轉子2在整個降速過程中油膜鎖頻現象顯著.

綜上，轉子1出現了油膜渦動，但尚未出現振蕩；轉子2未發生油膜失穩，而是在3 302 r／min出現低頻自激振蕩導致的失穩，該失穩是齒式聯軸器導致的.因此，齒式聯軸器的自激振蕩是誘發轉子－軸承系統失穩的因素之一，在一定的狀態下，聯軸器誘發的失穩先于滑動軸承非線性油膜力誘發的失穩.綜上，對中系統的失穩轉速為3 302 r／min.

增大系統的不對中量，各狀態轉子2（軸承3＃）、轉子1（軸承2＃）振動響應的三維譜圖分別如圖15、16所示.

圖12 不同不對中量下軸承3＃y向三維譜圖Fig.12 Waterfall of bearing 3y with different misalignments

圖13 軸承2＃y向升、降速試驗三維譜圖Fig.13 Waterfall of bearing 2y with run－up and run－down experiment

圖14 軸承3＃y向升、降速試驗三維譜圖Fig.14 Waterfall of bearing 3y with run－up and run－down experiment

圖15 不同不對中量下轉子2響應三維譜圖Fig.15 Waterfall of rotor 2 with different misalignments

采用同樣的分析方法，狀態2的系統出現了齒式聯軸器自激振蕩導致的轉子2失穩，低頻振蕩頻率為0.78X，失穩轉速為2 984 r／min；而狀態3的聯軸器自激振蕩失穩轉速為2 922 r／min；狀態4中，轉子1在3 080 r／min時出現油膜振蕩失穩，而轉子2在2 866 r／min時出現聯軸器自激振蕩失穩；狀態5、6中，只有轉子1的油膜振蕩失穩.失穩轉速匯總如表2所示.

綜合以上分析，轉子1主要發生油膜失穩，不對中量較小時，油膜失穩隨不對中量增加有所提高，不對中量較大時基本保持不變；而轉子2為聯軸器自激振蕩失穩，隨著不對中量增加，穩定性明顯降低.試驗過程中，以上兩種失穩形式交替出現或者同時出現，兩種非線性激勵耦合作用于系統的穩定性.

圖16 不同不對中量下轉子1響應三維譜圖Fig.16 Waterfall of rotor 1 with different misalignments

表2 轉子－齒式聯軸器－軸承系統失穩轉速

Tab.2 Stability threshold speed of rotor－gear coupling－bearing system

狀態編號 失穩轉速／（r·min－1）轉子1 轉子2不對中量／mm 1＞3 302 3 302 0 2—2 984 0.2 3—2 922 0.4 4 3 080 2 866 0.6 5 3 102 — 0.8 6 3 090 —1.0

對比仿真試驗結果發現，在預測油膜穩定性方面，二者具有很好的吻合性，而試驗結果更好地揭示了油膜振蕩和聯軸器自激振蕩的耦合機理.這種差別源于聯軸器建模中忽略了齒面的摩擦，需要進一步改進.

6 結 論

（1）雖然齒式聯軸器具有一定的不對中補償能力，靜、動態不對中均會導致系統倍頻振動的出現，且隨著不對中量的增加而增加.因此，轉子－聯軸器－軸承系統中，不平衡故障和不對中故障常常會耦合起來，同時出現.

（2）轉子－齒式聯軸器－軸承系統中，油膜失穩發生在系統一階臨界轉速的2倍附近；隨著不對中的出現和增加，油膜力和聯軸器嚙合力會交替或耦合降低系統的穩定性.

（3）轉子－齒式聯軸器－軸承系統中，不平衡、不對中、失穩故障常常會相互影響，互相耦合影響系統的動力學特性，因此在對該系統進行故障診斷時，應充分考慮齒式聯軸器和滑動軸承的耦合效應.

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