多項式擬合柔性加減速算法的研究

李 丹

（四川建筑職業技術學院，德陽 618000）

0 引言

在高速運動中，為避免啟動、停止階段發生沖擊、超程、振蕩，數控裝置對會運動速度進行加減速控制。一般采用軟件實現。

傳統的數控系統常用有直線加減速和指數加減速兩種。[1]這兩種加減速比較容易實現，但在啟動和結束中存在加速度突變，不連續，產生沖擊，且只能按電機最高轉速下輸出的轉矩來選取加速度，使電機特性得不到充分發揮。因而不適合高速數控系統。因此，目前高檔數控系統采用比較成熟的S型曲線加減速。S曲線加減速通過對啟動階段和高速階段的加減速衰減，來保證電動機性能的從分發揮和減少啟動沖擊。 但S曲線涉及的參數較多，對程序的實現來說比較復雜[2]。并且其加加速度不連續，柔性受到限制。因此有研究學者提出了三角函數加減速算法，其算法較S曲線更簡化，但三角函數算法需要引進函數計算，對實時插補來說，有插補周期長的問題，影響加工速度。

考慮任何函數都可以展開呈多項式，本文提出用多項式對三角函數進行擬合，得到另一種加減速模式。

1 建立4次多項式函數

加減速曲線的建立應滿足速度變化波動小，加速度連續等條件，并且加速度變化開始和終止時滿足邊界條件，即在開始和結束時的速度與要求速度相同，且加速度為0。當建立了位移函數后，速度、加速度、加加速度函數可通過求導得到。

因此應建立加減速段的位移函數。當速度從發v1變化到v2時，可采用4次多項式對位移函數進行擬合，這樣加加速度達到1階連續，系統具有更高柔性。構造函數如下：

假設加減速段的開始時的位移為0，即

對位移函數求導，得到速度函數

求位移函數的兩階導數，可得加速度函數

求位移函數的三階導數，可得加加速度函數

在(16)-(19)的方程中，tm值需要確定。按照系統加減能力，設為Amax系統的最高加速度，則有：

2 運行過程為三段的4次多項式加減速算法

我們把運行方式規劃為三個階段：加速段、勻速段、減速段。

在加速段從v1加速到vmax；然后以最大速度vmax運行一段距離；當離終點一定距離時，進入減速段，減至v2，到達程序段的終點（如圖1所示）。

圖1 多項式柔性加減速

2.1 加速段V1→Vmax

根據式(17)所建立的函數，速度曲線函數為：

用vmax代替v2，代入式(16)-(19)即可求出位移、速度、加速度、加加速度的值。

代入式(25)求出加速區長度為

2.2 減速段Vmax→V2

根據式(17)所建立的函數，速度函數為：

根據式(24)，得

用vmax代替v1，代入式(16)-(19)即可得到位移、速度、加速度、加加速度。代入式(25)求出減速區長度為

2.3 勻速段

那么運行過程將有三個階段：加速階段、勻速階段、減速階段。勻速階段的時間

則總運行時間t=tma+tc+tmd

1）從v1加速到某個速度vm，然后減速到v2，并且剛好到達終點；

2）從v1加速至v2，然后勻速運行至終點；或以v1勻速一段距離，然后減速至v2。2.3.1 第一種方式

2） 減速 ，用vm代替v1， 則位移、速度、加速度、加加速度可按(16)--(19)式計算

2.3.2 第二種方式

這種方式下，若(1)v1＞v2的減速情況，則先以v1作勻速運動，再減速至v2；(2)v1＜v2的加速情況，先從v1加速到v2，再勻速。

1）從v1運行至v2。加速運行區長度

圖2 兩種不同的多項式加減速

當v1v2較大時，兩種方式計算得到時間接近，而第二種方式簡單。但v1v2都很小時，第二種方式時間較長，甚至到不了終點，必須采用第一種方式。

當條件(29)式不成立時，即時，則運行過程只有一個階段，終點速度v2無法達到。對于減速情況，減點必須提前，否則會造成過沖。

僅運行一個階段時，加減速長度為

3 結論

針對傳統的直線加減速和指數加減數算法在進給過程中存在柔性沖擊的問題，提出了一種使用于高速進給的加減速算法，采用多項式擬合構造加減速曲線，得到的位移、速度、加速度、加加速度均連續，因而系統運行有高度的柔性，避免了柔性沖擊。

[1] 胡建華,廖文和,周儒榮.CNC系統中幾種升降速控制曲線的研究與比較[J].南京航空航天大學學報,1999,31(6):706-711.

[2] Erkorkmaz K,Altintas Y.High speed CNC system design.Part1.Jerk limited trajectory generation and quintic spline interpolation[J].Int J Mach ToolManufact,2001,41(2):1323-1345.

[3] 朱曉春,吳祥.數控技術[M].北京:機械工業出版社,2007.

[4] 劉俊英,梁豐.數控系統的實時插補及加減速速度控制[J].機械制造與自動化,2008,(1):84-85.

[5] 許良元,桂貴生,彭丹丹.高速加工中的加減速控制[J].CAD/CAM與制造業信息化,2005,09.