流體作用下正交各向異性圓錐殼的自由振動

曹雄濤，華宏星

（上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240）

圓錐殼體在很多工程應用中被廣泛使用。在航空航天飛行器、潛艇中，圓錐殼體是一個常用的結構單元。Rayleigh-Ritz法被用來研究圓錐殼的自由振動［1，2］。Galerkin 法 被 用 來 研 究 圓 錐 殼 的 振 動 特性［3－7］。其圓錐殼體的模型是基于 Love-Timoshenko的薄殼理論。Shu［8］運用廣義微分積分法研究了層合圓錐殼的自由振動。Liew［9］用kp－Ritz法分析了薄錐殼的自由振動，討論了不同邊界條件下的頻率特性。Crenwelge和 Muster［10］研究了正交加筋圓錐殼體的振動，這是早期的加筋錐殼的研究工作。能量法和假設模態法被用來求解縱橫加筋殼體的振動。一些研究人員［1，11］也用這種方法分析了正交加筋復合殼體的自由振動。這種方法的不便之處在于控制方程不能顯式獲得。Mecitoglu［12，13］研究了加筋各向同性錐殼的自由振動。通過平均能量法，環筋和縱骨的慣性和剛度融合到錐殼里面。一個簡單的正交各向異性圓錐殼得到了。由于這種理論的局限性，這種模型僅在低頻范圍內是有效的。融合筋法（smeared theory）也被Goldfeld［14］用來研究螺旋筋加強錐殼的屈曲穩定性分析。Tong［15］研究了復合錐殼的自由振動，解是通過冪級數法獲得的。但是其結果并不是精確的解析解，盡管有較好的精度。Caresta和Kessissoglou［16］分析了各向同性錐 － 柱組合殼的自由振動特性。錐殼通過冪級數法求解。在周向波數為1，自由－自由邊界條件下，Donnell-Mushtari殼體方程產生錯誤的頻率。傳遞矩陣法［17.18］被用來研究錐殼的固有頻率。有限元法［19－21］被用來分析錐殼的自由振動。Sofiyev［22］研究了功能梯度（FGM）錐殼的穩定性和非線性振動。

圓錐殼體聲輻射的研究工作比較少。Guo［23］利用多尺度技術研究了彈性波在流體載荷下錐殼中的傳播。將流體載荷作用下的圓柱殼的控制方程通過攝動來研究錐殼的動力特性。這種研究僅僅是一種漸近分析。Caresta和Kessissoglou［24］用冪級數序列求解了流體作用下錐殼的動力響應。流體通過將圓錐分段成小錐殼，這些小錐殼被當作圓柱殼，然后確定每一小段圓柱的流體載荷。然而，對于母線方向以冪級數序列表示的位移場，他們的模型中，沒有給出母線方向的波數km是如何確定的。冪級數序列似乎不適合于聲輻射，因為冪級數序列不能直接同波數相關。而且對于流體載荷，km是至關重要的，這一點能從本文中看到。

在本文研究中，波傳播法被用來分析流體加載下的正交各向異性圓錐殼體的自由振動。波傳播法被一些研究人員用來分析圓柱殼的振動特性［25－27］。根據邊界條件，母線方向的波數km是已知的。這種性質對于處理流體載荷是方便的。圓錐的流體載荷用多個小段圓柱的流體載荷來逼近。應用殼體和流體間的界面邊界條件和求解圓柱坐標系下的Helmholtz方程，就分段獲得了圓錐殼體的流體載荷。給出了確定流體載荷的詳細過程。圓錐殼體的運動方程是基于Reissner－Naghdi薄殼理論，并且利用Galerkin法求解。研究了圓錐的自由振動和流體載荷對圓錐的影響。對于穩態振動，在本文中時間因子e－iωt略去不寫。

1 圓錐殼體的運動方程

一個薄壁正交各向異性圓錐殼顯示在圖1中。l1和l分別是圓錐殼體小端母線方向的長度和大端母線方向的長度。u1，u2和u3是殼體中面在母線方向α1，圓周方向α2和法向方向α3的位移。曲線坐標和位移場顯示在圖1中。

圖1 圓錐殼體曲線坐標和中面位移Fig.1 The curvilinear coordinates and displacements of middle surface for conical shell

其中，q1，q2，q3和pa分別是表面力載荷作用在α1，α2，α3方向和流體載荷。Lij是微分算子，它們是：

其中，I1是正交各向異性圓錐殼體的面密度，其值為I1=ρch。ρc和h是圓錐殼的體積密度和厚度。α是圓錐殼體的半錐角。正交各向異性圓錐殼體的材料參數Aij和Dij定義如下：

其中，E1，E2，ν12，ν21和G12是正交各向異性圓錐殼體材料的彈性常數。正交各向異性材料的Poisson比有如下關系：

正交各向異性圓錐殼體的位移場用波傳播的形式可以寫為：

其中，km是母線方向波傳播因子，其值由邊界條件決定。通常km能選為與錐殼邊界條件相似的Euler梁的波傳播因子［27］。通過把方程（4）代入（1），方程（1）是解耦的對于參數α2，但對于參數α1是耦合的。通過運用Galerkin法到方程（1），加權積分的Galerkin過程能寫為：

像Lam［7］那樣處理：在方程（5）中的耦合項被忽略，例如：cos［km（α1－l1）］cos［kd（α1－l1）］和sin［km（α1－l1）］sin［kd（α1－l1）］，m≠d。這些耦合項的貢獻非常小。

2 流體載荷和積分過程

Moon和Spencer［28］用分離變量法研究過Helmholtz方程的解，指出Helmholtz方程能在40種正交曲線坐標系下用分離變量法求解。Helmholtz方程在錐殼的正交曲線坐標系中是不能用分離變量法來處理的。因此，一個分段流體加載方法用來近似圓錐殼體的流體載荷，如圖2所示。

2.1 流體載荷

流體介質中的聲壓滿足柱坐標系下的Helmholtz方程：

面向分布式光伏虛擬集群的有源配電網多級調控//竇曉波,常莉敏,倪春花,段向梅,葛浦東,吳在軍//(3):21

其中，流體域中的波數k0為ω/c，c是流體中的聲速。Laplace算子為：

其中，α1，α2和α3分別是軸向、周向和徑向坐標。第j個圓錐段（被近似為圓柱殼段）與流體間的邊界條件為：

將方程（6），方程（8）和方程組（4）的第三個方程聯立起來，運用Sommerfeld遠場輻射條件，就獲得了第j個圓錐段的流體載荷：

圖2 圓錐殼段的劃分和一個流體加載的圓柱殼Fig.2 Strips of conical shells and a strip of fluid loaded circular cylindrical shell

2.2 殼體表面壓力在Galerkin法中的處理

如果圓錐殼體被劃分為s段圓柱殼，錐殼的流體載荷pa由s段以方程（9）的形式表示的流體載荷組成。運用方程（9），流體載荷在方程（5）中的貢獻pmnε可以寫為：

式中的積分很容易獲得。其中，一些耦合項像前面的處理那樣被忽略。這些耦合項的貢獻很小。

3 流體加載圓錐殼體的自由振動

設外力q1，q2和q3為零，將方程（4），方程（9）代入方程（5），得到：

其中，系數Cij是非常復雜的表達式，涉及到材料參數、角頻率和殼體的幾何參數。僅僅系數C11在附錄中給出，其它系數可以用相似的方法得到。對于真空中的圓錐殼，特征方程（11）能夠用線性代數的方法求解；對于流體加載的圓錐殼，用迭代法求解。

4 數值結果

在本節中，利用前面的理論，研究了各向同性和正交各向異性圓錐殼體的自由振動。對于方程（11），有三類不同的固有頻率。最低的頻率對應錐殼的徑向運動，其它兩個固有頻率主要代表縱向運動或周向運動。無量綱頻率定義為：

比率γ12定義為：

固有頻率以ωc的形式給出，并且給出的頻率對應錐殼徑向振動模態。錐殼浸沒在水中。水中聲速為c=1 500 m/s，質量密度為ρ=1 000 kg/m3。錐殼被劃分為s=20段圓柱殼來逼近錐殼的流體載荷。

4.1 模型的有效性驗證

將頻率參數同Lam［6］給出的結果作了比較。各向同性錐殼的參數為h/b=0.01，ν=0.3，（l－l1）sinα/b=0.25。表1給出了真空中簡支錐殼的固有頻率。母線方向的波數為mπ/（l－l1）。

表1 簡支錐殼的頻率 ωc，h/b=0.01，ν=0.3，（l－l1）sinα/b=0.25，m=1Tab.1 The nondimensional frequency ωcof a simply supported conical shell h/b=0.01，ν =0.3，（l－l1）sinα/b=0.25，m=1

可以看出當前給出的結果同Lam給出的結果符合得很好。錐殼的頻率隨周向波數的變化規律為：初始時逐漸減小，然后逐漸增加。

下一個例子用來比較流體載荷下很小錐角的圓錐殼和相似結構圓柱殼的固有頻率。張［26］利用波傳播法分析了流體載荷作用下簡支圓柱殼的固有頻率。圓柱殼的參數如下：長度、半徑和厚度分別是20 m，1 m和0.01 m；質量密度、Poisson比和彈性模量分別為：7 850 kg/m3，0.3 和2.1 ×1011Pa。圓錐小端半徑為 1 m，大端半徑為1.04 m。錐殼半錐角為0.114 591 6°。l1為500 m，l為520 m。圓錐在母線方向的長度為20 m。材料參數同圓柱一樣。錐殼和柱殼都浸沒在水中。圖3給出了流體載荷作用下的錐殼和柱殼的固有頻率。對比顯示小錐角錐殼與柱殼的流固耦合振動固有頻率符合得很好。表明當前方法處理流體載荷是有效的。圖3顯示：在低周向波數時，流體中的錐殼的固有頻率下降了對應于真空中錐殼的頻率大約一半。

4.2 各向同性圓錐殼體的振動

對于各向同性圓錐，彈性模量E為2.1×1011Pa，泊松比ν為0.3，密度ρc為7 800 kg/m3和厚度h為0.006 m。錐殼小端半徑a是0.2 m，大端半徑b是0.8 m。l1和l分別是0.66 m 和2.667 m。錐角為34.916°。錐殼兩端邊界條件為簡支－簡支（SS）。

圖4顯示了SS邊界條件下錐殼的耦合和未耦合固有頻率。未耦合和耦合模態分別對應真空中的錐殼和浸沒在流體中的錐殼。從圖中能夠看出流體和錐殼是強烈耦合的。在低周向波數時耦合頻率幾乎下降到未耦合頻率的一半。在高周向波數時，耦合頻率大約下降了四分之一。在分析流體與錐殼相互作用時，流體的影響必須要考慮。對于兩端簡支的錐殼，圖5顯示了錐殼分段數s對耦合頻率收斂特性的影響。s=5與s=20的頻率值是相同的，表明頻率已經收斂。耦合頻率收斂速度很快，s的取值比較靈活。

4.3 正交各向異性圓錐殼體的自由振動

對于正交各向異性圓錐殼，在計算中使用兩個殼體模型。兩個模型的材料參數是E1=E=2.1×1011Pa，E2=E1/γ12，ν12=0.3，G1=E1/［2（1+ν12）］和ρc=7 800 kg/m3。流體介質是水。兩個模型中的邊界條件是SS。第一個錐殼模型的幾何參數像4.2節那樣保持不變。第二個錐殼模型的幾何參數與第一個模型相同，只是下面幾個參數改變了：錐殼大端半徑b為1.2 m，l1為0.4 m，l為2.4 m，錐角為60°。圖6－圖9顯示了比率γ12對有無流體加載下錐殼固有頻率的影響。通過比較圖6－圖7和圖8－圖9，可以看到流體載荷改變了錐殼的自由振動特征。在低周向波數時，流體載荷使得錐殼的頻率下降了一半；在高周向波數時，錐殼的頻率下降了四分之一。低周向波數時，流體載荷強烈影響著錐殼的動力特性。當比率γ12從2增加到20時，圖6－圖9顯示ωc下降，并且周向波數的增加輕微地改變了ωc。這是因為當γ12增加時，與母線方向剛度相比，周向剛度變弱了。這種變弱的周向剛度放松了對ωc的貢獻。對于大的γ12，ωc主要依賴于母線方向剛度。

圖6 γ12對ωc的影響，半錐角為α=17.458°，沒有流體載荷，m=1Fig.6 Effect of γ12on ωcfor conical shell with half vertex angle α =17.458°，without fluid load，m=1

圖7 γ12對ωc的影響，半錐角為 α =17.458°，有流體載荷，m=1Fig.7 Effect of γ12on ωcfor fluid loaded conical shell with half vertex angle α =17.458°，m=1

圖8 γ12對ωc的影響，半錐角為α=30°，沒有流體載荷，m=1Fig.8 Effect of γ12on ωcfor conical shell with half vertex angle α =30°，without fluid load，m=1

圖9 γ12對 ωc的影響，半錐角為α=30°，有流體載荷，m=1Fig.9 Effect of γ12on ωcfor fluid loaded conical shell with half vertex angle α =30°，m=1

5 結論

給出一個包括流體載荷作用的圓錐殼自由振動理論模型。一個技巧而又系統的錐殼自由振動的解通過波傳播法和Galerkin法得到。將圓錐殼分段用圓柱殼近似，流體載荷易于處理。波傳播法適合于確定流體與錐殼的耦合效應。因為錐殼和聲場都體現了波動。本文的數值結果同其他研究者的結果相符，表明了給出的模型是有效的。研究了不同邊界條件下錐殼自由振動特征。分析了彈性模量比率γ12對正交各向異性圓錐殼體頻率ωc的影響。γ12越大，ωc就越小。數值結果顯示流體載荷強烈影響結構的動力特性。在低周向波數時，錐殼的耦合頻率下降了大約一半；高周向波數時，錐殼的耦合頻率下降了大約四分之一。本文的研究可以應用到潛艇艉部錐殼的聲輻射上。

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附錄同其它系數Cij相比，系數C11有最簡單的表達式。其它系數Cij能夠用相似的方法得到。

其中，sine積分函數si（x）定義為：

cosine積分函數ci（x）定義為：