Alpha穩定分布隨機變量仿真及模型參數估計

康亞明，曹保衛

（1.榆林學院信息工程學院，陜西榆林719000；2.榆林學院圖書館，陜西榆林719000）

α穩定分布是滿足廣義中心極限定理的唯一一類分布。常規高斯分布的動因也是中心極限定理，可見α穩定分布在理論上的合理性與高斯分布是一樣的。α穩定分布能夠描述更加廣泛的數據，甚至可以描述很多不滿足中心極限定理的數據，因此具有更普遍的意義。α穩定分布能夠非常好的和數據相吻合。Stuck等人已經證明，電話線路中的噪聲可以有效地利用α穩定分布描述[1]。Nikias等人證明了α穩定分布是描述大氣噪聲的非常好的模型[2]。Ilow的研究表明穩定分布與無線網絡中的多徑干擾和雷達系統的反向散射回波相符合[3]。Mandelbrot利用α穩定分布對經濟時間序列建模工作也很成功[4]。

1 Alpha穩定分布序列分布

1.1 Alpha穩定分布的概念

α穩定分布是一類適用范圍很寬并得到廣泛應用的隨機信號模型，包括高斯分布（α=2）和分數低階α穩定分布（0＜α＜2）兩種情況。與大多數的統計模型不同，除了幾種已知的分布情況之外，α穩定分布沒有一個概率密度函數的閉式解。1978年Sutkc利用特征函數對α穩定分布作了最有效的描述[5]，α穩定分布的特征函數可以表示為：

其中

可見，通過4個參數:α，a，β，γ便可以完全確定一個穩定分布的特征函數。其中

1）α稱為特征指數，它是被唯一確定的。特征指數用來度量分布函數拖尾的厚度。一個穩定分布的隨機變量，其值越小，表明其拖尾越厚，則偏離其中心值（均值或中值）的樣本越多。其α值越大，則越趨向于高斯過程。α=2表示分布為高斯分布。α=l，β=0表示分布為柯西分布。

2）γ稱為分散系數，其意義與高斯分布中的方差類似，在高斯分布的情況下等于方差的一半。

3）β稱為對稱參數，β=0表示分布為對稱α穩定分布或稱SαS。

4）a稱為位置參數0，對于SαS分布，當1＜a≤2時，a為α穩定分布的均值。當0＜a＜1時，a表示其中值。

分數低階α穩定分布的顯著特征是它具有比高斯分布的指數（exponential）拖尾明顯厚的代數（algebraic）拖尾，α越小，拖尾越重。這個性質使得分數低階α穩定分布可以較為理想地描述某些沖激信號。

圖1給出了不同的特征指數α下的標準SαS分布的概率密度函數曲線。從圖中可以看出，α=2時的SαS概率密度函數曲線與零均值方差為2的高斯分布一致，α=1時與柯西分布一致。同時，SαS分布的概率密度函數保留了許多高斯分布的特征：光滑，單峰分布，關于中值或均值對稱的，鐘型。對比標準正態分布概率密度函數和SαS密度函數的細節可以看到，非高斯α穩定分布與高斯分布有以下不同:x的絕對值較小時，SαS密度函數比正態分布有更尖的峰，對于一些中間值，SαS分布低于正態分布。最重要的是，SαS分布的概率密度函數有著比高斯分布更厚重的拖尾，α的值越小，拖尾越厚重。

圖1 特征指數α取不同值時的SαS分布概率密度函數曲線Fig.1Probability density function curve of SαS distribution for different α

1.2 Alpha穩定分布的兩個重要特性

α穩定分布的兩個重要特性是穩定特性和符合廣義中心極限定理特性，Breiman于1968年提出α穩定分布的穩定特性和廣義中心極限定理特性[2]：

1）穩定特性一個隨機變量X具有穩定分布的充分必要條件為，存在隨機變量X1andX2相互獨立，且具有與X相同的參數，對任意常數α1，α2有常數a和b使等式α1X1+α2X=aX+b成立。Xd=Y表示隨機變量X和Y具有相同的分布。利用穩定分布的特征函數，可以得到更具一般性的結論：如果隨機變量X1，X2....，Xn是統計獨立的，且均為符合相同的（α，β）參數確定的穩定分布，則具有形如∑ajXj的所有線性組合都是穩定分布的，且具有相同的參數α和β。

2）廣義中心極限定理特性X1，X2，....，Xn為獨立同分布的隨機變量，當n→∞時，它們的極限和Sn=（X1，X2，....，Xn）/αn-bn的分布為穩定分布。特別地，如果Xi（i=1，2，...，n）是獨立同分布的且具有有限方差，那么此極限和的分布為高斯分布。即一般的中心極限定理。

因此，用α穩定分布作為基本的統計建模工具的理論依據如同高斯分布的情況相同，均源于中心極限定理。中心極限定理是指，具有有限方差的充分多的獨立同分布（IID）的隨機變量，它們和的分布近似為高斯分布。廣義中心極限定理指出，無限多的獨立同分布隨機分量，無論是否有有限的方差，它們的和將收斂于穩定分布。因此，非高斯穩定分布源于隨機變量的和，這和高斯分布是一樣的。如果觀測信號或噪聲可被看作很多獨立同分布分量疊加的結果，則由廣義的中心極限定理可知，用穩定分布模型建模是合適的。

2 α隨機變量的產生

在進行計算機仿真研究中，經常需要利用特定的算法，根據給定的要求來產生有關信號和噪聲。假定我們要產生階數為（0＜α≤2）的α穩定分布序列x（n）,滿足α=0和－1＜β＜1。若α=1，則定義

若α≠1，則定義

這樣滿足給定α值的分數低階α穩定分布的隨機變量X由下式給出

對上述過程進行循環，則可以得到一個滿足給定條件的分數低階α穩定分布序列x（n）。

3 數據產生結果

1）不同α值對峰值的影響對比如圖2所示。

2）不同β值對累積概率分布的影響如圖3所示。

圖2 概率累積分布（β=0）Fig.2Cumulative probability distribution（β=0）

?圖3不同β值對累積概率分布的影響Fig.3Effect to the cumulative probability distribution of differentβ

3）不同α值對累積概率分布曲線的拖尾的影響，如圖4所示。

圖4 概率密度曲線Fig.4Probability density curve

4 動態樣本方差檢測

上面的內容簡單介紹了α穩定分布的基本模型及性質，在實際的應用問題中，往往需要判斷給定序列是高斯分布（α=2）的，還是分數低階α穩定分布（α＜2）的，以便決定采取不同的信號處理方法。判斷序列高斯特性的常用方法是計算該序列的動態樣本方差[6]。若xk，k=1，2，...，N是一個隨機序列，對于1≤n≤N，其動態樣本方差定義為

其中

繪出S2n隨n變化的曲線，如果序列為高斯分布，則其具有有限的方差，對應的S2n曲線收斂為一個有限值。反之，若序列為非高斯的α穩定分布序列，則它沒有有限的方差，對應的S2n曲線不能穩定的收斂。由此可以粗略判斷給定序列是否為高斯分布的序列。這種方法稱為動態樣本方差檢驗。

圖5 α=1.5，β=0時的動態樣本方差Fig.5Dynamic sample variance of α=1.5，β=0

圖6 α=2.0，β=0時的動態樣本方差Fig.6Dynamic sample variance of α=2.0，β=0

由圖5與圖6對比可知，當α≠2.0時，方差不能趨向于一個恒定值，當α=2.0時α穩定分布的方差值趨向于一個均值，因為當α=2.0時α穩定分布就是一個正態分布。

5 α穩定分布參數估計

如果知道一個分布序列如何得知它們的具體參數，從而方便一個系統的仿真更能很好地描述實際情況，下面具體介紹如何得出一個已知序列的α，β的近似值。

由于對于不同β值的α分布，只要α給定，無論β值如何變化，它的累積概率分布函數的峰值不會變化；與此相同，如果β值一定，無論α如何變化，它的累積概率分布函數的偏度不會變化。基于上數特性，可以建立一個數據庫，從得知的已知分布序列的累積概率分布的峰值和偏度可以大致得知該分布近似于的α，β兩個參數。

通過已知標準的α穩定分布序列得知以下參數：

表1 偏度和峰值分布對照表Tab.1Compared table of skewness and peak

例如：已知一個分布序列的累積概率分布函數的參數為：偏度：－0.705 6峰值：109.100 5，查表1可知該分布的大致范圍為0.4＜β＜0.6，0.6＜α＜0.8，而事實上這是一個α=0.7，β=0.51的α穩定分布。

6 結束語

本文通過描述α分布的累積概率密度函數的圖像來分析α穩定分布的特性，結論基本符合要求。通過對α穩定方差的描述可以得出α穩定分布和正態分布的差異，得出正態分布是α穩定分布的一個特殊情況，所以α穩定分布更能描述信道中的噪音。最后做了未知序列的參數估計，本估計比較粗略，可以更近一步細化估計，但是考慮到工程要求，只做誤差為0.2的參數估計。

[1]Stuek W，Kleiner B.A statistieal analysis of telephone noise[J].Bell Syst Tech J，1974，53（7）:1263－1320.

[2]Nikias CL，Shao M.Signal proeessing with alpha-stable distributions and applieations[M].New York:Wiley，1995.

[3]Engin K E.Signal proeessing with fraetional lower order environments:aleast lp-norm approaeh（PHD thesis）[M].Signal Proeessing and Communieations Laboratory，Department of Engineering，University of Cambridge，1998.

[4]Mandelbort B.The variation of certain speeulative priees[J].Bussiness，1963（36）:394－419.

[5]邱天爽，張旭秀.統計信號處理－非高斯信號處理及應用[M].北京：電子工業出版社，2004.

[6]楊偉超，趙春暉,成寶芝.Alpha穩定分布噪聲下的通信信號識別[J].應用科學學報，2010，28（2）：111－114.YANG Wei-chao,ZHAO Chun-hui,CHENG Bao-zhi.Recognition of communicationsignalsinnoisewithalphastable distribution[J].Journal of Applied Sciences,2010，28（2）：111－114.