數學更需要想象

幾乎所有的同學都知道，文學創作需要豐富的想象力，真正名篇杰作的誕生無不與詩人和文學家豐富的想象力有關。，

比如詩仙李白用“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”來描繪瀑布從險峻山上傾瀉而下的奇景，詩圣杜甫用“詞源倒流三峽水，筆陣獨掃千人軍”來形容筆力雄健文氣磅礴，著名詩人賀知章用“不知細葉誰裁出，二月春風似剪刀”來巧妙描繪春風催發柳葉的動人景象等，其中詩人們超凡脫俗的想象力令人折服。

我國古代名作吳承恩的《西游記》與蒲松齡的《聊齋志異》更是用奇特的想象，描繪出現實中根本不存在的神奇情境和匪夷所思的故事情節，讓人讀罷心馳神往嘆為觀止。

其實，不只是文學需要想象，數學同樣也需要想象，甚至具有抽象性特征的這門學科更需要想象。

兩個人往一張普通的圓桌上輪流放一枚硬幣，交替進行。規則是每一枚硬幣都必須平放在桌上而且不許重疊，誰在桌上放下最后一枚硬幣，誰就獲勝。

現在有一個問題：有沒有方法判斷哪一方一定能獲勝呢?這個問題的答案是：選擇先放的一方必獲勝。

有的同學會問：“為什么呢?”，最容易的方法是，想象硬幣慢慢地大起來，最后極端的情況就是“硬幣與圓桌一樣大”，那么顯然先放的那個人必獲勝。因為這個人放了以后，另一個人就不好再放了。

類似地，對于下面的這則據說是微軟公司的面試題：如果你有兩個桶，一個裝的是紅色的顏料，另一個裝的是藍色的顏料。你從藍色顏料桶里舀一杯，倒入紅色顏料桶，再從紅色顏料桶里舀一杯捌入藍顏料桶。兩個桶中紅藍顏料的比例哪個更高?也可以利用大膽的想象進行簡潔的解答。

即假定兩個桶中都只各有一杯紅藍顏料，顯然，完成第一次操作后，紅桶中有兩杯混合顏料，紅藍或藍紅比例完全相同，這時再進行第二次操作，也就是把兩杯比例相同的混合顏料一分為二，顯然最后兩桶中的紅藍顏料的比例一樣。

另外下面這個至今仍為廣大數學愛好者津津樂道的關于勾股定理的巧妙證明，更能夠充分反映出想象力的特點，即想象力是在過去感知材料的基礎上，重新創造出新事物形象的能力。

大家都知道“勾股定理”的內容是：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方(a²+b²＝c²。古往今來，因“勾股定理”證明的多樣性，許多數學家和廣大數學愛好者對其研究興趣不減，各種巧妙證明也層出不窮，令人賞心悅目。

而其中12世紀印度著名的大數學家婆什迦羅的證明最為奇特，他只畫出了如下兩個圖，就把勾股定理證完了。

原來，婆什迦羅是用(1)、(2)兩圖表示了一個巧妙的轉換，從而進行直觀明了的簡潔證明。具體的思路是：圖(1)中的四個直角三角形即陰影部分圖形，可拼成圖(2)中的兩個矩形也是陰影部分，且圖(1)中剩余的小正方形，直接移到圖(2)的左上角，說明圖(1)與圖(2)面積相等。

同時注意到，在圖(2)上補上虛線AB之后；圖(2)中那“階梯”圖形就自然分割為兩個正方形，面積分別為a2和b2；而圖(1)的面積顯然為C：因此有c²＝a²+b²。從中不難發現，婆什迦羅大膽想象轉化圖形是巧妙證明的關鍵。

而最具代表性的則是我國古代算術趣題“雞兔同籠”問題的解答。這里為了說明想象的重要與靈活，我們對于它的常用解答“假設置換法”不作贅述，只對其中具有奇趣和奇妙特點的解答進行描述。“籠中有雞和兔若干只，它們共有50個頭和120只腳，問雞和兔子各有多少只?”

假設雞兔都受過特殊訓練，一聲令下，雞收起一條腿成金雞獨立狀，使兔抬起兩只腳成玉兔拜月狀。如此變化成雞1只腳兔2只腳，則總腳數減少了一半為60只，而總頭數不變仍為50只，兩數相減，由雞兔的頭數與對應的腳數的關系式：雞頭＝雞腳，兔腳＝2兔頭，不難發現差(雞腳+兔腳)一(雞頭+兔頭)＝60－50＝10正是兔頭數，即兔為10只，則雞的只數為50－10＝40只。

假定兔子成玉兔拜月狀，則籠中的兔子和雞都成了一個頭兩條腳的動物，這時籠中的腳為50×2＝100只，比事實上的120只腳少去120－100＝20只。少去的腳數就是兔子起立時，減少的兔子腳數，因此兔子的數量為20÷2＝10只，則雞的只數為50－10＝40只。

假定每只雞的翅膀也是腳，則籠中的雞和兔都是一個頭四條腳的動物，這時籠中的腳為50×4＝200只，比事實上的120只腳多出200－120＝80只腳，多出的腳數就是因為把雞的翅膀當作了腳計數，從而說明這80只腳實際上是雞的翅膀。因為每只雞有兩只翅膀，所以雞有80÷2＝40只，則兔有50－40＝10只。

假定每只兔再長出一只頭，再把每只變異的兔從中剖開，這樣每只雞和兔就都是一個頭兩只腳的動物了，根據題意雞兔的總腳數為120只，則這樣的雞兔應有120÷2＝60只，比事實上的50只多了60－50＝10只，這多出lO只是因為每只兔又長出了一只頭，從而說明原有10只兔，則雞有50－10＝40只。

假定雞兔都被“砍去”兩只腳，則剩余腳為120－50×2＝20只，雞的腳去完了，則剩下的20只腳全是兔腳，這時每只兔只有兩只腳，于是兔有20÷2＝10只，則雞的只數為50－10＝40只。

從上面層出不窮的巧妙解答可以發現，憑借想象。原本枯燥的問題立刻變得生動有趣，原本復雜的問題立即變得簡單易解。

想象力是人類獨有的才能，是人類智慧的生命。在創造發明和探索新知識的過程中，想象力是一切希望和靈感的源泉。愛因斯坦曾說過：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力是無限的，它概括著世界的一切，推動著進步，并且是知識進化的源泉……”

曾獲“菲爾茨獎”的日本京都大學的森重文教授內向少言，回答記者的每一個問題，他都要沉吟半晌，但當記者問他“您認為學習數學最重要的是什么”時，森重文教授的答案幾乎是脫口而出：“是想象力和創造性。”這也驗證了一句老話：“不怕做不到，就怕想不到。”

那么豐富的想象力從何而來呢?它既不可能從天上掉下來，也不是頭腦中固有的，而是在我們的學習和實踐中逐步培養和鍛煉起來的。

我們應勤學博覽，擴大知識面，接受各種新的信息，獲得啟發，從而豐富和增強自己的想象力。這樣，在合適的時機，合理的想象就能不斷產生新觀點新方法。