考慮損傷雙層扁球面網(wǎng)殼的非線性動力學(xué)特性

栗 蕾，郝際平，李廣慧，黃 義

（1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院，土木建筑工程學(xué)院，鄭州 450015；2.西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，西安 710055）

網(wǎng)架和網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)是近些年來在建筑工程中應(yīng)用極為廣泛的工程結(jié)構(gòu)形式，特別是在大型空間與公共建筑結(jié)構(gòu)中可以說非他莫屬了，尤其是網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)應(yīng)用在大空間、大跨度結(jié)構(gòu)中更是屢見不鮮。

眾說周知，網(wǎng)架結(jié)構(gòu)通常屬于薄壁輕鋼結(jié)構(gòu)，它們的變形大都屬于大變形范圍。在相當(dāng)?shù)目缍群洼d荷條件下，網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的剛度較小于其他網(wǎng)格結(jié)構(gòu)并在加載過程中剛度還會削弱，研究表明，在某些情況下倘若不考慮結(jié)構(gòu)的非線性將會導(dǎo)致難以接受的誤差，尤其在網(wǎng)殼的穩(wěn)定性方面，因此用幾何非線性分析網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)比較合理［1－7］。特別是由于網(wǎng)殼在制作桿件材料不可避免的都帶有一定的損傷，因此對于帶損傷的網(wǎng)殼的非線性分析的研究實(shí)屬必要，筆者注意到關(guān)于這方面的研究尚不多見。作者正是在這方面做了一些嘗試。基于Lematire等效應(yīng)變損傷理論，計(jì)及扁球面網(wǎng)殼各個桿件的損傷影響，應(yīng)用擬殼法導(dǎo)出了具有損傷的扁球面網(wǎng)殼的動力學(xué)非線性控制方程。提出了以中心最大振幅為攝動參數(shù)的攝動－變分法的求解方法，對動力非線性控制方程進(jìn)行了求解，得出了相應(yīng)的物理量的解析式。據(jù)此進(jìn)行數(shù)值分析，得出了相應(yīng)的特征關(guān)系。并用Galerkin方法導(dǎo)出了一個含二次和三次非線性振動微分方程并求解了具有損傷扁球面網(wǎng)殼的的非線性動力學(xué)的自由振動方程，給出了準(zhǔn)確解。而后利用Melnikov函數(shù)法，從理論上給出了考慮損傷的系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動的臨界條件，并通過計(jì)算機(jī)數(shù)字仿真證實(shí)了考慮損傷的扁球面網(wǎng)殼在非線性強(qiáng)迫振動時存在混沌運(yùn)動，同時發(fā)現(xiàn)損傷使得系統(tǒng)更易發(fā)生混沌運(yùn)動。

1 具有損傷扁球面網(wǎng)殼的非線性動力學(xué)控制方程的建立

1.1 具有損傷扁球面網(wǎng)殼的本構(gòu)方程

首先利用擬板法建立具有損傷殼體的本構(gòu)方程如下：

式中：［D］為中面剛度系數(shù)矩陣，

其中u，v，w為中面上x，y，z方向的位移。

式（2）中：

由式（1）可以得到：

1.2 具有損傷扁球面網(wǎng)殼的非線性動力學(xué)控制方程的建立

引入無量綱量如下：

引入周邊固定夾緊邊界條件：

當(dāng)ρ=0時，

選取系統(tǒng)的初始條件為：

當(dāng)τ=0 時，W（ρ，τ）=W（ρ，0），

2 基本方程求解

選取扁球面網(wǎng)殼中心最大振幅為攝動參數(shù)，利用攝動變分法求解系統(tǒng)非線性振動問題。

將方程（14）中含有cosτ的項(xiàng)和cos2τ的項(xiàng)分開則：

一次近似邊值問題：

邊界條件：

當(dāng)ρ=1時，

當(dāng)ρ=0時，

二次近似邊值問題：

邊界條件：

當(dāng)ρ=1時，

當(dāng)ρ=0時，

三次近似邊值問題：

邊界條件：

當(dāng)ρ=1時，

當(dāng)ρ=0時，

3 對近似邊值問題求解

對一次近似邊值問題求解得：

=（1－ω）為具有損傷扁球面網(wǎng)殼的線性固有頻率。對二次近似邊值問題求解：

對三次近似邊值問題求解：

繪出具有損傷扁球面網(wǎng)殼的非線性振動的頻率與振幅和頻率與載荷之間的特征關(guān)系如下：

圖1 －W0的特征關(guān)系Fig.1 Ω20 － W0 Characteristic relation

圖2 －Q的特征關(guān)系Fig.2 Ω20 － Q Characteristic relation

圖1，圖2給出了不同的ω下的－W0和－Q特征關(guān)系曲線，圖1中W0=0，對應(yīng)于考慮損傷扁球面網(wǎng)殼的固有頻率。ω=0對應(yīng)于無損傷理想扁球面網(wǎng)殼的振動頻率。顯然從圖1與圖2中可以看出損傷對扁球面網(wǎng)殼的非線性振動特性有明顯的影響。損傷使殼體的振動頻率降低，這是由于損傷削弱了殼體的抗彎剛度。

4 混沌運(yùn)動分析

4.1 建立系統(tǒng)的非線性振動微分方程

選取固定夾緊邊界條件并將其無量鋼化為：

當(dāng)ρ=1時，

當(dāng)ρ=0時，

選取

由方程（33）－（36）可以解得：

方程（32）的能量變分方程為：

其中：

把式（36）和式（37）式代入方程（38）用 Galerkin方法得：

由于δf（t）的任意性可以得到：

為了簡化公式我們令：

Q=GcosΩ't那么方程（40）可簡化為：

方程（43）為系統(tǒng)的非線性振動微分方程。

4.2 對具有損傷雙層扁球面網(wǎng)殼自由振動方程求解

方程（43）的等價(jià)方程可寫為：

當(dāng)ε=0時，方程（44）是一未擾動的Hamilton系統(tǒng)，其Hamilton量為：

對于不同的H值，系統(tǒng)將有不同的力學(xué)行為。

假設(shè)H=0，則系統(tǒng)的Hamilton量為：

求解方程（46）得：

那么：

經(jīng)驗(yàn)證它們是方程的解。則系統(tǒng)（44）的自由振動方程解為：

4.3 用Melnikov函數(shù)分析具有損傷雙層扁球面網(wǎng)殼的混沌運(yùn)動

當(dāng)ε=0時，方程（44）是一未擾動的Hamilton系統(tǒng)，其Hamilton量為：

系統(tǒng)沿同宿軌道的Melnikov函數(shù)為：

將η2（τ）代入式（48）并經(jīng)過計(jì)算整理后得到：

式中τ0為參考時間，由此式可得，當(dāng)外激勵和阻尼滿足：當(dāng)=1時，

系統(tǒng)含有同宿軌道使相應(yīng)的Melnikov函數(shù)有簡單的零點(diǎn)從而系統(tǒng)可能產(chǎn)生Smale馬蹄變換下的混沌運(yùn)動，R（β'）為出現(xiàn)馬蹄變換的門檻值。易顯，考慮結(jié)構(gòu)桿件損傷的系統(tǒng)更易發(fā)生混沌運(yùn)動。

4.4 數(shù)值結(jié)果及討論

圖3 R～β'曲線Fig.3 R ～ β'curve

這里以半徑R為40 m，網(wǎng)殼高度h為3 m，失高f為5 m的圓底扁球面網(wǎng)殼為例，材料選用Q235鋼材，彈性模量E=2.06 ×106kg/cm2，γ=0.6 t/m3，a=3 m，網(wǎng)殼上、下弦桿面積S1=17.17 cm2，S2=13.08 cm2。由圖3可以看出損傷ω及系統(tǒng)頻率的變化對扁球面網(wǎng)殼混沌的影響，圖中給出了不同損傷下系統(tǒng)可能發(fā)生混沌運(yùn)動的臨界值。隨著損傷程度的增加可能發(fā)生混沌的區(qū)域也在增大。隨著頻率和損傷程度的增大，系統(tǒng)更容易發(fā)生混沌運(yùn)動。為了證實(shí)系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動，在Melnikov函數(shù)法得到的混沌運(yùn)動可能的參數(shù)域內(nèi)，借助于計(jì)算機(jī)模擬，并利用成熟的方法時間歷程圖，相平面圖和Pioncare映射圖來證實(shí)混沌的存在。計(jì)算此網(wǎng)殼系統(tǒng)的無損傷時（ω=0），取α'=0.1，=1，g'=172，β'=2.76，當(dāng)ω=0.2 時，取α'=0.1，=1，g'=110，β'=2.39。當(dāng)ω=0.5 時，取α'=0.1，=1，g'=51，β'=1.84。數(shù)值模擬結(jié)果如圖 2，圖 3，圖 4 所示，其具有明顯的混沌特征，時間歷程圖無周期性，相平面軌跡相互纏繞，既無重疊也無規(guī)律，Poincare映射出系統(tǒng)具有復(fù)雜的混沌吸引子。因此更進(jìn)一步證實(shí)了混沌的存在，而且很明顯現(xiàn)實(shí)隨著損傷因子的增大混沌的臨界載荷越來越小。

5 結(jié)論

損傷對扁球面網(wǎng)殼的非線性振動特性有明顯的影響，損傷使殼體的振動頻率降低，隨著損傷的增大振動頻率見有較大幅度的降低。另外振動頻率隨振幅的增大而增大，而且隨著損傷的增大表現(xiàn)的尤為明顯。因此實(shí)際工程應(yīng)用和設(shè)計(jì)時應(yīng)予考慮損傷對結(jié)構(gòu)的影響。

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