機械結構可靠性計算方法

李四超，張代國，張強

（海軍駐鄭州地區軍事代表室，河南鄭州 450015）

0 引言

根據我國目前的實際情況，機械產品的可靠性工作必須從定性的設計、分析入手，發現薄弱環節，從而改進設計，使定性分析起到影響設計、提高可靠性的作用;與此同時，還要通過積極的研究來逐步積累數據，以實現機械產品的定量設計和評估，從而驗證可靠性是否達到了規定的指標要求。本文研究重點是機械產品的結構可靠性的定量分析方法。在研究過程中，首先對機械結構（以下簡稱結構）可靠性一般的定量分析方法進行了深入探討，在此基礎上，提出一種結構可靠性計算的改進方法，可求解出一般結構在確定置信度下的可靠性置信區間。

1 機械結構可靠性計算的一般方法

1.1 結構可靠性計算的基本假設［1］

為了進行有效的結構可靠性計算，做出如下基本假設;

1）結構強度為一非負的隨機變量或隨機過程，用R或R（t）表示;

2）應力為一非負的隨機變量或隨機過程，用S或S（t）表示;

3）當應力不超過結構強度時，結構被認為是可靠的，否則被認為是結構失效;

4）結構失效僅由于應力作用而發生;

5）計算應力和強度的一切力學公式仍然適用，但公式中的確定量均視為相互獨立的隨機變量或隨機過程。

1.2 應力－強度干涉模型的建立

結構可靠性計算的理論基礎是應力－強度干涉模型。在該模型中，應力和強度均是概率意義上的量，設計時不能予以精確地確定，需要通過隨機變量的有關綜合運算確定應力和強度的均值μ和標準差σ。隨機變量的計算目前主要有代數運算、泰勒級數近似求解和蒙特卡洛模擬3種方法。

通過采用合適的隨機變量計算方法，可以得出應力和強度2個隨機變量的分布。設應力S的概率密度函數為fs（S），強度T的概率密度函數為fR（T），則結構可靠度的表達式為［2］:

圖1為應力S和強度T的概率密度函數曲線。圖中2條曲線的重迭部分稱為干涉區，它是結構可能出現失效的區域。干涉區的面積愈小，結構的可靠度就愈高;反之，可靠度就愈低。根據干涉區進行結構可靠性計算的理論稱為應力－干涉理論，這種模型稱為干涉模型。從干涉模型可以看出，欲確定結構的可靠度R，

圖1 強度－應力干涉示意圖Fig.1Stress-strength interferogram

必須研究應力和強度2個隨機變量中一個超過另一個的概率，即:

式（2）是在應力和強度相互獨立的假設下得出的。一般情況下，應力和強度為獨立隨機變量的假設是正確的，這與工程實際相符。但有時就不能把應力和強度考慮為獨立的隨機變量，譬如需要考慮結構本身重量或由重量引起的自重應力時，就須考慮它們的相關問題。此時，設應力和強度的聯合密度函數為fS，T（S，T），則可得結構可靠度普遍的表達式:

1.3 強度和應力的確定方法

1）材料強度的獲取方法

在采用應力－強度干涉模型對結構可靠性進行分析時，關鍵是需要知道材料強度和結構承受應力的分布及特征參數，只有在得出應力和強度的分布參數后，才可根據式（3）對結構的可靠性進行分析計算。

經過長期研究，人們認識到材料的強度服從正態分布，并得出了部分材料拉伸強度極限和屈服極限的均值和標準差的數據，同時給出了材料變異系數的數值。大量統計表明:金屬材料強度的變異系數一般小于0.10，最大不超過0.15，當變異系數小于0.3時，認為材料的強度取正態分布是可以接受的。

變異系數按下式定義［3］:

一般材料特性的變異系數可參考表1。

在一般機械設計手冊中沒有給出強度（或屈服）極限的均值和標準差，而只給出了材料強度的單一值，此時可認為該單一值即為材料強度的平均值μr。若變異系數Cr為0.10，則強度的標準差為:

2）應力的確定方法

應力的均值可按傳統的材料力學方法進行確定，即根據結構承受的載荷，尺寸等變量按一定的數學模型進行求解。采用該方法時，應力均值的求解較為簡單，但應力標準差的確定卻很復雜，此時可采用蒙特卡洛方法［4－5］進行計算。

在確定了強度和應力后，即可采用應力－強度干涉方法求出金屬結構件的可靠性。

1.4 典型應力和強度分布的計算模型

在多數情況下強度和應力服從正態分布，下面給出應力和強度為正態分布下的可靠度計算公式:

式中:μT和μS分別為強度和應力的均值;σT和σS分別為強度和應力的方差。

則可靠度為

一般情況下，結構強度的均值μT大于施加在結構上的應力的均值μS，即μT－μS＞0。在這種情況下，可靠度均大于0.5，而可靠度具體數值還和σT及σS有關，σT和σS越大，則可靠度越小，反之可靠度越大。

當μT－μS=0，可靠度等于0.5，其數值與σT和σS無關;當μT－μS＜0，可靠度小于0.5。

對于可靠度小于及等于0.5的結構，在設計過程中應絕對避免。若應力和強度不是相互獨立，則令:

2 應力－強度干涉模型的改進

2.1 傳統計算方法存在的不足

上節給出了采用應力－強度干涉模型進行結構強度分析的一般方法，但該方法在實際運用中存在一定的局限性［6］。

1）在大多數工程問題中，結構強度和應力的分布參數是未知的，需要抽取一定數量的樣本進行試驗，通過統計的方法獲取強度和應力的均值、方差等特性參數，然后再利用式（6）和式（7）對結構的可靠度進行計算，得到可靠度是在某一確定置信度下的一個置信區間;

2）在大多數場合下，應力是無法直接得到的，而是需要用一個非線性的表達式進行描述，此時可靠性因子β也相應地轉換成一個非線性的表達式，而不能用式（6）直接求得。

針對以上2點不足，需要尋求一種改進的結構可靠性計算方法，使之能更加普遍地適應于一般結構的可靠度計算。

2.2 改進計算模型的建立

定義式（1）中的Z=T－S為結構可靠性分析的狀態函數，即當Z＞0時，結構是可靠的。在一般情況下，狀態函數Z是多個隨機變量的函數，即Z= g（X1，X2，…，Xn），設X1，X2，…，Xn服從正態分布，但分布參數為未知的隨機變量。

將Z展開成泰勒級數，忽略高次項，可得:

式中，μi和σi分別為Xi的均值和方差。可得可靠度系數β的點估計值為［7］:

將式（13）在各隨機變量均值和方差的真值處展開成泰勒級數，仍僅取級數的線性項，忽略高次項，則有

式中，各隨機變量Xi的均值和方差需用樣本估計值進行近似計算。

設β^服從正態分布，對于給定的置信水平H，可靠度系數β的雙側置信區間為:

3 結語

本文對傳統的強度－應力干涉模型進行了探討，研究了作為隨機變量的應力和強度的確定方法，并針對傳統的計算方法存在的不足，提出了一種改進計算模型，通過試驗樣本數據估計應力和強度在一定置信度下的取值，采用泰勒級數展開求解非線性極限狀態的可靠性系數，采用改進的方法可求解結構在確定置信度下的可靠性置信區間。

［1］何水清，王善．結構可靠性分析與設計［M］．北京:國防工業出版社，1993．11－20．

［2］王善，何健．導彈結構可靠性［M］．哈爾濱:哈爾濱工程大學出版社，2002．10－12．

［3］都軍民，蔡民，戴宗妙．基于可靠性安全系數的結構設計方法研究［J］．艦船科學技術，2007，29（3）:134－136．

［4］李良巧．機械可靠性設計與分析［M］．北京:國防工業出版社，1998．67－72．

［5］徐長航，陳國明，謝靜．基于支持向量機和蒙特卡洛的結構可靠性分析方法及應用［J］．中國石油大學學報，2008，32（4）:103－107．

［6］都軍民，李云翔．一種正態分布結構可靠性的改進算法［J］．河南科學，2009，27（5）:566－570．

［7］馬逢時，何良材．應用概率統計［M］．北京:高等教育出版社，1989．35－42．