基于MATLAB的三自由度并聯機床的靜力特性分析

李興山，蔡光起

（1. 沈陽理工大學 機械學院， 沈陽 110168； 2. 東北大學 機械工程與自動化學院， 沈陽 110004）

0 引言

并聯機床與傳統的機床相比，剛度大，精度高及高加速等特點，已經成為數控機床的發展趨勢。隨著并聯機床應用的領域不斷擴展，很多的作業任務完全可以用少自由度的機構完成。少自由度機構是指3-5個自由度機構，與六自由度的機構相比，結構更加簡單，驅動更加靈活，性能價格比更高。其中三平移自由度以其結構簡單、工作空間大、應用范圍廣等技術優勢，成為并聯機床發展的主要趨勢[1~4]。

靜力學特性是并聯機床重要性能指標，也是聯機床的設計基礎。通過靜力分析，可以獲得運動平傳遞關系，對機床的結構優化及任務規劃具有重要的意義。本文通過對東北大學三自由度并聯機床靜力學的研究，采用虛功原理，建立了靜力學模型，分析在不同的外載荷的情況下，各驅動桿的應力的變化規律。為機構的結構參數確定奠定了基礎。

1 并聯機床結構

并聯機床的結構如圖1所示,該機構由固定平臺、運動平臺、三桿平行機構，驅動桿及水平滑塊等組成。該結構具有三個運動分支，兩驅動桿各自通過虎克鉸分別與固定平臺及運動平臺相連,即每個驅動桿分支由兩個轉動副(T)和一個移動副(P)組成。絲杠由電機驅動并帶動滑塊水平移動。三桿平行機構兩端分別通過虎克鉸與滑塊及運動平臺相連，即由一個移動副(P)和兩個轉動副(T)組成。因此，該機構可稱2TPT-PTT并聯機床。由于三桿平行機構的存在，限制了運動平臺相對固定平臺的轉動。因此該機構具有三個平移自由度。

圖1 并聯機床三維實體模型

2 靜力模型的建立

并聯機床靜力學主要是研究各構件和末端執行器上受到各種廣義外力作用時的靜平衡問題，在任何姿態下，并聯機構都處于靜平衡狀態，是衡量并聯機床性能的重要指標，它是并聯機床剛度設計的前提和基礎。并聯機床與外界環境相互作用時，在接觸的地方要產生力和力矩，統稱為末端廣義力向量。而關節的驅動力或力矩組成的矢量稱為關節力向量。由于該機構具有三個平動自由度，所以在廣義力向量和關節力向量中，力矩部分為零。

圖2的機構受力簡圖中，上平臺為固定平臺，下平臺為運動平臺，由于平行機構在空間保持相對平動?？蓪φ麄€機構的研究簡化為對AA'EF的研究，其中AF平行BB'，AF平行CC', OE平行l3，將坐標系固定在O點（A'F的中點）。運動平臺的A點在基坐標系中的坐標為A(x,y,z)，棱錐其它各點的坐標為A'(c/2 0, 0)，F (c/2, 0 , 0)，E (0 , cl3/2,0)，由距離公式可得如下方程

圖2 并聯機床的受力簡圖

其中，c為上下平臺的邊長差，b為上平臺的邊長，L為平行機構的等效桿長。l1, l2為兩伸縮桿的桿長，l3為滑塊的行程。

并聯機床中雅可比矩陣是一個傳遞矩陣，對應于運動平臺不同的位置有不同的雅可比矩陣。由于它不是時間的函數，是用來反映活動平臺的位姿與固定平臺的位姿之間的一種空間映射關系。由式(1)可知，雅克比矩陣J為：

假設其各關節所受的驅動力為F1，即F1=[F1F2F3]T，末端執行器的廣義力為F，即F1=[F1F2F3]T。由虛功原理： 關節空間虛位移產生的虛功等于操作空間虛位移產生的虛功[5,6]。所以，其靜力學方程為：

其中：δl為各關節產生的虛位移，δl=[δl1δl2δl3]T，δp為末端執行器產生的虛位移，δp=[δpxδpyδpz]T。

由式(3)可得該機構靜力學正解為：

其中，F1、F2為作用于伸縮桿國l1和l2上的驅動力，F3為作用于滑塊上的驅動力。Fx、Fy、Fz為動平臺的執行力。JT為并聯機構的力雅可比矩陣，它表示在靜態平衡狀態下，操作力向關節力映射的線形關系。由于機構|J|≠0，故不存在奇異位形。

3 靜力分析

為了反映并聯機床末端執行器受到作用力時，各驅動器的驅動力在整個工作空間的任意截面上的分布情況，對其進行三維仿真。假設末端執行器受到的力分別為：Fp=[1000,1000,1000]T，在z=0.7m的平面內，各驅動力的三維仿真如圖3-圖5所示。

圖3 伸縮桿1驅動力

圖4 伸縮桿2驅動力

圖5 滑塊驅動力

當Fp=[1000,1000,1000]T時，沿著X方向，伸縮桿1的驅動力單獨遞增；伸縮桿2的驅動力先是逐漸增大、后又逐漸減??；滑塊的變化趨勢與伸縮桿2相同。沿著Y方向，滑塊的驅動力變化是單調遞增，由于機構關于Y軸的對稱性，兩伸縮桿的變化趨勢都是先增大后減小，但變化的方向相反。沿著Z方向，伸縮桿及滑塊都是逐漸增大。從圖中還可以看出，末端輸出力是驅動力的0.5-3倍，具有良好的可操作性，在整個工作空間的內部驅動力變化比較均勻，在其邊緣有一些突變，在工作中應避開邊緣位置。

4 結論

本文構建了一種三自由度并聯機床的實體模型，在對機構進行受力分析的基礎上，運用虛功原理，建立了該機構的靜力平衡方程，得到了靜力傳遞矩陣。并在MATLAB下對各關節的驅動力進來了分析。研究結果表明：機構上對稱布置的兩伸縮桿其驅動力具有一定對稱性和相似性，其中伸縮桿的驅動力要大于滑塊的驅動力，在整個工作空間內，其受力比較均勻，具有良好的可操作性。

[1] Jiegao Wang,Clement M, Gesselin. Static balancing of spatial four-degree-of-freedom parallel mechanisms.Mechanism and Machine Theory,2000,35(4):pp 563-592.

[2] Andrea Russoi,Rosario Sinatra,Fengfeng Xi.Static balancing of parallel robots.Mechanism and Machine Theory,2005,40(2):191-202.

[3] Yi LU,Bo Hu,Shi-Hua Li,Xing-Bin Tian.Kinematics/static analysis of a noval 2SPS+PRRPR parallel manipulator.Mechanism and Machine Theory,2009,43(9):1099-1111.

[4] Jun Wu,Jinsong Wang,Liping Wang,Tiemin Li.Dynamics and control of a planar 3-DOF parallel manipulator with actuation redundancy.Mechanism and Machine Theory,2009,43(9):1099-1111.

[5] 李永剛,宋軼民,黃田,張策.少自由度并聯機器人機構的靜力分析[J].機械工程學報,2007,43(9):80-83.

[6] 趙輝,高峰,張建軍,等. 新型五自由度并聯機構靜力學分析[J].機械設計,2004,21(6):54-57.