殘差灰色組合模型在建筑物變形分析中的應用

陳偉清，陳佳佳，田海濤

(1.廣西大學土木建筑工程學院，廣西南寧 530004； 2.桂林理工大學土木與建筑工程學院，廣西桂林 541004；3.云南中正房屋測繪有限公司，云南昆明 650200)

殘差灰色組合模型在建筑物變形分析中的應用

陳偉清1?，陳佳佳2，田海濤3

(1.廣西大學土木建筑工程學院，廣西南寧 530004； 2.桂林理工大學土木與建筑工程學院，廣西桂林 541004；3.云南中正房屋測繪有限公司，云南昆明 650200)

在傳統灰色系統理論建模分析的基礎上，將原始觀測數據序列與所建模型預測數列進行比較，并將比較后的殘差納入系統，繼續建立灰色模型進行分析。事實證明:在建筑物變形分析中使用殘差灰色組合模型，能有效提高模型精度，獲得良好的預測效果，是一種既方便又可靠的變形分析方法。

灰色系統；變形分析；殘差灰色組合模型

隨著20多年來灰色系統理論的巨大發展，許多科學和生產領域都開始應用灰色系統理論建模進行分析。工程方面的應用比較早的有大壩形變監測工作，目前在高層建筑物、構筑物的變形分析中也開始逐漸應用[1]。最普通的方法是對變形觀測的原始累計數據建立灰色模型，并進行預測分析。如果一次建模分析后，對所得殘差繼續進行建模，與一次建模的結果共同組合，會收到良好的分析效果[2]。

1 灰色建模基本原理

1.1 GM(1，1)灰色模型

設初始數據序列為:

對(1)式作一次累加生成，得:

對式(2)建立一階線性微分方程，稱為模型的白化方程[3]:

其中，a為發展系數，b為灰色作用量。

根據最小二乘原理，GM(1，1)模型中的參數向量為[4]:

可解出發展系數a和灰色作用量b。

再作累減生成，可得模型的還原預測值[6]:

1.2 q－GM(1，1)殘差灰色組合模型

由于單變量一階灰色預測模型GM(1，1)的原始序列x(k)要求為非負數，因而在遇到變形數據為負數序列時，就需要進行轉化。現采用直接將序列加一常數的平移變換方法，即使序列各項為正數，且經過平移變換還能提高模型精度。由于常數不同，所建模型序列的起始零點就不同，添加常數后使計算零點升高，預測值增大。因此，建模時應經過多次平移變換以得到最合理的預測模型[8]。

2 灰色模型精度檢驗的算法

灰色模型常采用后驗差法進行精度檢驗。即以各點預測誤差q(0)(k)為基礎，檢驗后驗差比值C和小誤差概率P的大小，從而評定模型的精度[9]。殘差值q(k)、后驗差比值C和小誤差概率P分別按下式計算:

式中，s1為原始數列的標準差，s2為殘差數列的標準差。C值越小，預測模型越好，P值越大，說明小誤差的概率大，模型精度越高。各類精度等級的C、P值見表1[10]。

GM(1，1)模型精度檢驗標準 表1

3 殘差灰色組合模型建立與應用分析

以某商務大廈的變形觀測資料為例，表2為1號監測點位在各期的原始沉降數據，觀測時間從2007年4月開始到2007年7月結束，歷時90天。

某商務大廈1號點位各期原始沉降數據 表2

3.1 GM(1，1)模型建立

選用表2中前7個周期的原始累計沉降值x(k)＝{x(1)，x(2)，…，x(7)}進行建模預測。為方便建模和計算，將x(k)直接平移10，得建模的初始序列x(0)(k)，作一次累加生成x(1)(k)序列，由此建立GM (1，1)模型[11]，經累減還原得累計沉降預測序列值(k)，再計算出殘差值q(k)和相對殘差值ε(0)(k)，計算結果如表3所示。

x(k)原始序列直接平移10的建模結果 表3

在表3中，后驗差比C＝0.099 7＜0.35，小誤差概率P＝100%＞95%，說明所建GM(1，1)模型良好，精度達到一級標準。

3.2 殘差灰色組合模型建立與應用

(1)殘差序列直接建模分析

取表3內第2－7期殘差序列q(k)直接平移10得建模的初始數據序列q(0)(k)，一次累加生成q(1)(k)序列，由此建立GM(1，1)模型，經累減還原得到殘差預測序列值(k)，再計算出q(k)的殘差值q(0)q(k)和相對殘差值ε(0)q(k)[12]，結果如表4所示。

q(k)殘差序列直接平移10的建模結果 表4

在表4中，殘差模型的后驗差比C＞0.65，模型精度檢驗不合格，需要重新進行數據變換。同時發現，在使用原始數據序列x(k)和殘差序列q(k)分別建模所計算的相對殘差ε(0)(k)最大值均處在第6個周期。因此，可以分別將x(k)和q(k)中的第6個數據剔除后重新建模。此時，殘差初始序列變為q(j)，對該序列重新進行數據變換，分別直接平移50和100建立GM (1，1)模型，計算結果如表5所示。

q(j)分別直接平移50和100的建模預測結果 表5

從表5的結果可以看出，對殘差序列q(k)剔除第6項后，分別直接平移50和100所建GM(1，1)模型的數據變換逆還原結果基本一致，后驗差比和小概率誤差均相同，0.35＜C＝0.449 9＜0.50，P＝100%，模型檢驗合格，精度為二級[13]。此時若再添加平移量建模，其結果對精度已無提高。

(2)殘差序列組合建模與預測

從表4中可以看出，原始數據序列第6項為最大殘差項，將x(k)剔除第6項后分別平移10和50建模并預測，其結果如表6所示。

x(k′)序列分別直接平移10和50的建模預測結果 表6

從以上平移變換的建模結果中可以看出，平移量不同所建立模型的參數不同，預測結果也不一樣[14]。但是，對初始序列平移值的選擇要根據需要來確定的，雖然平移值越大，相對殘差變小，但有時也會出現預測還原值與實際值差異過大，因此不能一味追求小殘差而選擇大平移值。一般來說，在變形分析中對初始數據的平移變換值沒有嚴格要求，通常以預測還原值與實際值最接近為基本原則，利用Matlab等計算工具經過反復試算，以確定合適的數據變換方法[15]。在表6中，初始數據直接平移10所建模型的預測還原值與實際值最接近。

殘差灰色組合模型預測比對結果 表7

從以上數值可以看出，殘差擬合值更加接近實測值。在建筑物變形分析中，采用第一次建模后所得殘差與第一次建模結果共同組合繼續建模，所獲得的殘差灰色組合模型適合進行短期預測，且預測效果良好。

4 結 論

在建筑物變形分析中，通過對原始序列建立GM (1，1)模型后繼續分析殘差，剔除相對殘差太大的數據項，建立殘差的GM(1，1)模型并進行預測，最后與原數據序列的GM(1，1)進行擬合，并通過平移變換的方法提高建模序列的起始零點，將序列變為非負，這種用q－GM(1，1)殘差灰色組合模型對GM(1，1)灰色模型進行修正后的預測值，明顯優于GM(1，1)模型，且模型精度基本上達到了一級標準。事實證明，q－GM (1，1)在建筑物變形分析中取得了良好的預測效果，是一種既方便又可靠的方法。

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The Application of Residual Gray Combination Model in Building Deformation Analysis

Chen WeiQing1，Chen JiaJia2，Tian HaiTao3
(1.College of Civil and Architectural Engineering，Guangxi University，Nanning 530004，China；2.College of Civil and Construction Engineering，Guilin University of Technology，Guilin 541004，China；3.Housing Survey and Mapping Co.，Ltd.Zhongzheng 650200，China)

This paper analyzes the traditional model of gray system theory，based on the original observation data sequence and the model predicted the number of columns compared with the residual and more into the system after，continue to build the gray system model for analysis.Facts have proved:Using the residual gray combination model in the building distortion analysis，can improve effectively the accuracy of model，obtain good prediction，is a convenient and reliable method of deformation analysis.

grey system；deformation analysis；residual gray combination model

1672－8262(2010)03－99－04

TU196

A

2010—09—23

陳偉清(1964—)，女，教授，主要從事工程測量、GIS應用研究。

廣西自然科學基金項目(2010GXNSFA013002)；廣西教育廳科研項目(200808MS148)