Gleason弧齒錐齒輪三維數字化設計及其在汽車差速器中的應用

齊從謙，甘 屹

QI Cong-qian1，GAN Yi2

（1.上海師范大學 天華學院，上海 201815；2.上海理工大學 機械工程學院，上海 200093）

0 引言

齒輪是機械產品中最常用的零件之一，齒輪傳動是靠主動齒輪的輪齒側邊依次撥動從動齒輪側邊來傳遞運動和動力的，一對標準圓柱齒輪的嚙合傳動如圖1所示。齒輪機構可以傳遞空間任意軸間的運動和動力，且具有傳動平穩、可靠，使用范圍廣（傳遞速度和規律的范圍大），使用壽命長等特點，故廣泛應用于機械傳動中。

圖1 一對齒輪的嚙合關系及基本參數

廣義的齒輪機構除了標準圓柱齒輪（外嚙合或內嚙合）之外，還有齒輪齒條、斜齒輪、人字齒輪（以上為平面齒輪機構）和用于空間齒輪機構的直齒、斜齒錐齒輪，蝸輪、蝸桿及準雙曲面齒輪、格利森圓弧齒輪等。

由于錐齒輪的設計參數之間的關系比較復雜，目前業界（尤其是在眾多的出版物中）在運用三維CAD軟件進行錐齒輪設計的思路與方法中，存在的錯誤和不規范之處。本文將分析直齒錐齒輪、弧齒錐齒輪的工作原理和建模理論基礎；以Gleason弧齒錐齒輪為例介紹此類齒輪的三維數字化設計的方法及其在Pro/E野火環境下的實現過程，從而糾正在錐齒輪設計中存在的錯誤和不規范之處，幫助廣大CAD用戶走出齒輪三維設計誤區。

1 錐齒輪工作原理及建模基礎

1.1 標準圓柱直齒輪的齒廓曲面

齒輪傳動具有傳動精度高、傳動平穩等特點。因為齒輪的齒廓是由漸開線曲面構成的，漸開線輪齒側邊之間無滑動的嚙合是實現高精度和平穩傳動的關鍵。

一對標準圓柱齒輪的嚙合關系及其基本參數如圖1所示。其中模數m、齒數Z、分度圓直徑d、齒形角（或分度圓壓力角）α是齒輪的主參數。

根據機械原理，當圖2中的直線B-B由虛線位置沿一圓周作純滾動時，其上任一點K在平面上的軌跡K0K，稱為該圓的漸開線，這個圓稱為基圓。圖2中各參數的幾何意義如下：

1）θk角為K0K段漸開線的展角

2）rk為漸開線的矢徑

3）αk為壓力角

4）rb為基圓的半徑：rb=d/2*cosα （1）

式（1）中，d為齒輪分度圓的直徑，α為分度圓壓力角。

由漸開線的生成規律，很容易得到極座標下的rk和θk與壓力角αk之間的函數關系如式（2）所示，這里，θk是壓力角αk的函數，在機械原理中稱其為漸開線函數或Involute函數。注意：式中αk的單位可以是角度或弧度，但tan（αk）的值一定是弧度，因此在具體計算過程中，須將其轉為角度量，才能與αk相減，所得到的差是角度量，這是PRO/E所默認的單位，而且式（2）所表達的函數關系恰恰與PRO/E所提供的“用柱坐標來構建方程”相一致。式（3）為笛卡爾坐標下的表達式。

圖2 齒輪漸開線生成原理及計算方法

式（2）與式（3）在數學上是等價的，但顯然，式（2）在形式上更簡潔，其幾何意義更為清晰。遺憾的是幾乎95%以上的三維建模人員及有關出版物（PRO/E、UG等）都在使用笛卡爾坐標系下的式（3）所描述的表達式來創建漸開線。這是誤區之一。

1.2 錐齒輪三維設計的理論基礎

直齒錐齒輪是錐齒輪中最簡單的，因此要研究錐齒輪的數字化建模，首先要從直齒錐齒輪談起。直齒錐齒輪主要用于垂直相交的兩軸之間的傳動。一對標準直齒錐齒輪傳動時，兩輪的分度圓錐與各自的節圓錐重合。由于錐齒輪的輪齒分布在錐面上，所以輪齒的一端大，另一端小，沿齒寬方向上的輪齒大小均不相同，故輪齒全長上的模數、齒高、齒寬等都不相同。所以錐齒輪齒廓的模型不能像標準圓柱直齒輪那樣簡單地采用拉伸來創建。但其齒形仍是以標準圓柱直齒輪的漸開線齒形輪廓為基礎來設計的。

圖3所示為一對錐齒輪嚙合的剖面圖，作圓錐O1C1C和O2C2C使之分別在兩輪節圓錐處與兩輪的大端錐面相切，切點分別為C1、C和C2。則這兩個圓錐稱為背錐。將兩輪的球面漸開線ab和ef分別投影到各自的背錐上，得到在背錐上的漸開線a'b'和e'f'，由該圖可知投影出來的齒形與原齒形非常相似且接近，因此可以用背錐上的齒形代替圓錐齒輪的球面漸開線。然而絕大多數齒輪設計人員不明白這個道理。有些CAD設計人員竟然在錐臺的頂面和底面上構建齒廓截面，然后采用“混合、減料”形成齒槽。這是誤區之二。

2 直齒錐齒輪三維設計

根據上述分析，我們可以獲得直齒圓錐齒輪的建模方案：即把一對標準直齒錐齒輪傳動看成是在大端面的背錐上的一對當量齒輪在傳動，并規定大端面的參數為直齒圓錐齒輪的標準參數，其基本尺寸計算也在大端面上進行。仍然遺憾的是：不少齒輪設計人員不知曉當量齒輪的概念。這是誤區之三。

當量齒輪是這樣定義的：將背錐展開成平面后，可以得到兩個扇形齒輪（如圖3所示），其齒數為錐齒輪的齒數z，將扇形的缺口補全（齒數增加）使之成為完整的圓柱齒輪，這個齒輪稱為錐齒輪的當量齒輪，其齒形近似于直齒圓錐齒輪大端面的齒形。當量齒輪的分度圓半徑rv等于背錐錐距：rv=r/cosδ；錐齒輪當量齒輪的齒數為：zv= z/cosδ（δ為分度圓錐角），顯然，當量齒輪的齒數往往是一個實型數而非整數。這樣，就可以像處理標準圓柱齒輪那樣分別在錐齒輪的大端面和小端面上創建漸開線齒廓截面，然后采用“掃描混合”方法生成錐齒輪的齒槽。

圖3 錐齒輪嚙合原理及當量齒輪

由式（2）很容易得到柱坐標系下當量齒輪漸開線創建方法：在圖4a的記事本中使用的是圓錐齒輪大端當量齒輪的參數，如齒數為52.303，α= t*50，即式（2）中的αk。所得到的漸開線如圖4a所示。

由所創建的漸開線可以繪制大端當量齒輪齒槽截面和小端當量齒輪齒槽截面如圖4 b所示。

進而采用“混合”操作創建錐面齒槽，陣列后獲得直齒錐齒輪全部齒廓如圖5所示。

圖4 創建當量齒輪的漸開線和大端、小端齒槽截面

圖5 “混合”操作獲得齒槽實體并陣列生成全部齒廓

3 Gleason弧齒錐齒輪的三維設計

弧齒錐齒輪傳動平穩，噪聲低，承載能力高于直齒錐齒輪；便于控制和調整齒面接觸區，且對誤差和變形不太敏感，常用于圓周速度υ＞5m/s的相交軸（通常為90°）之間的動力和運動傳動，具有傳遞扭矩大、傳遞運動精確、可靠性高的特點。由于其承載能力大、傳動平穩、噪聲小、結構緊湊等優點，是航空（發動機）、造船（發動機）、汽車（差速器）、能源、裝備、國防等部門產品的關鍵零件，因此弧齒錐齒輪生產在現代化機械制造業中占有十分重要的地位。

圖6 弧齒錐齒輪的齒形與主要設計參數

弧齒錐齒輪的齒形如圖6a所示，它是一種節錐齒線為曲線的錐齒輪，其齒形是齒廓曲線沿分度圓錐面上的一條螺旋線掃描而形成的。該螺旋線過分度圓錐面齒線上任一點的切線與分度圓錐母線之間的夾角稱為螺旋角β，在設計和制造時，通常把這一點設置在分度圓錐面齒寬中點處，因此，又稱其為齒寬中點螺旋線；螺旋的方向按下面的方法確定：面對齒輪頂錐面，自齒寬中點到大端，齒線的旋向為順時針方向為右旋齒輪，齒線的旋向為逆時針方向為左旋齒輪。一對相互嚙合的螺旋弧齒錐齒輪的螺旋方向按主動輪轉向確定，若主動輪為右旋，則被動輪必為左旋，反之亦然。

美國Gleason公司（格利森）是生產弧齒錐齒輪銑齒機的著名廠家，它制定了“格利森制”的弧齒錐齒輪標準。“格利森制”弧齒錐齒輪的幾何設計、強度計算和切齒調整計算法被各國廣泛采用。我國目前尚未制定弧齒錐齒輪的基本齒廓標準，國內有關生產企業多沿用“格利森制”。本文所設計的格利森制弧齒錐齒輪的主要參數如下（如圖6b所示）。

1）齒數：Zn= 46

2）法向壓力角：α=20°

3）大端端面模數：mt=5mm

4）齒寬中點螺旋角：β=35°，螺旋方向：右旋

5）大端分度圓直徑：d = mt×Zn= 230mm

6）分度圓錐角δ=71.9395°

7）齒頂圓錐角：δa=73.5720°

8）齒根圓錐角：δf=68.6592°

9）錐距：R= mt×Zn/sinδ/2 =120.9597mm

10）齒寬：取b = 0.25R = 30mm（取整）

11）當量齒輪齒數：Zgv= Zn/cos（δ）= 148.3770

12）大端當量齒輪分度圓直徑：dgv= mt×Zgv= 741.885 mm

13）大端當量齒輪基圓直徑：dgb= dgv×cos（αt）

14）齒頂高系數：c*= 0.85

15）頂隙系數：h* = 0.188（等頂隙收縮齒）

16）當量齒輪端面壓力角：αt=arctan（tan（α）/cos（β））= 23.9568°

17）大端當量齒輪齒頂圓直徑：dga= dgv+2×mt×c*=750.385mm

18）大端當量齒輪齒根圓直徑：dgf= dgv-2×mt×（1+h*）= 730.005 mm

19）小端端面模數：mm= mt×（R-b）/R= 3.7186mm（取b = 31進行計算）

20）小端當量齒輪分度圓直徑：dsv= mm×Zgv= 551.7547 mm

21）小端當量齒輪齒頂圓直徑：dsa= dsv+2× mm×c*= 558.0763mm

22）小端當量齒輪齒根圓直徑：dsf= dsv-2× mm×（1+h*）= 542.9193 mm

弧齒錐齒輪的設計與直齒錐齒輪的設計方法相似，也須從當量齒輪做起。不同之處是弧齒錐齒輪的大小端齒槽截面的位置與齒寬中點螺旋線有關；在記事本中描述漸開線的柱坐標方程時須用當量齒輪端面壓力角23.9568°代替標準壓力角20°。按照上述參數設計的弧齒錐齒輪大、小端齒槽截面如圖7所示。

圖7 大端、小端齒槽截面

然后使用Pro/E中的“掃描混合”功能生成一個齒槽，再進行陣列處理即獲得圖8所示的Gleason弧齒錐齒輪。

圖8 創建弧齒錐齒輪齒槽及格利森齒輪的三維實體模型

4 Gleason弧齒錐齒輪在汽車差速器中的應用

Gleason弧齒錐齒輪的典型應用是在汽車差速器中的應用。在汽車差速器中采用一對Gleason弧齒錐齒輪進行嚙合，能使齒輪傳動獲得比較高的重疊系數，從而提升差速器的承載能力和傳動的平穩性，還能有效地降低噪聲小，而且結構緊湊。

采用Pro/E中的裝配功能和運動仿真功能可分別獲得汽車差速器三維裝配數字化模型（如圖9所示）及運動仿真效果。

圖9 由直齒錐齒輪和Gleason弧齒錐齒輪組裝的汽車差速器數字化三維模型

[1]齊從謙,甘屹,張洪興.Pro/ENGINEER野火2.0特征與三維實體建模[M].機械工業出版社,2006.

[2]齊從謙,甘屹.UGS NX 5中文版CAD/CAE/CAM實用教程[M].機械工業出版社,2008.

[3]齊從謙,賈偉新.支持變型設計的裝配模型建模方法研究[J].機械工程學報,2004,40（1）：38-42.

[4]齊從謙,崔瓊瑤.基于參數化技術的CAD創新設計方法的研究[J].機械設計與研究,2002,18（5）：13-15.

[4]齊從謙,崔瓊瑤.基于參數化技術的CAD創新設計[J].中國機械工程,2002,13（4）：17-19.

[5]林忠欽,等.機械設計手冊[M].機械工業出版社,2006.

[6]鄒慧君,張春林,李杞儀.機械原理[M].北京：高等教育出版社,2006.

[6]朱龍根.簡明機械零件設計手冊[M].北京：機械工業出版社,2005.