超分辨譜估計法在測速雷達中的應用

譚淵，楊勇，袁乃昌

(國防科學技術大學 電子科學與工程學院 微波中心，湖南 長沙410073)

近年來，國內部分靶場利用連續波多普勒測速雷達，通過在彈丸底部刻槽來測試彈丸的轉速。這種測試方法相比于早期的紙靶法和高速攝影法［1］，可以得出彈丸飛行過程中轉速與時間的實時曲線，而且測試精度更高。其基本原理就是從目標的回波信號中估計出彈丸多普勒頻譜以及由于刻槽引起的調制譜，進而計算出彈丸轉速。精確測量旋轉彈丸的轉速，對于彈丸的氣動設計、空氣動力學研究或是武器射表編擬中的彈道計算，都具有十分重要的意義。

因此，如何盡量精確估計回波信號的頻譜是決定轉速測量誤差的關鍵。本文在詳細分析彈底刻槽法的基礎上，引入超分辨譜估計的旋轉不變算法，代替了傳統FFT 對回波信號進行處理，進一步提高實驗測試精度。

1 旋轉不變子空間法

在雷達信號的處理過程中，傳統的方法是采用FFT 對信號進行頻譜估計，該方法的頻率分辨率受不相容原理限制，是一種低分辨的譜估計方法。本文采用基于旋轉不變空間(ESPRIT)模型的譜估計方法，通過對系統傳遞函數進行特征分解而得到信號的估計譜。而傳遞函數的估計可以通過直接數據近似方法得到，即對數據矩陣進行奇異分解估計傳遞函數，該方法可同時計算得到其信號分量對應的復幅度。

假設信號y(n)包含p 個諧波信號

式中:si(n)和ωi分別為第i 個諧波信號的幅值和頻率。假定ω(n)是一個0 均值、方差為σ2的高斯白噪聲。旋轉不變法狀態模型的參數估計是通過對數據矩陣的分解而得到的，構造數據矩陣［2-5］:

式中:A=［a(ω1)，a(ω2)，…a(ωp)］;a(ωi)=［1，

令A1為矩陣A 的前(L-1)行，A2為矩陣A 的后(L-1)行，即

則根據等距線陣的陣列相應矩陣A 的結構可知，子矩陣A1和A2之間存在以下關系:

式中P=E{s(n)sH(n)}為信號向量的相關矩陣。由于故由(5)式易知

用Us右乘(6)式兩邊，注意到排，即得并加以重

式中T 為一個非奇異矩陣，

用T 右乘(3)式則有

采用相同的分塊方式，將Us也分塊成

由于Us=AT，故比較(9)式與(10)式，立即有

將(4)式帶入(12)式，則

由(11)式及(13)式可得

定義

矩陣Ψ 稱為矩陣Φ 的相似變換，因此它們具有相同的特征值，即Ψ 的特征值也為ejφm，m=1，…，M.

由此可以得出該方法的計算步驟:

2 轉速測量的理論基礎

2.1 底部刻槽彈丸的RCS 分析

在炮彈底部刻一直線槽。設S 為炮彈底部總面積，槽深為d，槽外的底部面積S1，則槽的面積為S2=S-S1.由于槽相對炮彈底部很窄，可以把槽作為終端短路的無限寬傳輸線來分析［6］，如圖1所示。

圖1 傳輸線分析模型Fig.1 Analysis model of transmission line

現假設雷達發射電磁波為Et=E0e-jkzzx，槽反射的電磁波在接收機處為

S2反射的電磁波在接收機處為

由場的疊加得，在接收機處的總場為

此時，當入射波垂直于彈丸底部、入射的電場與槽的方向垂直時，彈丸底部的總RCS 等于

而當入射波垂直于彈丸底部、入射的電場與槽的方向平行時，彈丸底部的總RCS 等于沒有槽的底面RCS，即

2.2 刻槽彈丸的轉速計算

假設刻槽彈丸的旋轉頻率為fr，當炮彈旋轉一周，通過2.1 節彈底的RCS 變化分析可知，槽線2次與入射電場方向平行或者垂直，周期為π，因此而引起的RCS 變化規律(或者說是回波信號強度的變化規律)可以定義為對無刻槽彈丸多普勒頻率的余弦調制，調制信號可表示為

雷達發射信號是單頻連續波，對于未刻槽的彈丸，接收信號經過下變頻得到的中頻信號可以表示為

式中:A(t)為信號幅度隨時間的變化關系;n(t)為白噪聲。

彈丸底部刻槽之后，加上對多普勒頻率的調制信號，則接收到的中頻信號為

由于調制信號非常弱，故B(t)遠小于A(t).帶入B(t)并將(24)式展開可以得到:

得到fd、fd1=fd+2fr和fd2=fd-2fr三個頻率，從而彈丸轉速可以表示為:

因此，經過上述分析可知，精確測量彈丸轉速可以轉化成精確測量估計回波信號中的頻譜值。

3 仿真計算

假設一個連續波信號由3 個不同頻率成分和白噪聲組成，表示為

式中:令f1、f2、f3分別等于90，100，110 Hz;n(t)表示幅度均值為0，方差為1 的高斯白噪聲。然后在+20 dB 信噪比的情況下，利用經典FFT 算法對該信號進行頻譜估計，結果如圖2所示。然后再按照ESPRIT 法的步驟估計信號頻譜，結果如圖3所示。

圖2 20 dB 信噪比下的FFT 頻譜估計Fig.2 FFT spectrum estimation under SNR=20 dB

表1計算比較了2 種估計方法的誤差精度，結果表明，ESPRIT 法具有比FFT 法更高的估計精度，能夠更精確的測量出炮彈的旋轉速度。

超分辨譜估計的估計精度(分辨率)和信噪比成正比關系，由ESPRIT 法統計特性可知，較大信噪比情況下，單頻信號頻率估計均方誤差

式中:σ2n為噪聲方差;P 為信號功率。當取L=2N/3 時得到最小均方誤差27σ2n/(4N3P)，接近Cramer-Rao下界6σ2n/(N3P)［6］.圖4為在不同信噪比下2種算法的估計均方誤差比較。可以看出，ESPRIT 法明顯比FFT 算法具有更精確的頻譜估計能力，而且隨著信噪比的提高，ESPRIT 法的估計誤差會愈小。而FFT 算法的頻譜估計誤差與信噪比沒有直接聯系，它只能依靠加大運算量、增加FFT 的運算長度來減少估計誤差。

圖3 20 dB 信噪比下的ESPRIT 頻譜估計Fig.3 ESPRIT spectrum estimation under SNR=20 dB

表1 ESPRIT 法與FFT 法估法比較Tab.1 Comparison between ESPRIT and FFT

圖4 不同信噪比估計頻譜與實際頻譜的均方誤差Fig.4 Error between estimated and real spectrums under different SNRs

4 實測結果

利用某型號C 波段俯仰自跟蹤連續波測速雷達雷達，如圖5所示。測量彈丸相對于雷達天線的徑向飛行速度和轉速。實驗彈丸為底部刻有7 道深為12.1 mm 槽的某型號榴彈。

圖5 某型號C 波段速度測量雷達Fig.5 A C-band velocity-measurement radar

圖6對不同時刻的回波信號的頻譜歸一化，并在同一個速度—時間軸上顯示出其頻譜瀑布圖。

圖6 回波信號的瀑布圖顯示Fig.6 Waterfall graph of echo signal

可以得到3 條多普勒曲線，中間的曲線幅值較大，為彈丸徑向速度的多普勒fd，兩邊的曲線則是由刻槽引起的調制信號。通過估計各時刻的信號頻譜值，提取出fd1、fd2，根據(26)式可以計算出彈丸的轉速。

5 結語

運用超分辨譜估計法測量彈丸轉速的方法是一種高精度測試方法。本文分析了旋轉不變法估計原理，給出了ESPRIT 方法的估計步驟，該方法能高精度估計回波多普勒信號頻譜，并通過底部刻槽對彈丸RCS 的影響推導出了轉速計算公式。仿真結果表明，不同信噪比情況下，ESPRIT 法估計精度及分辨率明顯優于經典FFT 法，而且其精度隨著信噪比的提高而增加，這種現象是FFT 所不具備的。值得一提的是，提高回波信噪比一直是雷達工作者們改善系統性能的一個重要思路，所以ESPRIT 頻譜估計法的這一性質也使得信噪比提高的同時，其頻譜估計精度也相應提高。該高精度測量彈丸轉速的方法具有廣闊的應用前景。

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