光纖陀螺隨機誤差的DDS建模方法研究

王志偉，侯書銘，王宏力，呂永佳

（第二炮兵工程學院陜西西安710025）

光纖陀螺隨機誤差是影響光纖陀螺精度的重要因素，隨著隨機誤差理論及分析方法的不斷進步，人們對激光陀螺隨機誤差的分析也不斷深入。盡管ARMA模型已經形成相當完善的理論，而且也廣泛應用于光纖陀螺隨機誤差的分析中去，但是應用前提是光纖陀螺隨機誤差是線性的。而陀螺的漂移是弱非線性和弱時變的[1]。通過對實測數據的分析，溫度等環境的影響會加劇這種非線性，因此為得到更完美的光纖陀螺隨機誤差模型，筆者提出應用動態數據建模法（DDS建模法）對光纖陀螺隨機漂移進行建模。

1 非平穩時間序列的DDS建模步驟

潘迪特和吳賢銘在1986年提出了一套建立ARMA模型的策略和步驟[2]，簡稱動態數據系統（DDS）。它的主要思想是在獲得適用的ARMA（2，1）模型之前，不對觀測數據進行平穩化處理，而是在獲得適用的模型之后，根據模型的特征根來判斷建模對象的平穩性。它對ARMA模型參數的辨識步驟是：先從ARMA（2，1）開始，依次是ARMA（4，3），ARMA（6，5），…，參數估計是用非線性最小二乘法，然后根據殘差平方和的F檢驗確定適用模型，最后去掉模型中小的MA參數，再擬合低階的ARMA，AR或MA模型，用F檢驗確定最終的適用模型。F檢驗的公式為：

建立統計假設：

H0：模型Ⅰ，即ARMA（p，q）適用；

H0：模型Ⅱ，即ARMA（p+Δp，q+Δq）適用，其中：Δp，Δq≥0則統計量：

服從F分布F（4，N－P－ΔP），其中：

A0=ARMA（p，q）的殘差平方和RSS；

A1=ARMA（p+Δp，q+Δq）的殘差平方和RSS；

N=觀測數據長度；

P=p+q；

ΔP=Δp+Δq=4。

從F分布表中可查出，在α=0.05的置信度下，Fα=F（4，∞）=2.37，當F＞Fα時，拒絕原假設，即模型參數少的模型Ⅰ不適用；當F＜Fα時，則接受原假設，模型Ⅰ適用。

2 陀螺漂移的DDS建模

根據非平穩時間序列的DDS建模步驟，對光纖陀螺隨機漂移進行建模。建模結果如表1、表2所示。

取光纖陀螺的隨機漂移原始數據，直接采用非線性最小二乘法，從ARMA（2，1）開始擬合，辨識出各模型參數，求出殘差平方和，同時擬合AR（1）、AR（2）模型進行比較。通過F檢驗確定適用模型。通過表2可以看出ARMA（2，1）與ARMA（4，3）比較，F統計量的觀測值小于臨界值，故ARMA（2，1）為相對適用模型；ARMA（4，3）與ARMA（6，5）比較，觀測值小于臨界值，故ARMA（4，3）適用；同理，再將其他模型相互比較得出最終結論：ARMA（2，1）為適用模型。其模型為：

表1 光纖陀螺隨機漂移DDS建模結果Tab.1Result of FOG random error DDS modeling

表2 隨機漂移模型F檢驗數據Tab.2F-test data of radom error modeling

現在來估計模型中的隨機斜坡項。DDS建模中，模型殘差序列均值不為零，可以利用這個均值估計出隨機斜坡項。

對于ARMA（2，1）模型有：

則模型殘差序列為：

顯然，當ut為零均值白噪聲時，殘差序列st的均值為零；當ut含有常值偏差時，殘差序列的均值不為零。

令：ut=k+ωt

其中，ωt為零均值白噪聲，k為常值偏差。則此時st變為：

由建模結果得出，ARMA（2，1）的殘差結果為s=0.005 1，標準差為σs=0.034，采樣數為1 000，b=0.531 3，所以，k=0.019±0.002。綜合上述結果，得到光纖陀螺隨機漂移的模型為：

式中：ut=ωt+0.019，ωt～N（0，0.0342）

3 建模結果討論

由DDS建模方法得到的式（1）也可以變為：

于是可知X軸模型的特征根為：λ1=0.994 4，λ2=0.291 6。對于λ1來說，由于它很接近于1，近似在單位圓上，所以表現為隨機游動分量。

將式（5）利用格林函數正交分解得：

對于ARMA（2，1）模型，格林函數Gi為：

陀螺隨機漂移的脈沖響應[3]如圖1所示。

圖1 隨機漂移的脈沖響應Fig.1Impulse response of random drift

從圖中可以看出，陀螺隨機漂移的脈沖響應一開始有很陡的衰減，然后衰減速度減慢，最后基本保持水平，表現出長記憶的特性。由式（5）也可看出，陀螺X軸漂移由兩部分組成。第一部分是由特征根λ1=0.994 4引起的慢衰減、強慣性和長記憶的過程，類似于λ=1的隨機游動特征。它基本上保持一個固定的水平，衰減很慢，它將引起一個非時變的穩態漂移。換句話說，陀螺一旦受到干擾，將從初始角速度以隨機游動方式漂移，因此，角速度誤差將隨時間增長。而且，因為隨機游動的預報誤差隨時間增長趨于無窮，所以，對隨機游動的辨識和估計是陀螺漂移分析中最重要的一個部分。第二部分是由特征根λ2=0.291 6引起的相關噪聲分量，如圖1中的G1，它呈現出一個指數衰減過程，經過1 000 s就基本衰減到零，所以，它是一個短期過程，而隨機游動是一個長期的過程。基于這一點，在陀螺的應用中可以強調這一點而忽略另一個。當然，在應用時間小于相關時間的情況下，相關噪聲部分是不能忽略的，相反，如果陀螺的工作時間很長，則可以僅考慮隨機游動分量，而忽略相關噪聲分量。于是，在船用平臺羅經系統和GPS組合系統中，就可以將陀螺隨機漂移模型簡化為AR（1）模型，并可以很方便的轉化為微分方程，放入組合卡爾曼濾波器的系統方程中，進行實時在線辨識和補償[4]。

4 結論

DDS法在不使用差分算子將非平穩序列平穩化的情況下，就能很準確的估計出特征根的值，這不僅是對數據的精確表達，而且也使對隨機游動分量的作用進行定量分析成為可能，從而可以從原始數據中獲得更多的信息。

隨機漂移誤差中的隨機斜坡項，可以認為是陀螺靜態誤差漂移中沒有補償干凈的部分，也就是所謂的陀螺隨機常值漂移[5]，它在慣性導航系統中引起一定時間不衰減的舒拉振蕩誤差[6]。通過DDS方法，辨識和估計出陀螺漂移中的隨機斜坡項，就可以進行補償，提高導航精度。同時，在組合系統中也可以實時辨識出陀螺的隨機常值漂移，并給予補償，最后達到提高整個組合導航精度的目的。另外，我們還可以通過譜分析來判斷一個陀螺的質量、陀螺的采樣周期和上述各個部分的能量，以便更好地選擇陀螺，了解陀螺性能并組成導航系統。

[1]HOU Hai-ying，NIU Xiao-ji．Analysis and modeling of inertial sensors using Allan variance[J].IEEE Transaction on Instrumentation and Measurement 2008，57（1）：140-149.

[2]何志昆，王雪梅.激光陀螺隨機誤差的非參數建模與濾波[J].航天控制，2009（27）：24-28.HE Zhi-kun，WANG Xue-mei.Nonparametric modeling and filtering of laser Gyro random error[J].Aerospace Control，2009（27）：24-28.

[3]曹鮮花，吳美平，胡小平.Matlab在光纖陀螺隨機漂移建模中的應用[J].航天控制，2007（25）：18-20.CAO Xian-hua，WU Mei-ping，HU Xiao-ping.Application of matlab in modeling of FOG random drift[J].Aerospace Control，2007（25）：18-20.

[4]PEI Jin-cheng，YANG Xi-chun，ZHU Ru-de，et al.Stimulated brillouin optical fiber gyroscope[J].Laser and Optoelectronics Progress，2006（43）：53-60.

[5]Tang J H，Fu Z X，Deng Z L.Identification method for RLG random errors based on allan variance and equivalent theorem[J].Chinese Journal of Aeronautics，2009，22（3）：273-278.

[6]Poornachandra S.Wavelet-based denoising using sub-band dependent threshold for ECG signals[J].Digital Signal Processing，2008（18）：49-55.