慣導平臺歷次測試數據時間序列建模分析

姜泉璐，汪立新，吳玉彬，楊建業，呂永佳

（第二炮兵工程學院304教研室，陜西西安710025）

時間序列是隨時間變化而又相互關聯的數據序列，通常把按時間順序排列的觀測數據序列稱為一個時間序列。由文獻[2]可知，時間是影響慣導平臺穩定性的主要因素，隨著時間的推移部分慣導平臺參數的穩定性會發生比較明顯的變化。因此研究慣導平臺參數的時間特性是非常必要的。慣導平臺的測試雖然是以一定的時間順序來進行的，但受到測試時機的限制并非等時間間隔的。

慣導平臺具有穩定期指標，但實際很難保證在每個穩定期內都對慣導平臺進行測試，得到的數據都比較零亂。直接對這些數據進行研究，很難找到描述慣導平臺測試數據的規律。同時由于測試次數較少，也更增加了描述其時間特性的難度。樣條函數插值[1]不僅能克服以往插值方式局部特性較差，在端點附近精度較差的不足，而且穩定性好，并能保持較高的精度，比較適合在慣導平臺測試數據時間序列中應用。本文將采用樣條函數插值法來構建慣導平臺測試數據需時間序列，為建模分析提供基礎。

1 問題描述

慣導平臺的測試是根據不同需要來進行的，測試的時間間隔不固定。在這種情況下，要通過一次插值來產生慣導平臺誤差系數的時間序列，其誤差必然很大且插值點很不均勻。從文獻[3]可以看出，慣導平臺誤差系數的正態性并不是很好，帶有很大的隨機性。為此，提出了二次修正插值法，通過兩次使用樣條函數插值法來構造慣導平臺測試數據的時間序列。第一次插值完成后，對插值結果進行修正，在此基礎上再進行第二次插值，從而獲得所需的慣導平臺測試數據的時間序列，為其時間序列建模分析創造條件。

2 平穩時間序列線性模型

平穩時間序列...，Z-2，Z-1，Z0，Z1，Z2，...，一般EZt=μ≠0，為方便起見，令Wt=Zt-μ，顯然EWt=0。于是得到序列

容易驗證它仍然是平穩時間序列。均值為零具有有理譜密度的平穩時間序列可表示為下面三種形式的一種。

1）自回歸模型任何一個時刻t上的數值Wt可表示為過去p個時刻上數值Wt-1，Wt-2，...，Wt-p的線性組合加上t時刻的白噪聲，即可表示為：

其中常數p為模型的階數。自回歸模型簡記為AR（p）。

2）滑動平均模型Wt可表示成白噪聲{at}在t和t以前q+1個時刻上數值at，at-1，at-2，...，at-q的加權和，即可表示為：

其中常數q為模型的階數。滑動平均模型簡記為MA（q）。

3）自回歸滑動平均模型自回歸滑動平均模型可表示為：

p，q為模型的階數，自回歸滑動平均模型簡記為ARMA（p，q）。

3 時間序列的平穩性檢驗

平穩性檢驗[4－6]主要用來檢驗所構建的時間序列是否具有不隨時間推移而變化的統計特性。平穩性檢驗的方法有參數檢驗法和非參數檢驗法。前者在檢驗中需要知道子樣參數的抽樣分布，而且計算起來相當麻煩，故通常采用后者。非參數檢驗法是在未知子樣參數抽樣分布情況下的檢驗方法。在實際工作中最常用的是逆序檢驗法，其基本原理是：若數據y1，y2，…，yn平穩，則分段子序列的均值與方差應無顯著差異。

將{yt∶1≤t≤n}按長度M分成K個等長度的子序列（余數可不用），記為n/M。

其中k，M的選取依數據長度n而定。定義

文獻[1]表明：若{yi∶1≤i≤n}具有平穩性，則當M足夠大獨立同分布的，且有

統計量

均近似服從N（0，1）分布。

由此得到{yt∶1≤t≤n}平穩檢驗的步驟如下：

1）均值平穩性檢驗的步驟[7]①將{yt∶1≤t≤n}分成k段，每段n/k個數據，并相應計算各段均值，得到均值序列{∶1≤i≤k}；②計算A及u；③由給定置信水平，查標準正態分布得Za/2；④若|u|＜Za/2，則以置信度1－a認為該殘差數據序列具有平穩性，否則認為是不平穩的。

2）方差平穩性檢驗的步驟步驟同1的均值性平穩檢驗步驟，只是{yt∶1≤t≤n}分段后計算每段的方差，得到方差序列{∶1≤i≤k}，在計算B及v，并進行檢驗。

4 二次修正插值法

4.1 第一次修正插值[8-9]

針對慣導平臺標定結果具有穩定期這一要求，以其穩定期為時間單位，采用三次樣條函數插值法，對慣導平臺歷次標定結果進行第一次插值，以歷次標定結果作為插值的基本點，對于穩定期內有多次測試的，取其平均值作為基本點。然后，以穩定期為單位選擇插值點進行插值。這種方法比較符合慣導平臺測試數據變化的特點，對插值點的準確性進行檢驗的方法是以基本點為依據，以穩定期內的指標為標準，對插值點進行檢驗和修正，最終獲得一個以穩定期為基本時間單位的時間序列。稱此時間序列為基本時間序列。

4.2 第二次修正插值

第二次插值的目的是為了擴大樣本容量，解決小樣本建模的問題。通過第一次樣條函數插值之后，獲得了慣導平臺歷次測試數據的一個基本時間序列，其樣本容量相對較小。按照目前慣導平臺的實際情況，所獲得時間序列的容量一般很小，要用一個很小容量的樣本進行建模，無法得到一個準確、完整的模型，也無法準確預測慣導平臺誤差系數的變化趨勢。為此，文提出了第二次修正插值，即在第一次插值所得的時間序列的基礎上進行再插值，用于擴大樣本容量。插值的原理依然是三次樣條函數插值法。第二次插值時以第一次插值所得時間序列的元素作為基本點，在相鄰的兩個基本點之間進行等點數插值，插值點的個數可根據建模所需樣本容量來選取，一般要使第二次插值所得的時間序列的樣本容量大于50。插值結果將用第一次修正插值的方法進行檢驗和修正，以保證任意相鄰的兩個基本點之間的插值結果滿足穩定期穩定性要求。

5 應用舉例

現以某慣性平臺的誤差數D1為例來構建慣性平臺測試數據的時間序列，該慣導平臺3年共測試14次，其中第一年3次，第二年6次，第三年2次，第四年3次，由歷次測試數據構成的序列稱為原始時間序列，如表1所示。在4年的時間內，共得到11個基本點。

在基本點的基礎上用三次樣條函數法進行第一次插值，插值結果如表2所示。共得到3個插值點，這3個點與基本點一共14個點，就構成了某慣性平臺￥誤差系數的基本時間序列。

表1 原始時間序列Tab.1Original time series

表2 基本時間序列Tab.2Basal time series

在基本時間序列的基礎上用同樣的方法進行第二次插值，在每相鄰的兩個基本點之間插入3插值點，得到一個樣本容量為53的二次插值時間序列?；军c、插值點對應的曲線圖如圖1所示。

圖1 插值前后比較示意圖Fig.1Interpolation before-and-after schemes

圖1為插值前后比較示意圖，“*”為基本點，“＋”為插值結果。橫軸上的“*”為繪圖輔助點，沒有任何意義。

預測結果與實際結果比較圖如圖2所示。預測結果與測試的變化趨勢很接近。將測試結果和預測結果按時間順序合并在一起可按其變化趨勢來判斷誤差系數穩定性，能夠體現慣導平臺性能的變化趨勢。

6 結論

提出的二次修正插值法為慣導平臺誤差系數的時間序列建模提供了一種研究方法和途徑，特別是非等時間間隔小樣本條件下的建模，具有較好的工程應用價值。利用該方法可以達到兩個目的：其一是能科學分析慣導平臺的長期穩定性，有效地較少測試次數；其二是和射前標定技術相結合以延長慣導平臺的穩定期，并利用一次通電特性提高慣導平臺的使用精度。

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