一類離散H信號的時域構造方法及其特性分析

石 榮,胡來招

(電子信息控制重點實驗室,成都 610036)

1 引 言

H信號由文獻[1]首次公開提出,該信號是類似于噪聲的信號,其良好的特性使得其在許多領域具有較好的應用前景。利用H信號來攜帶信息可以實現數據的隱蔽傳輸,利用H信號探測目標可以具備良好的低截獲概率特性。由H信號的定義可知,H信號既包括連續型,也包括離散型,由于工程實踐中數字信號處理手段的普及,經過數字化采樣后的離散H信號使用更加廣泛,所以本文也以離散H信號為研究對象。離散H信號的構造通常是按照其在頻率域中的定義,通過信號頻域相位隨機化后,進行傅里葉逆變換來得到時域中的離散H信號。按照這種方法構造出的信號通常是時域中的多值化信號,一方面增加了其在某些應用領域中時域硬件處理的復雜性,另一方面在信號發射過程中會出現嚴重的峰均比問題,發射機的工作點必須回退以保證信號的放大處于發射機的線性區。本文以m序列為基礎,利用其互相關函數的單峰性,直接從時域進行離散H信號的合成,按照這種方法構造出的離散H信號在時域只取兩個值,這類離散H信號的時域硬件處理復雜度可以得到很大的簡化,而且信號發射過程的峰均比問題也得到基本解決,同時對此類離散H信號的相關特性從理論上給予了證明。本文的分析也從另一個角度展現了H信號、m序列等隨機信號之間的緊密聯系,這對于進一步開展H信號的理論研究,理解H信號的本質內涵和工程應用具有重要的參考意義。

2 離散H信號及其頻域構造

根據文獻[1],信號的自相關只有一個位置在零的峰,其傅里葉變換的幅度是一個常數,而信號頻譜的相位是隨機均勻分布的,其特征非常接近于一個白噪聲,這樣的信號就稱為H信號。由此可知,H信號是一個在統計意義上定義的信號種類,一個具體信號實現可以看成是H信號中的一個信號樣本。離散H信號具有如下特性:

(1)對一個H信號樣本進行傅里葉變換,其頻譜幅度是一個常數,頻譜的相位在360°范圍內均勻分布;

(2)如果對該信號樣本進行周期性擴展,其自相關函數在一個周期內只有一個非零點,相關沒有任何柵瓣;

(3)兩個獨立的H信號之間的互相關函數與信號本身具有近似的規律,即互相關函數的頻譜是平坦的,在時間上是一個平穩隨機量,沒有高聳的峰值。

根據上述信號特性,在同時使用多個H信號時,它們彼此之間可以認為是一定意義上接近正交的,基本沒有相互干擾。根據H信號的定義來合成H信號是最直接的信號構造方法,該方法以頻域為基礎,所以又稱為H信號的頻域構造法。

首先確定信號長度L,然后根據同余法生成在0～360范圍內均勻分布的L個隨機數作為頻域相位值,遞推公式如下:

式中,a、b為遞推參數,這樣只要確定了隨機相位起始值 θ1,便可以通過上式得到0°～360°范圍內均勻分布的相位序列,在此基礎上可得到H信號的頻域表達式Hf如下:

式中,ξ是幅度調節參數,對Hf進行傅里葉逆變換,將最終得到H信號的時域表達式為

顯然,一般情況下,Ht是一個長度為L的復數值時間序列。如果要得到實數值的H信號,需要對 Hf附加一個限制條件使得θi=360-θL+1-i,即頻域序列具有共額對稱特性,這樣經過傅里葉逆變換之后的Ht便是一個長度為L的實數值時間序列。

3 利用m序列構造時域離散H信號

H信號是一大類信號,通常情況下按照其定義從頻域構造后經傅里葉逆變換得到。但是H信號中有一個特殊子類,這類信號可以從時域來直接構造,其構造的基礎是利用m序列來生成。m序列是最長線性反饋移位寄存器序列的簡稱,帶線性反饋邏輯的寄存器設定初始狀態后,在時鐘的觸發下通過移位與模2加反饋邏輯,將生成一個周期性的0/1序列,序列的周期與線性反饋寄存器的特征多項式密切相關,一個產生m序列的 n級移位寄存器,其特征多項式一定是n次的本原多項式F(x),即滿足如下條件:F(x)是既約的,即不能再分解因式;F(x)可整除xm+1,其中m=2n-1;F(x)不能整除 xq+1,其中q

利用m序列來直接構造H信號的步驟如下:

(1)確定信號的長度L,且滿足L=2n-1;

(2)利用次數為n的本原多項式,得到長度為L的m序列Sm,Sm是一個0/1序列;

(3)對序列Sm進行如下線性運算,即可得到長度為L的H信號HL,t:

式中,d是幅度調節參數,其中的每一離散信號樣點值

由此構造的離散H信號只取一正一負兩個值,而這兩個值的絕對值隨著信號長度的增加差別越來越小,這樣在信號發射過程中發射機基本上可以處于滿功率工作狀態,不會因為信號幅度的多值性而將工作點大幅度回退,所以基本上解決了信號的峰均比問題。

下面以一個實例來進行說明。取要構造的H信號序列長度為1023,因1023=210-1,所以選取次數為10的本原多項式x10+x3+1來生成m序列,然后按照式(3)即可得到長度為1023的H信號H1023,t,該信號的時域波形、周期自相關函數、頻域幅值、頻域相位分別如圖1～4所示。

圖1 H1023,t信號的時域波形圖Fig.1 Waveform of H1023,tin time domain

圖2 H1023,t信號的周期性自相關圖Fig.2 Periodic self-correlation of H1023,t

圖3 H1023,t信號的頻域幅值圖Fig.3 Amplitude of H1023,tin frequency domain

圖4 H1023,t信號的頻域相位圖Fig.4 Phase of H1023,tin frequency domain

4 該類離散H信號的主要特性

按照上述方法構造出的時域信號序列HL,t具有如下的主要特征:

(1)性質1:信號序列HL,t的周期性自相關函數rxx(k)具有沖激信號特征,只有一個位置在零的峰,且滿足:

將式(3)代入上式化簡,立即可得 rxx(0)=d2·2n。當 k≠0時,

其中 i′=(k+i)mod(2n-1),將式(3)代入上式化簡可得:

實際上,Ssum1表示m序列Sm映射為+1/-1序列后的非零自相關函數,根據m序列的性質Ssum1=-1,由于一個m序列Sm循環移位后仍然為m序列,且一個長度為2n-1的m序列自身求和為,這樣

于是,根據上述結果可得:

(2)性質2:信號序列HL,t是一個時域二值信號,即在時域上只取一正一負兩個值,且正值的數目比負值的數目多1。

證明:根據式(3),信號序列HL,t是由m序列Sm線性變換后生成,其中的m序列Sm只取0和1兩個值,經過線性變換仍然取兩個值,其中m序列中的0變換為H信號序列中的負值序列中的1變換為H信號序列中的正值。根據m序列的性質即序列中1的數目比0的數目恰好多1個,所以對應的H信號序列中,正值的數目比負值的數目多1。

(3)性質3:信號序列HL,t具有類似于m序列的信號游程特性。

劉佳爸爸要送我回家，我死活不肯，我說我離家出走了。我像一只八爪魚那樣抓著劉佳不放，最后他帶我回了家，我在他家浴室里洗頭洗澡，出來時，我的頭發終于有了和他一樣的味道。

證明:根據式(3),信號序列 HL,t是由m序列 Sm線性變換后生成,m序列信號游程特性同樣也對應映射到H信號序列中,H信號中的游程以正數游程與負數游程來進行劃分,即:信號長度為2n-1的信號序列中,總共有2n—1個游程,其中長度等于l的游程占游程總數的,此外,還有一個長度為n的正數游程,一個長度為n-1的負數游程。

(4)性質 4:信號序列HL,t的傅里葉變換,其頻譜幅度是一個常數,頻譜的相位均勻分布。

證明:信號序列HL,t的傅里葉變換為

根據離散傅里葉的性質[5]可得:

將性質1的結果代入上式可得:

(5)性質5:信號序列HL,t的周期性移位時間序列仍然是一個H信號時間序列。

證明:根據式(3),信號序列 HL,t是由m序列 Sm線性變換后生成,m序列周期性移位后仍然為m序列,所以對應映射到H信號序列中,HL,t的周期性移位時間序列仍然是一個H信號時間序列。

5 結束語

本文以m序列為基礎,從時域直接構造了一類特殊的離散H信號,給出了該類信號的構造原理與方法,并從理論上證明了該類信號所具有的五大特性。一方面展現了H信號與m序列信號相互之間的聯系,提供了此類H信號分析的理論基礎。另一方面,這一類具有時域二值化取值特征的離散H信號,也給實際數字化硬件平臺的信號處理類應用提供了更加簡潔的處理手段,這對于H信號的更加廣泛的工程實際應用具有重要的參考意義。

[1]胡來招.信號與信息[M].北京:電子工業出版社,2010.HU Lai-zhao.Signal and Information[M].Beijing:Publishing House of Electronics Industry,2010.(in Chinese)

[2]Hans-Jǜrgen Zepernick,Adolf Filger.Pseudo Random Signal Processing Theory and Application[M].Beijing:Publishing House of Electronics Industry,2007.

[3]John G Proakis.Digital Communications[M].5th ed.Beijing:Publishing House of Electronics Industry,2009.

[4]Paul Garrett.The Mathematics of Coding Theory[M].Beijing:China Machine Press,2005.

[5]Sanjit K Mitra.Digital Signal Processing:A Computer-Based Approach[M].2nd ed.Beijing:Tsinghua University Press,2001.