大跨屋蓋風壓場的本征正交分解與重構適應性研究＊

李壽科，李壽英，陳政清，黃 韜

（湖南大學風工程試驗研究中心，湖南長沙 410082）

大跨屋蓋風壓場的本征正交分解與重構適應性研究＊

李壽科，李壽英?，陳政清，黃 韜

（湖南大學風工程試驗研究中心，湖南長沙 410082）

對3類典型屋蓋（封閉式方形平屋蓋、封閉式曲面屋蓋和開合式曲面屋蓋）進行了剛性模型風洞測壓試驗，分析了典型風向角下的平均及脈動風壓系數分布.利用POD方法對3類屋蓋的風壓場進行了分解，并對平屋蓋風壓場進行了POD重建.結果表明：斜風向封閉式平屋蓋的POD分解性能最優，開合式曲面屋蓋次之，封閉式曲面屋蓋最差.3類屋蓋的第1階POD特征向量均反映平均風壓系數分布，45°風向角下封閉式平屋蓋的第2階POD模態可以較好地反映錐形渦分量，而其他類型屋蓋的高階特征向量則反映風壓場的局部分布.風壓場的POD重建具有不平衡的性能，對于相同測點，模態數越多，其重建效果越好.對于不同測點相同模態數，測點脈動風壓系數越大，其風壓重建效果越好.

風洞；封閉式平屋蓋；封閉式曲面屋蓋；開合式曲面屋蓋；本征正交分解

大跨空間屋蓋由于其形狀各異，周圍流場的分離、再附以及漩渦脫落等諸多因素導致其表面風壓分布非常復雜，一般情況下，其風荷載采用風洞試驗來確定.風洞試驗受到同步測壓通道數的限制，因此，研究者將本征正交分解（Proper Orthogonal Decomposition，POD）方法引入風工程領域，用來描述結構表面的風壓場.POD方法是一種基于相關矩陣或協方差矩陣的特征值問題分析的隨機場表示方法，是一種時空分離的分析方法，可把風壓場分解為與時間相關的主坐標和與空間相關的特征向量組合.國外學者首先進行了這方面的研究工作，Bienkiewicz等［1］采用POD方法對一低矮建筑邊角區域的面平均壓力、整個屋面以及立墻測點風壓進行了風壓場重建研究，并討論了前幾階本征模態的物理意義.Ho等［2］利用POD方法研究了雙坡屋面風壓場，并分析了POD方法簡化風壓場的精度.Jeong等［3］對TTU剛性模型風壓場進行了POD分解，并采用自回歸模型研究了其時間主坐標，從而進一步對風壓場進行簡化.Jeong等［4］對TTU模型的屋蓋風壓進行了均勻布點和非均勻布點的POD分解，提出了一種通過面積加權來實現非均勻布點POD分解的方法.POD方法還可用于風壓預測，李方慧等［5］等采用POD方法對雙坡屋面未布置測點處的風壓進行預測，結果表明風壓預測可以提高風壓場的分辨率.李元齊等［6］研究了POD方法在曲面模型風壓場重建中的應用，比較了球面和柱面模型風壓場的POD重建特點.

以往的研究主要集中于一些特殊形式的屋蓋，如平屋蓋，球面屋蓋和柱面屋蓋等，而對工程實際中屋蓋卻鮮有研究.為使POD方法能用于工程實際，本文選取實際工程中的封閉式方形平屋蓋、封閉式曲面屋蓋和開合式曲面屋蓋進行剛性模型測壓風洞試驗，采用POD方法對上述3種類型屋蓋的風壓場進行POD分解，通過對特征值和特征向量的比較分析，研究POD方法對上述3種屋蓋的適應性問題.另外，以往對于POD重建性能的研究也較少，本文基于POD方法對封閉式方形平屋蓋風壓場進行重建，研究風壓場POD方法重建性能.

1 基本理論

風壓場POD分解的目的在于找到一組基函數Φ＝［Φ1，Φ2，…，ΦN］，使N個測點構成的風壓系數場Cp（t）＝｛Cp1（t），Cp2（t），…，CpN（t）｝在基函數上的投影為最大，此時基函數與風壓系數場最相關.POD分解提供了一種可僅使用較少的本征模態描述復雜的隨機過程的途徑，基函數Φj需滿足［4，7］：

式中：RP為N個測點風壓系數時程的協方差矩陣；λj為第j階特征值；Φj為第j階模態向量；N為測點總數；W為N個測點所屬面積的對角矩陣，W＝diag（W1，W2，…，WN）.若各測點代表面積相等，即W1＝W2＝…＝WN＝ΔA，則式（1）可寫為：

式（10）表明所有特征模態對特征值進行加權求和為風壓場的均方能量，故每一階模態所占能量百分比可用特征值比來表示.

風壓系數場的能量可能集中在少數的前NR階本征模態，NR＜N，因而可以用時間主坐標和本征向量表示壓縮的風壓系數場.風壓系數場時程可采用前NR階本征模態近似表示為：

2 工程背景

選取3種不同形式的屋蓋結構進行剛性模型同步測壓風洞試驗.

第1種為封閉式方形平屋蓋.其建筑尺寸為長100 m×寬100 m×高30 m，模型縮尺比1∶200，試驗模型照片如圖1（a）所示，測點布置在上表面，成10行10列排列，共100個測點，如圖2（a）所示.第2種為封閉式曲面屋蓋，該屋蓋為具有橢圓形平面投影的屋蓋結構，長軸135 m、短軸116 m，屋蓋最高點標高為49 m，模型縮尺比1∶200，試驗模型照片如圖1（b）所示，測點布置在屋蓋上表面，共165個，如圖2（b）所示.第3種為開合式曲面屋蓋，該屋蓋包括固定屋蓋和活動屋蓋2部分，固定屋蓋平面投影為橢圓形，長軸270 m、短軸220 m，屋蓋最高點標高為60 m，活動屋蓋位于主屋蓋的中心處，長106 m、寬80 m，活動屋蓋可以開啟和關閉，模型縮尺比為1∶300，試驗模型照片如圖1（c）所示，采用雙面測點，屋蓋上、下表面測點一一對應，共408個，如圖2（c）所示.

試驗在湖南大學HD-2邊界層風洞中進行，風場類型為B類，轉盤中心處的平均風速剖面、湍流度剖面及順風向風功率譜詳見文獻［8］.采樣時間20 s，采樣頻率330 Hz.風向角間隔15°，共24個風向角，各模型的風向角定義見圖2.限于篇幅，主要對上述3個模型典型的風向角進行研究.其中，方形平屋蓋為0°和45°風向角；封閉式曲面屋蓋為0°風向角，開合式曲面屋蓋為活動屋蓋開啟工況下的180°風向角.

圖1 試驗模型在風洞中的照片Fig.1 Typical view of model test in BLWT

3 試驗結果

平均風壓系數Cˉp和脈動風壓系數Cp＇定義為：

式中：ˉp和σp分別為各測點所測得風壓時程的平均值和根方差值；qH為3個模型各自屋蓋頂部參考高度處的總壓，對每個模型，參考高度取為屋蓋最高點處.

圖2 剛性模型風洞試驗測點布置圖Fig.2 Pressure port locations

圖3 平屋蓋模型平均及脈動風壓系數等值線（0°和45°風向角）Fig.3 Mean and fluctuating wind pressure coefficients distribution for flat roof（wind angle of 0°and 45°）

圖3為封閉式方形平屋蓋在0°和45°風向角的平均及脈動風壓系數等值線圖.由圖3可知，平屋蓋表面風壓以負壓為主，分布對稱性較好，其0°風向角時屋蓋迎風前緣氣流分離明顯，平均風壓系數最大達到－0.9，脈動風壓系數最大達到0.24；斜風向45°時氣流分離形成明顯的錐形渦，從而使迎風角點處的平均風壓系數最大達到－1.6，且脈動風壓系數達到0.35.圖4為封閉式曲面屋蓋在0°風向角下的平均及脈動風壓系數等值線圖.由圖4可知，屋蓋表面以負壓分布為主，氣流在迎風前緣和屋蓋突起的兩端分離較為明顯.圖5為開合式曲面屋蓋在活動屋蓋開啟時180°風向角下的固定屋蓋凈平均及脈動風壓系數等值線圖.由圖5可知，屋蓋凈平均風壓系數在0.3～－0.3內變化，迎風前緣來流分離沿著屋蓋邊緣形成小區域帶狀的負壓分布；而大部分的迎風區域為正壓分布（0～0.3）；屋蓋的背風面呈負壓分布；固定屋蓋凈脈動風壓系數在0.04～0.24內變化，最大值0.24出現屋頂開口的下風側，此處來流分離最為強烈.比較圖3，圖4和圖5可以明顯看出，開合屋蓋由于屋頂開啟其平均風壓系數（絕對值）要明顯小于封閉式屋蓋，但其脈動風壓系數則略有增加.

圖4 封閉式曲面屋蓋的平均及脈動風壓系數等值線（0°風向角）Fig.4 Mean and fluctuating wind pressure coefficients distribution for closed curved roof（wind angle of 0°）

圖5 開合式曲面屋蓋凈平均及脈動風壓系數等值線（180°風向角）Fig.5 Mean and fluctuating wind pressure coefficients distribution for retractable roof（wind angle of 180°）

4 POD分解

4.1 特征值

表1給出了0°和45°風向角下的封閉式方形平屋蓋風壓系數場的POD分解特征值.不同風向角下風壓系數場的氣流分離機制不同，致使其風壓系數場POD分解后的特征值不相同，各階模態的特征值在整個風壓系數場中所占能量百分比亦不同.從表1中可以看出，由一對錐形渦控制的45°風向角的1階模態所占的能量累計為21.74%，而0°風向角的1階模態所占的能量累計為18.84%.如需POD分解能量累計到90%以上，對于0°風向角，前54階模態的能量累積達到90%，而對于45°風向角，僅需35階模態的能量累積即可達到90%.因此，對于方形平屋蓋，特征湍流錐形渦45°風向角的POD分解性能要明顯優于0°風向角.

表2給出了封閉式曲面屋蓋（0°風向角）和開合式曲面屋蓋（180°風向角）在典型風向角下風壓系數場POD分解的特征值.由表2可知，封閉式曲面屋蓋前71階模態的能量累積達到90%，占總模態數的43%；而開合式曲面屋蓋前78階模態的能量累積達到90%，占總模態數的38%.由表2可以看出，對于同屬曲面屋蓋形式的封閉式曲面屋蓋和開合式屋蓋，雖然封閉式曲面屋蓋風壓系數場的低階模態（1～4階）含有更多能量，但高階時能量離散程度較大，故采用POD方法對風壓數據進行壓縮時，開合式曲面屋蓋數據壓縮性能要優于封閉式曲面屋蓋.

表1 封閉式方形平屋蓋風壓系數場POD分解的特征值及其能量累積百分比Tab.1 Contribution proportion of each mode from POD for closed flat roof

表2 封閉式曲面屋蓋和開合式曲面屋蓋POD分解的特征值能量累積百分比Tab.2 Contribution proportion of each mode from POD for closed curved roof and retractable roof

對比表1和表2可知，封閉式方形平屋蓋的POD分解性能最優，其次為開合式曲面屋蓋，封閉式曲面屋蓋的POD分解性能最差.

4.2 特征向量

圖6給出了0°和45°風向角下封閉式方形平屋蓋風壓系數場POD分解的前4階特征向量的等高線圖.比較圖6（a）與圖3（a）可知，POD分解的第1階模態與表面平均風壓系數具有相似的分布特征，隨著模態階數的增加，特征向量與風壓系數總體分布的相似性越差，高階模態則僅反映風場系數場的局部特征，這與文獻［6］的結論相同.45°風向角下（圖6（b）），屋蓋風壓由一對錐形渦控制，第1階特征向量反映平均風壓系數分布，特征向量最大值0.04出現在屋面邊緣，位置與平均風壓系數最大值出現位置相同.第2階特征向量表現出明顯錐形渦特征，左右兩個錐形渦正負壓交替出現，且能量較高，這與文獻［9－10］結果一致.文獻［11］則利用這一特點來識別錐形渦.

圖7給出0°風向角下封閉式曲面屋蓋風壓系數場POD分解的前3階特征向量的等值線圖.從圖7可以看出，第1階特征向量與屋蓋平均風壓系數分布較為相似，主要反映平均風壓分布，此結論與文獻［12］結論一致，其來由可由準定常理論解釋，根據準定常理論，隨時間變化的風壓系數分布可表示為：

式中：u（t），v（t），w（t）分別為在x，y，z3個方向的風速脈動；U為平均風速.

而第2階和第3階特征向量則與平均風壓系數分布相差較遠，反映的是平均風壓系數與其位置的偏導關系，其物理解釋為來流的氣流分離渦的形成所致［12］，反映風壓的局部分布特征.

圖8為180°風向角下開合式曲面屋蓋表面凈風壓系數場POD分解的前3階特征向量等值線圖.由圖8可以看出，由于前3階模態占總風壓系數場能量的比重較大，其表面第1階特征向量等值線圖基本反映了表面平均風壓系數分布的整體趨勢，第2階和第3階特征向量反映局部風壓分布.

比較圖6，圖7和圖8可知，3種屋蓋的第1階特征向量均可以較好地反映平均風壓系數的分布特征，其高階分布具有較明顯的差別，POD分解性能最優的45°風向角的方形平屋蓋的2階分量可以明顯反映其特征湍流錐形渦分量，而開合式曲面屋蓋和封閉式曲面屋蓋的高階則反映的是風壓系數的局部特征.

圖6 封閉式方形平屋蓋風壓系數場POD分解的前4階特征向量等值線圖Fig.6 First four POD modes of the measured wind pressure field for closed flat roof

圖7 封閉式曲面屋蓋風壓場前3階POD特征向量分布（0°風向角）Fig.7 First three POD modes of the measured wind pressure field for closed curved roof（0°）

圖8 開合式曲面屋蓋前3階POD特征向量分布（180°風向角、開合屋蓋開啟）Fig.8 First three POD modes of the measured wind pressure field for retractable roof（180°）

5 平屋蓋風壓場重建

利用POD分解可對風壓場數據進行分解壓縮，原有的風壓場數據可通過少數階的特征向量和時間主坐標進行重建.為研究風壓場重建效果，選取封閉式方形平屋蓋0°風向角下的3個典型測點（6，46和76號測點）來進行分析.其中，6號測點位于氣流分離區，平均風壓系數和脈動風壓系數分別為－0.82和0.22；46號測點位于氣流再附區域，平均和脈動風壓系數分別為0.06和0.04；76號測點位于尾流區，平均和脈動風壓系數分別為－0.2和0.09.

圖9給出了0°風向角下封閉方形平屋蓋典型測點的POD重建風壓系數時程與目標時程的比較，為了便于比較，圖9橫坐標采用風洞試驗時間.從圖9可以看出：1）對于相同測點，考慮的模態階數越多，重建效果越好；2）對于不同測點，采用相同模態階數進行風壓系數重建的精度差異較大，氣流分離區處的6號測點精度最優，其次為尾流區的76號測點，再附區的46點效果最差.6號測點重建效果最優，主要原因是因為氣流分離區脈動風壓系數最大，而POD方法重建脈動風壓場具有不平衡性，其重建效果向脈動風壓系數大的測壓點傾斜.對于76號測點，再附區的正風壓是一個局部的突變（見圖3（a）），需要高階模態才能反映其特征，采用低階模態進行重建則效果不佳.

圖10給出了0°風向角下封閉方形平屋蓋典型測點（6號，46號和76號測點）的POD重建風壓譜與目標譜的比較.從圖10可以看出：1）對于相同測點，考慮的模態階數越多，風壓譜重建效果越好；2）對于不同測點，氣流分離區測點6重建效果最佳，46號測點次之，76號測點效果最差.

圖9 封閉方形平屋蓋典型測點POD重建效果比較（0°風向角）Fig.9 Comparison of the reconstructed wind pressure coefficients time history with measured results（0°）

圖10 平屋蓋典型測點POD重建功率譜比較Fig.10 Comparison of the reconstructed wind pressure coefficients spectra density with measured results

6 結 論

基于封閉方形平屋蓋、封閉曲面屋蓋和開合式曲面屋蓋剛性模型同步測壓風洞試驗，研究了POD方法對于上述3種類型屋蓋的適用性，并對封閉方形平屋蓋的風壓場數據進行重建，結果表明：

1）開合屋蓋屋頂開啟時其平均風壓系數要明顯小于封閉式平屋蓋和曲面屋蓋，但脈動風壓有所增加；

2）由3類屋蓋POD分解的特征值可以看出，斜風向封閉平屋蓋的POD分解性能最優，其次為可開合式曲面屋蓋，封閉式曲面屋蓋最差；

3）由3類屋蓋POD分解的特征向量分布可以看出，3種屋蓋的第1階POD特征向量均反映平均風壓系數分布，對于45°風向角方形平屋蓋的第2階POD模態可以較好地反映其特征湍流錐形渦分量，而其他類型屋蓋的高階特征向量反映的則為風壓場的局部分布；

4）由大跨平屋蓋風壓場的重建時程和重建功率譜比較可以得到POD重建具有較明顯的不平衡性能，對于相同測點，模態數越多，其重建效果越好；而對于不同測點，測點脈動風壓系數越大，其風壓重建效果越好，而采用少數階模態重建高脈動風壓系數測點亦有較好的效果.

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Proper Orthogonal Decomposition and Reconstruction of Wind Field for Large-span Roofs

LI Shou-ke，LI Shou-ying?，CHEN Zheng－qing，HUANG Tao
（Wind Engineering Research Center，Hunan Univ，Changsha，Hunan 410082，China）

Wind tunnel tests were carried out to measure the wind pressure on the closed flat roof，closed curved roof and retractable roof.The characteristics of mean and fluctuating wind pressure coefficients were particularly studied.The wind pressure fields of the roofs were decomposed in the proper orthogonal decomposition method，and the wind pressure field of flat roof was reconstructed.It has been shown that the performance of POD of oblique wind flat roof behaves best among all the three roofs，retractable roof is second，and closed curved roof is the worst；The overall distribution of mean wind pressure is reflected by the first dominant eigenvectors of POD.The POD reconstruction performance varies a lot among individual taps.The same taps have better performances for more eigenvectors.Different taps have better performances for higher variance taps.

wind tunnels；closed flat roof；closed curved roof；retractable roof；Proper Orthogonal Decomposition（POD）

TU311.3

A

1674-2974（2011）06-0020-07＊

2010-09-09

國家自然科學基金資助項目（50708035）

李壽科（1981－），男，江西萍鄉人，湖南大學博士研究生

?通訊聯系人，E-mail：shyli＠hnu.cn