基于MATLAB/SIMULINK的牛頭刨床導桿機構運動學及動力學分析

錢文婷，徐承妍，李濱城

QIAN Wen-ting1，XU Cheng-yan2，LI Bin-cheng1

（1.江蘇科技大學 機械工程學院，鎮江 212003；2.華東師范大學 軟件學院，上海 200062）

0 引言

隨著計算機技術的發展，在機構綜合中計算機輔助分析得到了迅猛發展，特別為其建模仿真提供了極大的方便[1]，為后續綜合出機械最優化設計參數提供了可能。

牛頭刨床是一種常見的金屬切削機床，其導桿機構作為牛頭刨床的主要執行機構，實現將回轉運動轉變為直線往復運動的重要功能，如圖1所示。本文運用矢量法和矩陣法建立了牛頭刨床導桿機構分析的數學模型，在對其進行運動學和動力學分析的基礎上，運用MATLAB/SIMULINK進行了運動學和動力學仿真，從而獲得了機構的運動曲線圖及運動副反力曲線圖，為對其進一步深入研究提供了基礎。

1 運動學分析

1.1 數學模型的建立

建立如圖1所示的直角坐標系，將各構件視為桿矢量。機構各矢量構成兩個矢量封閉方程為：

圖1 牛頭刨床導桿機構

聯解上式，即可求得各構件的位移量為：

1.2 SIMULINK建模與仿真

在應用SIMULINK進行運動學仿真時，需先根據前面建立的數學模型，編寫一個MATLAB函數Displacement用以解出式（5）中的四個位移量s3、θ3、θ4、sE，該函數的輸入參量為構件1的位移量θ1，輸出參量為由s3、θ3、θ4、sE四個變量構成的向量，隨后通過Demux模塊將該向量分解輸出。在此基礎上，利用微分模塊對各構件的位移量s3、θ3、θ4、sE分別進行微分，求得其對應的速度量ν3、ω3、ω4、νE，再對其進行微分,求得其對應的加速度量α3、α3、α4、αE。最后使用Mux模塊將所求的變量合成為一個向量，并通過To Workplace模塊將該向量數據寫入工作空間中的simout1變量，圖2為SIMULINK運動分析仿真系統圖。

圖2 SIMULINK運動分析仿真系統圖

為表示實際工作中牛頭刨床機構完整的運動周期，設構件1的位移量初始值為θ1=-0.4713rad為正行程開始的位置，仿真時間大于1個運動周期。并設構件1的角速度ω1=1rad/s，則1個周期T=6.28s，故選取仿真時間為8秒。

在仿真結束后，借助于MATLAB的plot等繪圖命令對simout1變量進行后處理，可以得到各運動量隨時間的變化規律，如圖3所示。

2 動力學分析

2.1 數學模型的建立

根據前述求得的相關構件加速度量，可確定出其所受的慣性力及慣性力矩。設mi為第i個構件的質量，Fi為作用在第i個構件上的慣性力，Mfi為第i個構件上的慣性力矩，Ji為第i個構件繞其質心Si的轉動慣量，可得：

圖4 牛頭刨床導桿機構受力分析圖

機構受力如圖4所示，Md為加在構件1上的平衡力矩，根據構件上所有外力在 軸上的投影的代數和為零、構件上所有外力在 軸上的投影的代數和為零以及構件上所有外力對其質心Si的力矩代數和為零，列出每一構件的動態靜力平衡方程式[2,3]。

對構件1有：

圖3 牛頭刨床導桿機構的位移、速度、加速度圖線

對構件2，有：

這里強調一點，對滑塊2，由于其各力對其質心取矩代數和恒為零，故無法列出其力矩平衡方程式。根據幾何約束條件，可以列出下列方程作為補充方程：

對構件3，有：

對構件5，由于導路對其只產生一個垂直反力，但力作用點未知。可以這樣處理，把其反力向質心S5簡化，可得一反力FR65和一反力偶矩M5，其中xS5為點E與構件5質心的距離。而構件5運動時所受切削阻力為Fr，如圖4所示。其僅在向左運動，即切削工件時才受到切削阻力。構件5平衡方程式如下：

將上述各構件的15個平衡方程式，整理成以運動副反力和平衡力矩為未知量的線性方程組，并寫成矩陣形式如下：

式中C為系數矩陣，FR為未知力列陣，D為已知力列陣。其中

2.2 SIMULINK建模與仿真

SIMULINK動力學分析仿真系統模型框圖如圖5所示，該仿真系統模型有運動學分析子系統Kinematics、動力學分析MATLAB函數Dynamics和輸入輸出模塊組成。

圖5 SIMULINK動力學分析仿真系統圖

在SIMULINK運動分析仿真系統模型的基礎上，利用SIMULINK中子系統的功能模塊，將其改建成運動學分析子系統Kinematics并嵌入到動力學分析仿真系統之中，該子系統的輸出端為動力學分析函數Dynamics的輸入端，子系統框圖如圖6所示。

圖6 運動學分析子系統圖

Dynamics函數用來求解運動副反力和平衡力矩，該函數的輸入為由運動分析子系統Kinematics輸出的各構件的位移量、速度量及加速度量，輸出為各運動副反力及平衡力矩，程序設計如圖7所示。

由動力學分析函數Dynamics輸出的各動力學參量將寫入MATLAB工作空間中的simout2變量。在仿真結束后借助于MATLAB的plot等繪圖命令對simout2變量進行后處理，就可以得到15個動力學參量隨時間的變化規律，選取部分線圖如圖8所示。

3 結論

本文通過運用MATLAB/SIMULINK軟件對牛頭刨床導桿機構進行運動學及動力學分析，闡述了MATLAB/SIMULINK輔助機構分析的一般過程，這為使用該軟件輔助其它類型機構的分析提供了借鑒。這里需要強調的是在應用SIMULINK進行運動學仿真時采用了微分的方法，可以看到這極大簡化了機構的分析過程。此外，從本文的仿真分析可知，在應用MATLAB/SIMULINK軟件中還可以對運動參數進行修改，從而獲得不同的設計方案，這就為對其工況進行優化設計提供了可能。

圖7 動力學分析程序設計框圖

圖8 MATLAB力分析線圖

[1]約翰.F.加得納,著.周進雄,等.機構動態仿真—使用Matlab和Simulink[M].西安：西安交通大學出版社,2002.

[2]孫恒,陳作模,葛文杰.機械原理（第七版）[M].北京：高等教育出版社,2006.

[3]姚立綱,王景昌,欒慶德.常見機構的電算程序設計[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社,1999.