實時遞推的最小二乘預測跟蹤算法

周姍姍，柴金廣，李丹

（中國科學院上海技術(shù)物理研究所，上海200083）

對于一個探測系統(tǒng)來說，從傳感器采集圖像，到系統(tǒng)處理數(shù)據(jù)、識別目標、伺服控制、跟蹤目標的過程中，由于系統(tǒng)延時，會導致跟蹤數(shù)據(jù)的延遲，造成跟蹤誤差。此外，目標發(fā)生機動時，由于運動的速度和方向發(fā)生改變，也會造成實時跟蹤的困難。為了補償跟蹤誤差，達到實時、穩(wěn)定跟蹤目標的目的，本文提出了一種實時遞推的最小二乘預測跟蹤算法。

最小二乘法最早是由Gauss為進行行星軌道預測的研究而提出的[1]，現(xiàn)在最小二乘法已成為用于目標跟蹤的常用方法之一。與其他方法（如：α-β-γ濾波、卡爾曼濾波）相比，最小二乘原理簡單，易于理解和掌握，且在一定條件下具有良好的統(tǒng)計性，因而更具有工程實現(xiàn)的意義。本文基于最小二乘法的原理，結(jié)合平方預測器的估算方式，采用遞推參數(shù)計算來實現(xiàn)目標的位置預測，解決由于系統(tǒng)誤差、目標機動等因素造成的跟蹤延遲、目標丟失的問題。

1 預測跟蹤算法

圖1給出了預測跟蹤算法的流程圖，系統(tǒng)每讀入新的一幀圖像，替換最舊的一幀歷史數(shù)據(jù)，根據(jù)保存的幀目標數(shù)據(jù)遞推計算目標軌跡參數(shù)，并由此預測下一幀目標位置。

圖1 預測跟蹤算法流程圖Fig.1Flow chart of predicted tracking algorithm

1.1 最小二乘原理

在探測系統(tǒng)跟蹤目標的過程中，目標的運動速度及方向會按照一定的運動規(guī)律隨時間不斷變化，為了從觀測數(shù)據(jù)中提出有用信號，首先需要對目標的運動規(guī)律做出假設[2]。

通常假設目標函數(shù)f（t）在N個順序時刻的觀測值為f（ti）（i=1，2，…，N），最小二乘的基本思想即選擇一個多項式p（t）用一種使均方誤差（在某種意義下）為極小的方式來逼近f（t）[3-4]。

對于探測系統(tǒng)來說，觀測值是離散的數(shù)據(jù)，可以確定一組a0，a1，…，am（m＜N）系數(shù)，使得觀測值和逼近值的N點均方誤差

最小。

最小二乘多項式p（t）表示為

通過S對ak求偏導數(shù)，令偏導數(shù)為0，可得到多項式的通解：

1.2 平方預測器

平方預測器以線性二次曲線作為目標函數(shù)f（t）的最佳逼近，即多項式p（t）表示為

則N點均方誤差為

運用最小二乘原理，計算最小均方誤差下最佳線性逼近的通解，即多項式系數(shù)a0、a1、a2，可以得到[5]：

式中，bmn（m，n=1，2，3）為行列式|M|的余因子，且|M|≠0。

1.3 實時遞推計算公式

考慮到實際應用中，在較短時間內(nèi)，目標的運動或參數(shù)變化總可以用二次或低次函數(shù)描述[6]，因此運用平方預測器得到的一組參數(shù)α，β，γ總可以最佳逼近某一段時間內(nèi)目標的運動軌跡，但隨著時間的增長，目標運動可能發(fā)生變化，原來的參數(shù)不再滿足目標運動的規(guī)律。因此，本文對于N點最佳線性逼近，采用實時更新參數(shù)的方式，即在每個目標數(shù)據(jù)采樣時刻k+N，利用歷史時刻k，k+1，…k+N-1，的N個點的測量值重新計算二次曲線的參數(shù)α，β，γ，以確保預測軌跡與真實目標軌跡的最佳逼近。因此，將上節(jié)公式（6）改進后可以得到實時遞推的參數(shù)計算公式：

式中，k=0，1，2，…。

2 仿真實驗

為驗證算法在工程應用上的可行性，本文基于Matlab軟件針對系統(tǒng)延遲、目標機動這兩種情況進行了模擬仿真，本次實驗選取N=5。

圖2給出了真實軌跡在沒有發(fā)生系統(tǒng)延遲情況下的目標預測跟蹤軌跡與真實軌跡的比較結(jié)果。可以看到目標在某一段時間內(nèi)發(fā)生機動改變了軌跡方向，給定的目標軌跡采樣周期為T=0.005 s。

圖2 未發(fā)生延遲的預測跟蹤軌跡與真實軌跡的比較圖Fig.2Comparison of predicted tracking and real tracking at system in-time

考慮實際工程應用中的情況，假設系統(tǒng)延遲時間為一個采樣周期。圖3（a）給出了目標預測跟蹤軌跡與真實軌跡的比較結(jié)果，圖3（b）為圖3（a）軌跡初始部分的放大比較圖。

圖3 發(fā)生延遲的預測跟蹤軌跡與真實軌跡的比較圖Fig.3Comparison of predicted tracking and real tracking at system delay

如上圖可以看到預測跟蹤軌跡能夠很好地逼近真實軌跡，在發(fā)生系統(tǒng)延遲的情況下，從圖3（b）可以看到由于采用了5點平方預測，經(jīng)過初始階段的5個采樣周期后，目標軌跡誤差得到補償，并迅速逼近真實軌跡，此外，從圖3（a）中可以看出，當目標機動時，軌跡方向發(fā)生明顯改變，預測跟蹤軌跡仍舊能很好地逼近真實軌跡。

最后給出了預測軌跡與真實軌跡的誤差百分比，圖4（a）為系統(tǒng)未延遲時的誤差百分比，圖4（b）為系統(tǒng)延遲時的誤差百分比。表1則給出了兩種情況下具體的誤差百分比比較。

圖4 兩種情況下的系統(tǒng)誤差百分比Fig.4Error percentage of the two cases

表1 系統(tǒng)未延遲與延遲情況下的誤差百分比比較Tab.1 Comparison of system in-time and system delay

如表1所示，雖然在系統(tǒng)延遲的情況下，預測軌跡與真實軌跡的誤差百分比較大，但平均誤差百分比控制在了0.15%以內(nèi)，且可以看出預測跟蹤軌跡還是很好地逼近真實軌跡，沒有出現(xiàn)軌跡偏移發(fā)散的情況。

3 結(jié)束語

本文提出的實時遞推的最小二乘預測跟蹤算法，采用平方預測器的二次曲線函數(shù)作為目標軌跡的最佳逼近，經(jīng)過最小二乘估算得到的多項式通解，具有運算簡便、易于實現(xiàn)的特點。結(jié)合工程實際情況，改進后的算法通過仿真實驗驗證，跟蹤效果理想，具有工程應用的可行性。今后根據(jù)不同工程的指標要求，算法還可以在參數(shù)細節(jié)上進行修改，以達到最佳的預測跟蹤效果。

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