基于fal函數濾波的改進自抗擾技術的實現

呂永佳，張合新，吳玉彬，李正文

（第二炮兵工程學院301教研室，陜西西安710025）

非線性自抗擾技術[1-2]因其對非線性不確定系統的模型參數不確定性部分以及內外干擾具有良好的跟蹤和觀測作用，被廣泛應用在風力發電和飛行器制導等領域。然而在實際的觀測過程中存在不同程度的量測噪聲，會對自抗擾技術的觀測精度產生較大影響。在實際的自抗擾技術的設計中，往往用濾波器對系統輸出進行處理，以濾除噪聲，但濾波后信號的幅值、相位與系統的真實輸出有較大差別，若以此作為系統的輸出必然會造成較大的觀測誤差。對此，本文設計一種基于fal函數反饋結構濾波的自抗擾技術[3]，克服濾波后信號與真實信號差別較大問題，從而大大提高系統的觀測精度。

1 fal函數的濾波特性

通過研究發現，fal函數具有快速收斂特性，為此設計fal函數反饋結構，它對輸入噪聲有較好的濾波效果。

1.1 特殊的非線性效應

fal函數是一個非線性環節，具有線性結構所沒有的良好品質。

當|x|＞δ時，系統變成x˙=-k|x|asgn（x）+w（x，t），兩邊乘以2x，得:

當|x|≤δ時，系統變成x˙=-kx/δ1-a+w（x，t），兩邊乘以2x，得:

1.2 fal函數的反饋結構

fal函數的反饋結構如圖1所示。

圖1 fal函數的反饋結構Fig.1 Feedback structure of the fal function

圖1可以描述為：

通過研究發現，δf是影響濾波效果的參數，增加δf可使濾波效果變好，但同時也增加了跟蹤輸入信號的延遲，一般可取5Ta≤δf≤10Ta，其中Ta為采樣時間。kf是調節響應速度的比例系數，kf越大，跟蹤越快，但濾波效果會變差。af為0～1之間的常數，af越小，跟蹤越快，但濾波效果會變差。所以需要在kf，af，δf之間做一個綜合考慮。

1.3 輸入噪聲的濾波特性分析

假設是帶有噪聲的輸入信號，考察一下fal函數反饋結構的濾波特性。從式（4）可以看到，fal函數反饋結構隨著e的變化具有不同的形式，我們分別予以考慮。

當|e|＞δf時，非線性反饋kf|e|af sgn（e）可以使系統狀態迅速的逼近輸入信號y，從而使誤差e趨近于δf。

當|e|≤δf時，式（4），從輸入y到輸出y0寫成傳遞函數的形式為

式（5）實際上是一個低通濾波器[4]。當δf減小或者kf增加時，k1增加，即截止頻率增大，帶寬變寬，跟蹤速度變快，但由于有更多的噪聲信號通過，可能濾波效果變差。同理，當δf增加或者kf減小時，k1減小，帶寬變窄，跟蹤速度變慢，但由于限制了噪聲信號通過，可能濾波效果更好。

2 自抗擾技術的基本概念

自抗擾控制技術由3部分組成[5]：擴張狀態觀測器（ESO）、跟蹤微分器（TD）和非線性反饋（NLSEF）。這里只對本文用到的三階ESO進行簡要說明。

ESO是一種新型的狀態觀測器，不但能觀測系統的所有狀態，還能觀測系統的不確定性及外擾，考慮具有外擾及不確定性的N階系統

其中，f（x，x˙，…x（n-1），t）是未知函數，q（t）是外擾（未知），u（t）為控制量，b是已知常數。令：

則可描述為：

其中，o（t）是未知函數。

構造如下的非線性系統：

其中f1（e1）…fn+1（e1）是構造的適當的非線性連續函數，根據式（8）和式（9），有：

其中，ei（t）=zi（t）-xi（t）（i=1，…，n+1）。

對于在一定范圍內任意變化的o（t），只要非線性連續函數f1（e1），…，fn+1（e1）滿足：

那么系統（10）在原點穩定。這表明，如果適當的選擇f1（e1），…，fn+1（e1），系統（9）的狀態可以跟蹤系統（8）的狀態，即：

根據式（8）中的定義，xn+1（t）是未知函數f（x，x˙，…，x（n-1），t）和外擾q（t）的和。只要函數f1（e1），…，fn+1（e1）滿足式（11）中的條件，那么系統（9）的輸出zn+1可以實時的估計xn+1（t）。由于xn+1（t）是擴張的狀態，所以非線性系統（9）稱作擴張狀態觀測器[6]。

ESO通過狀態誤差重構得到補償項，若把系統的模型誤差當作系統內擾，那么它同外擾一起統稱為系統擾動，ESO的補償分量并不區分內擾和外擾，直接檢測并補償它們的綜合作用，該補償分量的作用實質上是一種抗擾作用。

3 基于fal函數反饋結構濾波的ESO設計

由于fal函數反饋結構對于帶有噪聲的輸入信號具有較快的跟蹤速度和較好的濾波效果，給出一種基于fal函數反饋結構濾波的ESO，即將fal函數反饋結構放在系統輸出之后，用于濾除量測噪聲，并與ESO一起組成擴展式ESO，可以有效解決輸出環節帶有量測噪聲問題。對于輸出含有量測噪聲的系統，設計帶有濾波功能的ESO為：

4 仿真驗證

考慮如下的不確定二階系統的鎮定問題:

其中，vy為觀測噪聲.

對式（14）設計三階具有fal函數濾波的ESO如圖2所示。

圖2 Fal函數的反饋結構的ESO觀測器Fig.2 ESO observator of the feedback structure of the fal function

ESO參數a1=0.5、a2=0.25、b01=100、b02=200、b03=1 000、δ1=0.05，y可直接測量得到，測量噪聲vy=0.01·cos（50·t），控態為（0.5，2）。

仿真1，不同的fal函數反饋結構的濾波參數kf，af，δf對濾波的影響。

仿真初始條件如上，分別對kf，af，δf取不同的值進行仿真，仿真結果如圖3、圖4、圖5所示。

圖3 kf=1，af=0.4，δf=[0.05，0.1]Fig.3 kf=1，af=0.4，δf=[0.05，0.1]

圖4 kf=1，δf=0.08，af=[0.1，0.4]Fig.4 kf=1，δf=0.08，af=[0.1，0.4]

圖5 δf=0.08，af=0.4，kf=[1，5]Fig.5 δf=0.08，af=0.4，kf=[1，5]

通過仿真結果，可以看出基于fal函數反饋結構的濾波器是一種低通濾波器，對高頻信號具有高精度的濾波效果，符合實際應用；該仿真試驗還驗證了1.2節中提到的增加δf、af和減小kf都能提高濾波效果，但同時也增加了跟蹤輸入信號的延遲，所以需要在kf，af，δf之間做一個綜合考慮。

仿真2，驗證本文所設計的基于fal函數濾波的ESO的觀測效果。

初始條件同上，fal函數反饋結構的濾波參數kf=1，δf=0.1，af=0.4，仿真結果如圖6、圖7、圖8、圖9所示。

由仿真結果可以看出，本章所設計的基于fal函數反饋結構濾波的三階ESO狀態觀測器能夠濾除高頻的觀測噪聲，并能夠高精度的對實際狀態進行跟蹤觀測，具有很好的應用價值。

圖6 x1的觀測曲線Fig.6 Observation curve of x1

圖7 x2的觀測曲線Fig.7 Observation curve of x2

圖8 干擾的的觀測曲線Fig.8 Observation curve of interference

圖9 觀測的濾波放大曲線Fig.9 Filter curve magnified of observation

5 結束語

本文基于自抗擾技術中在觀測系統不確定部分的參數和干擾時受到量測噪聲的嚴重干擾，設計了一種fal函數反饋結構的濾波方法，該方法具有快速的收斂性和線性濾波結構所沒有的良好品質，解決了量測噪聲對ESO觀測精度影響較大的問題。

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