基于MATLAB的一種并聯(lián)頂舉機(jī)構(gòu)逆解與工作空間分析

姚榮華，陳品志，何鵬飛

YAO Rong-hua，CHEN Pin-zhi，HE Peng-fei

（北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081）

0 引言

在震后救援工作中，傳統(tǒng)的頂舉機(jī)械如千斤頂只能在單一方向上進(jìn)行頂舉工作，一旦頂舉方向需要變化則千斤頂必須卸載后重新安裝頂舉，如果方向還有偏差，則須再次卸載以變換頂舉變向，這樣反復(fù)調(diào)整浪費(fèi)了大量時(shí)間，嚴(yán)重限制了震后施救效率的提高。針對(duì)以上問(wèn)題，本課題組設(shè)計(jì)了一種空間三自由度的頂舉救援機(jī)器，該頂舉機(jī)械在重載下可以實(shí)時(shí)調(diào)整頂舉姿態(tài)，改變項(xiàng)舉方向，從而大大提高頂舉工作的效率。

1 機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)介

機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖和工作樣機(jī)分別如圖1、圖2所示，該機(jī)構(gòu)有三個(gè)空間自由度，靠三根雙作用液壓桿的伸縮控制整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)。空間并聯(lián)頂舉機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了空間狀態(tài)實(shí)時(shí)變換的功能，機(jī)構(gòu)底部可適應(yīng)各種不同的工作環(huán)境方便安裝。機(jī)構(gòu)的上下平面的工作范圍均可調(diào)整，上平臺(tái)半徑r調(diào)節(jié)范圍200~290mm，下平臺(tái)半徑R為300~420mm，桿的長(zhǎng)度為430~680mm，C1、C2、C3為底部平臺(tái)的三個(gè)固定點(diǎn)，A1、A2、A3為上平臺(tái)的三個(gè)球絞點(diǎn)，底部三個(gè)點(diǎn)與三根桿的連接使用銷釘連接只能繞銷釘?shù)妮S線方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。機(jī)構(gòu)上的三根桿C1A1、C2A2、C3A3是三根液壓桿即該機(jī)構(gòu)的三個(gè)自由度。

圖1 機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖2 工作樣機(jī)

液壓桿的行程是通過(guò)液壓系統(tǒng)一系列的電磁閥控制的。單片機(jī)中輸出的電信號(hào)通過(guò)調(diào)制解調(diào)，功率放大之后去控制電磁閥來(lái)調(diào)節(jié)液壓油的流量，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)構(gòu)的電、液、機(jī)控制。然而在控制中最困難的就是根據(jù)想要上平面姿態(tài)去求三根桿的行程，這就需要單片機(jī)能夠根據(jù)實(shí)際所需姿態(tài)迅速反求出C1A1、C2A2、C3A3的長(zhǎng)度，然后給出電信號(hào)進(jìn)行控制。求三桿的長(zhǎng)度要進(jìn)行逆解分析，而控制中還要知道機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)空間，防止機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)到空間的奇異點(diǎn)從而破壞機(jī)構(gòu)。求機(jī)構(gòu)的空間奇異點(diǎn)就要求出機(jī)構(gòu)的空間運(yùn)動(dòng)包絡(luò)面，反求出桿長(zhǎng)的伸縮范圍，這樣機(jī)構(gòu)的控制就在理論上實(shí)現(xiàn)了。以下介紹了針對(duì)該機(jī)構(gòu)控制的理論基礎(chǔ)和用MATLAB計(jì)算的方法。

2 機(jī)構(gòu)逆解與工作空間分析

點(diǎn)C1、C2、C3在定坐標(biāo)系O-XYZ下的絕對(duì)坐標(biāo)，其中R1、R2、R3是機(jī)構(gòu)底部三根連接桿的工作長(zhǎng)度，z1、z2、z3為固定點(diǎn)的安裝高度。

點(diǎn)A1、A2、A3在動(dòng)坐標(biāo)系P-X1Y1Z1下的相對(duì)坐標(biāo)，其中r1、r2、r3為頂部三根桿的工作長(zhǎng)度

動(dòng)坐標(biāo)系P-X1Y1Z1對(duì)定坐標(biāo)系O-XYZ的可用歐拉角表示的齊次坐標(biāo)變換矩陣描述。用歐拉角描述機(jī)構(gòu)空間姿態(tài)，由于歐拉角表示的旋轉(zhuǎn)矩陣只有三個(gè)參數(shù)，所以用歐拉角將平臺(tái)的位姿參數(shù)與變換矩陣聯(lián)系起來(lái)，方便了求解運(yùn)算。

設(shè)上平面的單位矢量為Nt=（ntx,nty,ntz）T，歐拉角為α、β 、γ，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)與絕對(duì)坐標(biāo)系坐標(biāo)軸的方向余弦角為θx、θy、θz。

為了計(jì)算方便以及保證 ntx、nty、ntz與 α、β、γ 為單值對(duì)應(yīng)，需要對(duì)歐拉角做如下規(guī)定：

平臺(tái)的法向單位矢量即為方向余弦：

根據(jù)實(shí)際的運(yùn)動(dòng)情況，不能取負(fù)值，所以有

用歐拉角表示的平臺(tái)姿態(tài)的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

由于平臺(tái)的軸線與所定義的動(dòng)坐標(biāo)系的Z1軸重合，所以旋轉(zhuǎn)矩陣R1的最后一列正好是動(dòng)坐標(biāo)系軸的單位矢量，可以得到三個(gè)方程：

將平臺(tái)的空間姿態(tài)角通過(guò)上式轉(zhuǎn)化成為歐拉角的表示。

根據(jù)，兩個(gè)歐拉角可以由平臺(tái)的方向余弦角完全確定，歐拉角表示的動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)的旋轉(zhuǎn)矩陣的每一列分別表示動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系軸對(duì)軸的方向余弦，于是有：

其中對(duì)應(yīng)的元素相等，還有加上平臺(tái)不自轉(zhuǎn)的條件-α=γ：。在結(jié)合實(shí)際模型，還應(yīng)有約束條件：

其中u1、u2、u3為三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線的單位方向矢量，此外機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)也為約束條件。

對(duì)于（7）式中的方程α、β 、γ為三個(gè)未知數(shù)，而θx、θy、θz為三個(gè)上平臺(tái)空間運(yùn)動(dòng)的姿態(tài)角為已知量，并且有cos2θx，cos2θy，cos2θz=1所以方程組（5）中只有兩個(gè)式子是獨(dú)立的，而θx、θy、θz中也只有兩個(gè)獨(dú)立的變量，在加上上平臺(tái)中心點(diǎn)的縱坐標(biāo)，該機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)描述中只有三個(gè)獨(dú)立的變量，即該機(jī)構(gòu)只有空間的三個(gè)自由度。

對(duì)實(shí)際機(jī)構(gòu)模擬還應(yīng)加上頂部運(yùn)動(dòng)平臺(tái)球角運(yùn)動(dòng)角度的約束條件，是通過(guò)運(yùn)動(dòng)桿的單位矢量與平臺(tái)三定點(diǎn)與中心形成的向量的夾角確定，限定范圍為30度。

3 基于MATLAB的逆解與工作空間仿真

在MATLAB中要先對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行描述，用MATLAB的程序語(yǔ)言描述運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)的三點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系中的位置和底部三點(diǎn)在定坐標(biāo)系中的位置，然后利用動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于定坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣將描述機(jī)構(gòu)的所有的點(diǎn)均轉(zhuǎn)換到一個(gè)統(tǒng)一的坐標(biāo)系中研究。

在計(jì)算機(jī)仿真中利用數(shù)值計(jì)算的方法非常利于簡(jiǎn)化程序而且運(yùn)算簡(jiǎn)單。根據(jù)平臺(tái)的最終空間要達(dá)到的空間姿態(tài)去反求其他各點(diǎn)的位置和桿的長(zhǎng)度。這里通過(guò)循環(huán)語(yǔ)句對(duì)機(jī)構(gòu)的各種空間姿態(tài)進(jìn)行取值和密化，由于機(jī)構(gòu)為空間三自由度，所以只要對(duì)其中的三個(gè)變量進(jìn)行循環(huán)自動(dòng)賦值就可以取到機(jī)構(gòu)所能達(dá)到的空間姿態(tài)。

圖3 機(jī)構(gòu)的逆解分析

圖4 機(jī)構(gòu)的工作空間分析

進(jìn)行空間機(jī)構(gòu)仿真時(shí)，對(duì)于機(jī)構(gòu)在實(shí)際運(yùn)動(dòng)中存在的約束是通過(guò)對(duì)空間中已求出的理想點(diǎn)進(jìn)行再次分析模擬的。用理想模型中的出的機(jī)構(gòu)空間點(diǎn)進(jìn)行桿長(zhǎng)和向量空間夾角的描述，通過(guò)如桿長(zhǎng)和夾角再對(duì)這些理想點(diǎn)進(jìn)行篩選，最終就可以得到機(jī)構(gòu)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)空間。

在程序中進(jìn)行自動(dòng)取值去掉而輸入自定的歐拉角（根據(jù)平臺(tái)姿態(tài)用公式得出），則可計(jì)算出該姿態(tài)下的平臺(tái)動(dòng)桿所應(yīng)達(dá)到的桿長(zhǎng)。對(duì)所取的空間姿態(tài)向量越密集，則對(duì)平臺(tái)的空間姿態(tài)描述越精確。圖3為在已知上平面的θx、θy、Z的條件計(jì)算出桿長(zhǎng)繪制的圖，由于沒(méi)有加球絞限制和桿長(zhǎng)限制，所以達(dá)到的空間旋轉(zhuǎn)范圍大，是對(duì)逆解分析算法的一種驗(yàn)證。圖4是加上限制條件之后在空間某一固定高度繪制出的機(jī)構(gòu)空間工作范圍，可以看到機(jī)構(gòu)在固定高度上的旋轉(zhuǎn)空間范圍是比較有限的，這主要是在設(shè)置球絞工作范圍時(shí)的取值較小，在實(shí)際產(chǎn)品中使用的直線桿端球軸承的工作范圍是30度，若要增大產(chǎn)品的工作范圍就必須定做球絞角度更大的軸承。通過(guò)工作空間分析知道了機(jī)構(gòu)的空間工作范圍，提供了進(jìn)行控制的桿長(zhǎng)參數(shù)，確定了三桿聯(lián)動(dòng)在達(dá)到預(yù)期位置過(guò)程中桿長(zhǎng)的變化范圍與最終確定值。

4 對(duì)比分析

實(shí)際試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)機(jī)構(gòu)在某一運(yùn)動(dòng)高度時(shí)，其旋轉(zhuǎn)空間的范圍不是很大，三根桿長(zhǎng)的伸縮范圍受頂部球絞的旋轉(zhuǎn)角度制約嚴(yán)重，從而造成三根桿的長(zhǎng)度差并不是很大即上平臺(tái)的空間旋轉(zhuǎn)范圍較小。但由于機(jī)構(gòu)垂直方向上的運(yùn)動(dòng)不受球絞的制約且伸縮范圍大，機(jī)構(gòu)在整個(gè)空間的運(yùn)動(dòng)范圍能夠滿足設(shè)計(jì)之初多方向頂舉的要求，并且在實(shí)際試驗(yàn)時(shí)，由于機(jī)械零件的公差的存在使機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)并不嚴(yán)格按照計(jì)算時(shí)的約束進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)范圍稍大于計(jì)算得到的范圍。

[1]韓建有.高等機(jī)構(gòu)學(xué)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2004．

[2]劉峰,陳文凱.3自由度并聯(lián)機(jī)器人的研究現(xiàn)狀和發(fā)展前景[J].企業(yè)技術(shù)開(kāi)發(fā),2006,（1）.