基于非線性序轉(zhuǎn)換的層次分析模型

龐彥軍,劉立民,馬麗濤,劉開第

(河北工程大學理學院,河北邯鄲056038)

層次分析法(analytic hierarchy process,AHP)[1]是Saaty教授在二十世紀七十年代末提出的一種無結構化決策方法,被廣泛應用于涉及指標重要性權重的眾多應用領域[2-5]。AHP采用“兩兩比較”的方法,在準則下對準則支配的相鄰下層各項指標通過構造比例標度判斷矩陣,并利用基于“一致性”檢驗的特征向量法(或冪法,或和法)對下層指標排序,很好地解決了相鄰兩層指標間的排序問題[6-7]。

然而對于三層及以上層次結構,需要在頂層目標下對底層指標按重要性大小排序,則必須解決以下兩個問題：一是在上層每一項指標下對該指標所支配的相鄰下層指標排序;二是通過序關系轉(zhuǎn)換在頂層目標下對底層指標排序。AHP實現(xiàn)序轉(zhuǎn)換的方法為線性序轉(zhuǎn)換,這種方法僅適用于簡單遞階層次結構,當遞階層次結構為復雜結構時,線性序轉(zhuǎn)換只能作為真實序轉(zhuǎn)換的一種近似。

本文分析遞階層次結構的復雜性,將排序度量映射到高維狀態(tài)空間上,提出了復雜層次結構序關系轉(zhuǎn)換的非線性方法,給出了遞階層次結構指標排序的一般方法。

1 遞階層次結構的類型

遞階層次結構的復雜性由上、下層指標間的不同聯(lián)接方式?jīng)Q定,分為簡單層次結構及復雜層次結構(圖1)。

簡單層次結構的特點是,每一項底層指標發(fā)生時,影響且只影響相鄰上層中一項指標。只通過一項指標傳遞到目標G的序關系,是且只能是線性關系,對應線性序轉(zhuǎn)換。

復雜層次結構的特點是,當一項底層指標發(fā)生時,會同時影響相鄰上層至少兩項指標,此時,經(jīng)中間指標B1,B2,B3,傳遞到G的序關系就不再是線性關系,而是非線性序關系,對應序轉(zhuǎn)換是非線性轉(zhuǎn)換。

2 復雜層次結構的非線性序轉(zhuǎn)換算法

以三層復雜結構為例。

設由AHP法已求得底層n項指標關于中間層指標j(j=1-m)的排序向量

及m項中間層指標關于頂層目標G的排序向量

求在目標G下對底層n項指標排序。

2.1 難點分析

當?shù)讓又笜薸發(fā)生時,目標G同時接收到中間層m項指標B1～Bm發(fā)送的關于指標i的m種信息μi(j)(j=1～m),但是,無法得知每一個μi (j)究竟對目標G提供了多少關于指標i的“有效信息”,也無法得知這m種信息按著怎樣的“規(guī)律”融合。所以,通過某種線性運算得出指標i關于目標G的排序度量αi(G)僅是真實度量的一種近似。

本文通過把排序度量 μi(j)映射到能描述 μi(j)“重要性程度”的高維狀態(tài)空間上,分析 μi(j)在每個子空間上的映射值究竟對目標G提供了多少關于指標i的“有效信息”,并通過“信息融合”探索非線性序轉(zhuǎn)換的算法途徑。

2.2 排序度量到高維狀態(tài)空間的映射

步驟1：將指標i對指標j的影響程度μi(j)劃分為s=5個等級,設{F1,F2,…,F5}是狀態(tài)空間F的一種劃分,滿足

Fi∩Fj=φ(i≠j)且∪5k=1Fk=F稱Fk(k=1～5)是第k種狀態(tài),也稱為第k類。

步驟2：令a=min{μi(j)},b=max{μi(j)},將區(qū)間[a,b]四等分,連同區(qū)間端點在內(nèi)的5個分點是a=a1＜a2＜a3＜a4＜a5=b在[a,b]上,以ak(k=1～5)作為F6-k類的標桿值。構造5個等級的標準隸屬函數(shù)α1(t)～α5(t),如圖2所示。

圖2中,F1類的隸屬函數(shù) α1(t)由折線a1a4F1表示;F2類的隸屬函數(shù) α2(t)由折線a1a3F2a5表示;F3類的隸屬函數(shù) α3(t)由折線a1a2a3F4a5表示;F4類的隸屬函數(shù)α4(t)由折線a1F4a3a5表示;F5類的的隸屬函數(shù) α5(t)由折線F2a2a5表示。

根據(jù)圖2的5個隸屬函數(shù),任一排序度量 μi(j)可表為一個5維向量：

其中,α(i)jk—指標j的k類隸屬度,表示指標i發(fā)生時對指標j的影響屬于Fk類的隸屬度。

2.3 隸屬度非線性轉(zhuǎn)換的算法步驟[8]

隸屬度的非線性轉(zhuǎn)換是在指標隸屬度中包含著對目標分類不起作用的冗余值,而清除冗余值的過程是非線性計算過程。

設指標j關于目標G的重要性權重為λj(G),目標G的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為U(i)(G)=()m×5。求指標i發(fā)生時對目標G的影響屬于Fk類的隸屬度(G)(k=1～5)。

令

步驟1：計算指標j的k類有效值

步驟2：計算指標j的k類可比值

步驟3：計算目標G的k類可比和

步驟4：計算目標G屬于Fk類的隸屬度

2.4 基于隸屬度的排序方法

令F1～F5的量化值依次為9,7,5,3,1,稱

指標i對目標G的影響度?？砂磏(i)(G)的大小,在目標G下對指標i排序。

3 算例分析

某礦10號污水壩設計為一粘土斜墻防滲土石壩,建成蓄水后出現(xiàn)滲漏。根據(jù)場區(qū)工程地質(zhì)和水文地質(zhì)條件,擬采用4種防滲加固方案：P1是粘土鋪蓋+靜壓注漿;P2是深層攪拌樁;P3是高壓擺噴+靜壓注漿;P4是深孔注漿。

有6種衡量方案優(yōu)、劣的指標：I1是治理可靠性,I2是安全性,I3是工程投資,I4是施工工期,I5是施工難易程度,I6是環(huán)境影響。這樣,方案排序構成一個三層遞階層次結構(圖3),G為總目標。

顯然圖3所示是一個復雜結構,對應非線性序關系轉(zhuǎn)換。

在給定各方案關于6種指標的邏輯評語集后,文獻[9]用層次分析法確定了中間層指標I1～I6關于目標目標G的重要性權重向量

及4種方案關于6種指標的排序度量矩陣：其中,U(G)4×6的第j列元素為各方案關于中間指標Ij的排序度量。

方案排序步驟如下：

步驟1：構造排序度量的隸屬函數(shù)

步驟2：構建標準隸屬函數(shù)

以P1為例,P1關于6種指標的排序度量,構成目標G關于P1的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣U(1)(G)：

步驟3：計算隸屬度向量

根據(jù)目標 G關于P1的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 U(1)(G),得P1對G影響的隸屬度向量為：

同理得方案P2,P3,P4對G影響的隸屬度向量為

步驟4：計算影響度

取F1～F4的量化值依次為4,3,2,1,各方案的影響度分別為

因為n(3)(G)＞n(1)(G)＞n(2)(G)＞n(4)(G),所以,方案P3最優(yōu),P1、P2次之,P4最差。

4 結語

遞階層次結構中方案排序問題的本質(zhì)是實現(xiàn)非線性序轉(zhuǎn)換。通過把“排序度量”映射到高維狀態(tài)空間上,并利用區(qū)分權濾波算法實現(xiàn)了高維空間上隸屬度向量間的非線性轉(zhuǎn)換,可以作為解決復雜層次結構中方案排序的一種實用方法。

[1]許樹柏.層次分析法原理[M].天津：天津大學出版社,1998.

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