灰色預測在建筑物沉降變形分析中的應用

宋蕾，張俊中，張健雄

(1.河南省測繪工程院，河南鄭州 450008； 2.河南省建筑科學研究院，河南鄭州 450053；3.河南理工大學測繪與國土信息工程學院，河南焦作 454000)

灰色預測在建筑物沉降變形分析中的應用

宋蕾1?，張俊中2，張健雄3

(1.河南省測繪工程院，河南鄭州 450008； 2.河南省建筑科學研究院，河南鄭州 450053；3.河南理工大學測繪與國土信息工程學院，河南焦作 454000)

通過對廣州市某地產開發公司新建的居民樓沉降變形監測數據進行處理，分別建立傳統的GM(1，1)模型和以相鄰觀測時間間隔為權直接生成1－WAGO非等間隔GM(1，1)模型，對兩種模型進行分析與預報，比較的結果驗證了1－WAGO非等間隔GM(1，1)模型在建筑物沉降變形分析中的實用性、正確性和有效性。

灰色系統；非等間隔；GM(1，1)模型；1－WAGO；變形分析和預測

1 引 言

對于建筑物，必須進行變形監測，分析與預報，用來指導施工和確保施工質量的一種理論依據，灰色系統理論用于建筑物的變形分析與預報是比較合適的理論體系。灰色理論GM(1，1)模型都是以等時間間隔(等步長)序列建模。在工程實踐中，沉降變形觀測資料一般都是以不等時間間隔的數據序列[1]，因此，須將等時間間隔序列的灰色理論模型推廣到非等時間間隔序列。本文基于非等時間間隔建筑物的CJ1號點沉降觀測數據為例，建立非等間隔GM(1，1)模型和以相鄰觀測時間間隔為權直接生成1－WAGO的序列模型，分別對建筑物的變形進行了分析與預報，比較的結果驗證了1－WAGO灰色模型在建筑物沉降變形分析中的實用性、正確性和有效性。

2 非等間隔序列GM(1，1)模型的建立

灰色系統預測的基本思路是:把隨時間變化的一隨機正的數據序列，通過適當的方式累加，使之變成為非負遞增的數據序列，并用適當的曲線逼近，以此曲線作為預測模型，對系統進行預測。

2.1 改進的非等間隔序列GM(1，1)模型[2]

當觀測資料為非等間隔序列時，應先將非等間隔序列的原始觀測資料變成等間隔序列，再以此為基礎生成預測模型。

非等間隔GM模型有內插值改進法、二次參數擬合法、直接累加生成法等多種改進方法，本文采用單位時段差系數修正法形成非等間隔GM模型。

(1)判斷觀測周期為非等時間間隔

(2)T(0)(i)＝{t1，t2，…tn}，則平均時間間隔為:

(3)各時段與平均時段的單位時段差系數μ(ti)為:

(4)則各時段總的差值為△x(0)(ti)

(5)各等間隔點的灰指數為:?i

于是得到等間隔序列為:

上式即為非等時空距的t時刻的灰色預測模型值。

2.2 非等間隔序列GM(1，1)模型的精度檢驗

對模型精度即模型擬合程度評定的方法有殘差大小檢驗、關聯度檢驗和后驗差檢驗三種。殘差大小檢驗是對模型值和實際值的誤差進行逐點檢驗；關聯度檢驗是考察模型值與建模序列曲線的相似程度；后驗差檢驗是對殘差分布的統計特性進行檢驗，它由后驗差比值C和小誤差概率P共同描述。灰色模型的精度通常用后驗差方法檢驗[3]。

即k時刻x(0)(k)與(k)之差為:

e(k)稱為k時刻殘差。記實際數據x(0)(k)，k＝1，2，3，…，n的平均值為:

記殘差e(k)，k＝1，2，3，…，n的平均值為:

記原始數據(實際數據)的方差為:

記殘差方差為:

C稱為后驗差比值:

P為小概率事件:

指標C越小越好，C越小，表示S1越大而S2越小。S1大，表示原始數據離散程度大。S2小，表示殘差離散程度小。C小，表明盡管原始數據很離散，而模型所得計算值與實際值之差并不太離散。指標P越大越好，P越大，表明殘差與殘差平均值之差小于給定值0.6745S1的點較多。根據C與P兩個指標，可綜合評定模型精度。于是，模型的精度級別＝max{P所在的級別，C所在的級別}。表1為模型精度等級。

模型精度等級 表1

2.3 1－WAGO非等間隔序列GM(1，1)模型

針對數據非等間隔特點，還有以相鄰觀測時間間隔為權，作觀測序列1－WAGO[4，5](Weight Accumulating Generation Operator)生成，直接建立非等間隔GM (1，l)模型。將GM(1，1)模型應用于建筑物的沉降觀測分析與預報，應用表明該模型具有較好的實用性和較高的預報精度。

設ti時刻觀測數據為x(0)(ti)，當相鄰次觀測時間間隔不等時，序列x(0)＝{x(0)(t1)，x(0)(t2)，…x(0)(tn)}稱為非等間隔(步長)觀測序列。對x(0)做一次1－WAGO[6]生成x(1)＝{x(1)(t1)，x(1)(t2)，…x(1)(tn)}，其中:

式中，a，u為參數。微分方程的解為:

兩式相減變換形式得差分還原公式為:

精度檢驗和上面的一樣。

3 工程應用

本文所述的工程為廣州市某地產開發公司新建的居民樓，依據有關規范[7]結合設計要求，在7棟居民樓布設28個沉降觀測點。點號分別為(CJ1－CJ 28)。各沉降點埋設圓鋼作為標志，該圓鋼與居民樓連接在一起，伸出墻外5 cm～10 cm。水準工作基點布設在距該居民樓約20 m的地方，布設水準工作基點3個(BMI1－BMI3)，和廣州市水利水電勘測設計院提供的珠基高程點N12、N9、N8、N7進行聯測。每次施測時對其進行監測，以確定該基準點的穩定性。由工作基點BMI1作為起算點，進行聯測。按照二等水準測量的要求進行往返測，對變形監測點進行了25期監測，觀測精度均符合二等水準測量的技術要求，結果基準點穩定，可以進行數據的測量工作。

本文以建筑物的CJ1號點沉降觀測數據為例，CJ1號的觀測精度符合二等水準測量的要求，來說明傳統GM(1，1)模型和1－WAGO非等間隔序列GM(1，1)模型在沉降觀測中的應用。CJ1號點的部分觀測值數據(備注:其他的高程值減去首次的高程值是“＋”值，代表建筑物下降)，如表2所示。

CJ1沉降觀測點的部分資料 表2

3.1 數據計算

根據前面介紹的非等間隔數據建模的方法，利用10期的數據分別進行建模，為了進行數據的擬合和預測比較，兩次的建模數據利用相同的觀測高程值，采用兩種方法進行建模，分別是傳統的GM(1，1)和1－WAGO非等間隔序列GM(1，1)模型。

傳統的建模過程如下:根據表2 CJ1在各個觀測時段的高程值數據，利用表2中的10個數據，按照非等間隔序列建立預測模型，根據式(1)計算得到△t0＝7.11，利用式(2)～式(6)，其他的參數計算，如表3所示。

根據表3中的參數及計算公式

＝[a，u]T＝(BTB)－1BTyN＝[－0.00003393，17.711838]T，由此可以建立相應灰色微分方程的時間響應函數:

還原為非等間隔數列中與時間t有關的響應函數:

1－WAGO非等間隔模型建模過程如下:根據表2 CJ1在各個觀測時段的高程值數據，利用表2中的10個數據，按照相鄰觀測時間間隔為權，作觀測序列1－WAGO生成，直接建立非等間隔GM(1，l)模型。根據式(17)計算△t＝{1，5，10，16，11，16，1，2，2，1}，原始的觀測序列x(0)的1－WAGO的序列x(1)的緊鄰均值生成序列:

根據Z(1)計算出參數a、u的最小二乘解為:

最終建立的預測方程為:

表4是傳統的GM(1，1)模型和1－WAGO非等間隔GM(1，1)模型的擬合結果，表5是傳統的GM(1，1)模型和1－WAGO非等間隔GM(1，1)模型的預測結果。

兩種模型擬合結果 表4

3.2 灰色模型精度分析和灰色預測

從表4可以看出，傳統模型擬合平均誤差為0.847 2 mm，后驗差比值C＝0.459 5，非等間隔模型(1－WAGO)擬合平均誤差為0.635 8 mm，后驗差比值C＝0.427 8，這說明兩種模型擬合的精度和可靠性差別不是太大。

兩種模型預測結果 表5

最后五次的高程變化量 表6

4 結 語

通過上述實例計算分析可見，通過非等間隔時間的10個監測數據進行建模，模型精度均為2級。依此模型對后續5個觀測時間的高程值進行預測，其預測值和實測值也是非常接近，相對誤差較小，說明模型的質量比較好，表明了非等間隔模型(1－WAGO)的模型可靠性強，精度較高。影響建筑物沉降的因素較多，模型建立難度較大，將灰色理論及灰色模型預報技術應用于變形監測點沉降預報的研究結果表明，精度很高，采用GM模型預報沉降變形監測預報結果能夠滿足要求。本文參考一些相關的資料所建立的1－WAGO灰色模型預測模型，計算步驟簡單，直接省去了把非等間隔時間化為等間隔時間，工程實例應用表明，1－WAGO灰色模型預測精度比傳統的模型預測精度高，所建立的預測模型具有較好的可靠性和可行性。

[1] 劉明波，田亞林，孫和平.非等步長GM(1，1)模型及其在大堤沉降監測的應用[J].測繪工程，2006，15(3):58～60

[2] 黃生享，尹輝.變形檢測數據處理.[M].武漢:武漢大學出版社，2003，108～109

[3] 汪祖名.高速公路軟土地基沉降變形監測分析與預報[J].蘇州科技學院學報(工程技術版)，2004，17(2):34～40

[4] 龔建伍.建筑物變形監測及安全評價方法研究[D].武漢:武漢大學，2004

[5] 齊長鑫，汪樹玉.灰色系統模型在壩基位移預測中的應用[J].水利學報，1996，9(5):49～52

[6] 藍悅明，王新洲.灰色預測用于大壩變形預測的研究[J].武漢測繪科技大學報，1996，21(5):350～354

[7] GB 50026－2007.工程測量規范[S].

Application of Gray Forecast in the Deformation Analysis of Building

Song Lei1，Zhang JunZhong2，Zhang JianXiong3
(1.Surveying and mapping academy of engineering HeNan，Zhengzhou 450008，China；2.HeNan provincial academy of building research，Zhengzhou 450053，China；3.School of surveying and land information engineering of He Nan Polytechnic University，Jiaozuo 454000，China)

Through a real estate development company in Guangzhou City，the new residential building settlement monitoring data processing.It has respectively applied for the traditional GM(1，1)model and the adjacent observation time intervals to the right to directly generate 1－WAGO non－interval GM(1，1)model，Which have carried on the analysis and the forecast to two kind of models.The result verifies the 1－WAGO non－interval GM(1，1)model in building in the settlement of practicality，accuracy and effectiveness.

gray systems；non－interval；GM(1，1)model；1－WAGO model；analysis and forecasting of deformation

1672－8262(2010)03－94－05

TU196.2

B

2010—09—18

宋蕾(1984—)，女，助理工程師，研究方向:變形監測和數據處理。

河南省重點科技攻關項目(0302032700)