基于模擬退火的自適應圖像濾波算法

鄧平，方志祥，熊盛武

（1.武漢理工大學計算機學院，湖北武漢430070；2.武漢大學測繪遙感信息工程國家重點實驗室，湖北武漢430070）

在圖像處理中，圖像噪聲可以理解為妨礙人的視覺感知，或妨礙系統傳感器對所接受圖像源信息進行理解或分析的各種因素，也可以理解成真實信號與理想信號之間存在的偏差。一般來說，噪聲是不可預測的隨機信號，通常采用概率統計的方法對其進行分析。噪聲對圖像處理十分重要，它影響圖像處理的各個環節，特別在圖像的輸入、采集中的噪聲抑制是十分關鍵的問題。圖像去除噪聲有很多種濾波方法，傳統的可分為以局部平均法為代表的線性濾波和以中值算法為代表的非線性濾波，中值濾波適用于椒鹽型噪聲，均值濾波適用于高斯型噪聲。鄰域平均法是一種在局部空間域求值的算法，在降低噪聲的同時，使圖像產生了模糊，特別是在處理圖像邊緣和細節的時候。中值濾波法在一定程度可以克服線性濾波所帶來的圖像細節模糊，但是對一些點、線、突變等細節圖像會帶來圖像信息的丟失。本文提出的圖像去噪算法是基于模擬退火算法，可以在指定領域內，以一定的概率接受偏離中值的點，這樣既有非線性濾波的優點，同時又可以克服中值濾波對圖像信息的丟失問題，實驗表明該算法能夠較好的提高圖像的信噪比。

1 模擬退火算法

模擬退火算法是一種快速收斂的概率演算法[1]，用來在一個搜索空間內尋找命題的最優解?！澳M退火”的原理也和金屬退火的原理近似：將搜尋空間內每一點想象成空氣內的分子；分子的能量，就是它本身的動能；而搜尋空間內的每一點，也像空氣分子一樣帶有“能量”，以表示該點對命題的合適程度。算法先以搜尋空間內一個任意點作起始：每一部先選擇一個“鄰居”，然后再計算從現有位置到達“鄰居”的概率。

面對尋找最優值的優化問題。將物理學中模擬退火的思想應用與優化問題得到模擬退火尋優方法。

優化函數為f:x→R+，其中x∈S，它表示優化問題的一個可行解，R+={y|y∈R，y＞0}，S表示函數的定義域。N（x）?S表示的一個領域集合。

首先給定一個初始溫度T0和該優化問題的一個初始解x（0），并由x（0）生成下一個解x′∈N（x（0）），是否接受x′作為一個新解x（1）依賴于下面概率：

當溫度T降為0時，xi的分布為：這說明如果溫度下降十分緩慢，而在每個溫度都有足夠多次的狀態轉移，使之在每一個溫度下達到熱平衡，則全局最優解將以概率1被找到。因此可以說模擬退火算法可以找到全局最優解。

2 濾波算法比較

本節中介紹幾種常用的濾波方法，它們各有長處，同時也有一定的缺點。

中位值濾波法[2]：連續采樣N次（N次取基數）如圖1，將N個值按大小排列，取出中間值P替代原像素值[3]。能有效克服因為偶然因素引起的波動干擾，對溫度，液位的變化緩慢的被測參數有良好的濾波效果，但是對流量、速度等快速變化的參數不宜。采樣序列如圖1所示。

圖1 采樣序列Fig.1Sampling list

均值濾波[4]：實際上是用均值替代原圖像中的各個像素值。均值濾波的方法，對將處理的當前像素，選擇一個模板，該模板為其鄰近的若干像素組成，用模板中像素均值來替代原像素的值。如圖2所示，序號為0是當前像素，序號為1至8是鄰近像素。求模板中所有像素的均值，再把該均值賦予當前像素點（x，y），作為處理后圖像在該點上的灰度g（x，y），即：

圖2 像素模板Fig.2Pixel template

方差：是實際值與期望值之差平方的平均值，用公式D（x）=E{[X－E（X）]2}表示。方差刻畫了隨機變量的取值對于其數學期望的離散程度。

若X的取值比較集中，則方差D（x）較??；

若X的取值比較分散，則方差D（x）較大。

因此，D（x）是刻畫X取值分散程度的一個量，它是衡量X取值分散程度的一個尺度。

基于模擬退火的濾波算法集合以上各種算法的優點，綜合了中值濾波和均值濾波的長處，可以自適應的處理圖像內部和圖像邊緣的噪聲處理[5]。利用機率函數有機率的接受較差的擾動解為新解，使其避免傳統梯度搜尋法（Gradient Search）往往陷入區域解的缺點，當在圖像內部時，模擬退火會搜索到中值的附件進行選擇，同時又會以一定的概率接受中值附件的值，同時又以一定的比例與其他點進行加權，綜合了周圍點的信息。當在圖像邊緣時，會從圖像的4個方向水平方向，垂直方向，左下到右上方向和左上到右下方向，如圖3所示。進行搜索，這樣可以找出圖像的梯度變化方向，找到圖像的變化規律，找到適合的點替代當前噪聲點，從而去除噪聲。

圖3 搜索方向Fig.3Search direction

3 基于模擬退火的濾波算法

3．1 算法基本原理

基于模擬退火的濾波算法是基于下面的原理：對于一個含噪聲的圖像的每個像素點都以其中心選取一個的正方形領域如圖2，利用方差表現了離散值的分布情況特點，首先對領域范圍內的值求出期望和方差，找出領域值的分布情況，如果方差值比較小，則說明領域值分布比較集中，同時也說明噪聲在圖像內部，更偏向于使用中值濾波，如果方差值比較大，則說明領域值分布比較分散，圖像信息變化比較快，說明噪聲在圖像的邊緣地帶，更應偏向使用加權平均濾波。然后使用模擬退火算法對領域范圍內的值，進行概率搜索，如果方差值比較大，則在退火過程中退火溫度設置較高，這樣便于查找出偏離中值的值，能夠更試用于圖像變化比較明顯的地方；如果方差值比較小，則在退火溫度設置較低，便于查找到中值附近，這樣更適用于在圖像內部進行去除噪聲。然后將查找出的值與剩下的值采樣一定比例進行信息融合，如果在圖像內部采用9.5：0.5的比例，在圖像邊緣采樣8：2的比例。將信息融合后的值代替當前圖像值。

3．2 實現步驟

1）為圖像的目標像素設置一個3×3模板，該模板包括了其周圍的鄰近像素；

2）求出模板鄰域范圍內的值的期望E和方差D，根據方差設置冷卻溫度T0；

3）利用模擬退火算法為模板內的值進行退火求解。

①初始化：初始溫度T（足夠大），初始解的狀態S（是算法迭代的起點），每個T值的迭代次數L；

②對k=1，……，L做第③至第⑥步；

③產生新解S’；

④計算增量Δt’=C（S’）－C（S），其中C（S）為評價函數；

⑤若Δt’＜0則接受S′作為新的當前解，否則以概率exp（－Δt’/T）接受S’作為新的當前解；

⑥如果滿足終止條件則輸出當前解作為最優解S’，結束程序；

終止條件取為當前點接近期望值和冷卻溫度的滿足，則終止算法；

4）將3中求出的最優解Xk與其他點進行加權運算，最優解的值x的權為α，其他的值的權相同并且和為1－α，

解空間：每個目標像素的領域的解空間為模板周圍的8個臨近像素值

S={P0P1…P8|Pi∈當前模板}

目標函數：設置目標函數為

其中E為模板內值的期望值，表示當前值S偏離期望值E的距離。

初始解：如果方差較小，從方陣的左上角開始搜索，新解為順序搜索模板內下一個值；

如果方差較大，解的搜索范圍分為4個方向：水平方向，垂直方向，左下到右上方向和坐上到右下方向。從方陣的以上4個方向順序進行搜索，比較4個方向與期望的絕對差值，選擇差值較小的方向開始搜索，再向著偏離期望較遠的方向進行搜索。

目標函數差：Δt’=C（S’）－C（S）

算法流程圖如圖4所示。

圖4 算法流程Fig.4Flow chart of program algorithm

3.3 算法討論分析

模擬退火算法具有概率演變[6]的特點，能夠快速的收斂并達到最優值，這讓模擬退火算法被廣泛使用。但是它的參數可控性卻是使用的難題。在這里討論下模擬退火濾波算法中參數的設置問題。

1）根據模板方差判斷是在圖像內部還是邊緣處

因為在圖像內部像素的差別比較小，分布比較均勻，故方差較小；在圖像的邊緣處，像素變化比較明顯，分布比較散開，故方差較大。在本算法中方差值的判斷閥值一般為：D（x）＞0.3為圖像邊緣處，D（x）＜0.3時當著圖像內部處理。

2）溫度T的初始設置和溫度下降速度和冷卻溫度

初始溫度是影響模擬退火算法的一個重要因素，適當大的溫度可以保證算法在全局范圍進行搜索，找到全局最優解，但可能因為過大而浪費時間，所以本算法為解決速度問題，提出了當溫度較高時候可以加快溫度下降速度，設溫度下降函數為Temp=Temp*y（y約0.8～0.99為佳）。當模板方差較大時，在圖像內部時候，為求出接近中值的解，故冷卻溫度較低；當在圖像邊緣時候，為求出適合圖像變化方向的值，故而使用了基于方向的梯度方向搜索和冷卻溫度較高。

4 實驗結果與結論分析

在256×256的灰度圖像中加入隨機均勻的多種噪聲，然后分別用中值濾波，均勻濾波和本算法濾波進行處理，處理結果下圖可知：均值算法會丟失圖像細節信息，產生模糊；中值算法雖然對圖像細節信息保留較好，但是去燥不是很好；本算法結合兩者的優點，在既較好的保留圖像信息的同時，又有較好的去燥能力。

圖5 原圖Fig.5Original drawing

圖6 加入椒鹽噪聲圖Fig.6Salt-and pepper noise drawing

圖7 均值濾波圖Fig.7Mean filter drawing

圖8 中值濾波圖Fig.8Median filter drawing

本算法分析并結合傳統濾波算法的優缺點，提出了一種基于模擬退火[7]的圖像濾波算法，可以自適應的對圖像內部和圖像邊緣進行分類處理，以一定的概率接受偏離中值的像素，再結合了加權平均的處理，綜合了中值濾波和均值濾波的優點，該算法在有效過濾噪聲的同時較好的保存了原始圖像的信息。

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