應用地球橢球模型計算冬至日日照時數

楊小兵

(黃山市城市測繪院，安徽黃山 245000)

應用地球橢球模型計算冬至日日照時數

楊小兵?

(黃山市城市測繪院，安徽黃山 245000)

日照是人類不可缺少生產生活的活動和元素，運用地球橢球理論、地球與太陽的運動規律，適用一套數學模型，充分利用空間橢球、橢圓的變換關系，逐步分析地球上任意緯度在冬至日當天的理論日照時數，當然此方法除了春分或秋分及夏至日還可以計算出任意日期任意緯度當天理論日照時數，把一年中每天的日照時數累加起來就可算出當地的年日照時數。

地球；太陽；地球橢球；橢圓；子午圈；平行圈；曲率半經；數學模型；太陽高度角；冬至日照時數

1 概 述

地球自西向東繞地軸自轉及地球繞太陽自西向東沿黃道面旋轉，使得自然界有了晝和夜與春夏秋冬四季之分，讓地球上的萬物得以生長和休憩。正因為太陽與地球都在不斷運動當中，所以它們的相對關系總是在發生變化的，導致不同地區不同時刻能接受到陽光的強度都是有差別的。

近年來，我國房地產業發展迅速，越來越多的居民喬遷新居，居住條件和環境顯著改善。但因采光問題在房地產開發、舊城區改造過程引起的糾紛已日益增多。為減少或者避免這類糾紛發生，在規劃過程中就必須按照《城市居住規劃設計規范》關于日照條件的規定來嚴格執行。本文從地球與太陽運動規律角度，運用測繪領域使用的參考地球橢球原理來闡述日照時數的計算方法和過程。

2 基本原理

2.1 地球橢球

人們為了方便對地球模型的研究，而選擇一定的參考橢球來表示起伏不定的地球。

(1)地球橢球是由長軸為a，短軸為b的橢圓繞短軸b旋轉而形成的。

(2)旋轉軸所在平面稱為子午面，子午面和地球橢球面的截線稱為子午圈；垂直于旋轉軸的平面和地球橢球面的截線，稱為平行圈，通過地球質心的平行圈稱為赤道。

(3)地球橢球的短軸b與地軸平行；起始大地子午面與起始天文子午面平行。

(4)我國目前執行的CGCS2000坐標系地球橢球的基本幾何參數為:長軸a＝6 378 137 m，扁率f＝1/298.257 222 101，由此計算短軸b＝6 356 752.314 m。

(5)地球自轉1小時轉過的經度約為15°。

2.2 日照

(1)規律:太陽直射點在地球的南北回歸線來回移動，從直射點往南北兩側遞減，離直射點距離越近(緯度差越小)，正午太陽高度角越大。

(2)最值:直射南回歸線，南回歸線以南地區太陽高度角達一年中最大徝(見圖1)，整個北半球達一年中最小值，此時北半球正值冬至日，夜長大于晝長，甚至在北緯圈以上部分地區出現極夜的現象，而南半球正值夏至日，晝長大于夜長，甚至在南緯圈以南部分地區出現極晝現象；如果太陽直射北回歸線，則情況正好相反。

圖1 太陽直射南回歸線側視圖(西)

(3)太陽直射赤道時，南北半球日照量相等，且是春分日或秋分日。

(4)晨昏線所在的平面垂直于太陽直射方向；赤道處的晝長與夜長始終相等均為12 h。因此晨昏線在赤道上交點的經差正好是180°。

(5)公式:太陽高度角A＝90°－｜φ＋δ｜，其中φ為當地緯度，δ為直射緯度，如果φ與δ在同一半球則δ取負號，否則取正號。一天之中太陽高度最大，地方時為12時。

3 模型建立

綜合地球橢球的模型與日照規律，用圖一來表示太陽照射地球的景象，可以建立以下日照地球橢球數學模型:

①為了便于計算，首先建立一空間直角坐標系(O—XYZ)，以橢球中心為原點O，OZ軸與橢球旋轉軸b一致，并且指向北極為正，OY軸位于太陽正午直射子午面與赤道面的交線上，并且指向迎接陽光的方向為正，在赤道面上與Y軸正交的方向為X軸。O—XYZ構成右手坐標系(見圖1)。以下所列立的方程均為在空間直角坐標系(O—XYZ)下的方程。則地球橢球方程為:

②兩個重要子午線橢圓，一個是位于OY軸上子午線橢圓，也是太陽直射方向的子午線橢圓正值當地地方時12時，為了敘述方便簡稱12時橢圓，其方程為:

另一個是位OX軸上子午線橢圓，也是過晨昏線與赤道的兩交點的子午線橢圓正值當地地方時6時，簡稱為6時橢圓，由此可知6時與12時橢圓是正交的，其方程為:

③計算式(2)確定的橢圓的曲率半徑，橢圓上的任意點曲率半徑N與橢圓上的點的關系可以表示為:

圖2 橢圓曲率半徑

如圖2所示，則:

④由圖1知，晨昏圈是由6時橢圓平面繞X軸旋轉δ角度后與地球橢球面的截線，因此可以這樣確定晨昏線橢圓方程:6時橢圓長軸a不變，而短軸由b縮短為b′后的橢圓繞X軸旋轉δ角度后形成晨昏線橢圓，由圖1知此δ角度即為太陽直射緯度，b′即為12時橢圓在δ角度時的曲率半徑N，N由式(4)算得。6時橢圓短軸縮短后的方程為:

將其改寫為參數方程為:

然后將其繞X軸旋轉δ角度后的參數方程為:

圖3 P點處子午圈曲率半徑

⑤由圖3知當橢圓繞b軸旋轉形成的橢球面上同一緯度φ所圍成的平行圏在子午線方向的曲率半徑是相等的，

由上式代入式(3)得:

⑥在一天過程中，可以假設太陽相對地球是靜止不動的，由于地球自轉引起當地P點由晨線繞平行圈經正午太陽直射至昏線處，經歷的這段時間即為P點所在地當日的日照時數。由圖4可知，在赤道處晨線所在的位置是6時，所以只要求出OP在XOY平面上投影線與X軸的夾角△L即可求出P點處晨線的時間。

圖4 晨線與當地經緯線關系側視圖(西)

圖5 △L示意圖

由圖3知:

將其與式(5)聯立可以解得橢圓的角度參數θ，從而求出交點P的空間坐標(x，y，z)，由:

解得P點與XOZ平面的經差；那么P點處晨線時間為:

注:△L以度為單位。

4 算 例

下面以當地緯度φ＝N29°42′冬至日為例來計算全天的日照時數，這里不考慮地形因素。此時太陽直射南回歸線δ＝S23°26′。正午太陽高角A＝90°－｜29°42′＋23°26′｜＝36°52′。

①由式(4)計算得:

②由式(6)計算得P點子午線處曲率半徑:

③將z值代入式(5)參數方程解得:

將θ參數反代入式(5)參數方程解得:

④將x，y值代入式(8)解得△L＝14°18′47.86″，則△T＝0小時57分15秒。即P點在冬至日那天要到6點57分15秒可以看到日出，因為晨線與昏線是對稱的，即太陽落山日間為17時02分45秒，所以全天日照時數為10 h 5 min 30 s。

⑤算例:如表1所示。

不同地球參考橢球、不同緯度計算冬至日日照時數 表1

5 結 語

通過冬至日日照時間長度計算列表可以看出，選擇不同的參考橢球對日照時數是沒有影響的，這說明日照是大自然的客觀現象，是不以人們的意志為轉移的。對日照時間長度的主要影響還在于當地緯度的高低，高緯度地區比低緯度地區的日照時數少，同緯度地區地勢較高的地區日照時數稍長，這與人們日常生活的感覺是一樣的，我國北方夏季涼爽，冬季寒冷，而南方夏季炎熱，冬季較溫暖。應用這種計算方法可以將日照時間長度精確到分鐘，不僅僅能應用到城鄉規劃領域，在農業、林業、及水產業只要對光照條件有比較苛刻的要求，都可以精確的對當地日照做出預判，選擇比較理想的日照時數來滿足要求，為生產活動提供理論保障。

[1] 杜永昌.控制測量[M].北京:冶金工業出版社，1992

[2] 人民教育出版社課程教材研究所.全日制普通高級中學(必修)地理(第一冊).北京:人民教育出版社，2007

[3] GB 50180－93.城市居住區規劃設計規范.

[4] CJJ 8－99.城市測量規范.

Using the Model of the Earth Ellipsoid Theory to Calculate Hours of Solar in the Winter Solstice

Yang XiaoBing
(Huangshan Urban Surveying and Mapping Institute，Huangshan 245000，China)

Solar is an indispensable human production activities and life element，Using the earth ellipsoid theory and the movement of the earth and the sun，apply a mathematical model and full use of space ellipsoid，elliptical transform relationships，gradually analyse methods of calculating hours of Solar at any latitude on the earth in the Winter Solstice，and can calculate the date of the Spring Equinox or the Autumnal Equinox and the Summer Solstice as well，Or each other date of a year is useful，So adding all hours of Solar can get total hours of one year Solar.

Earth；Sun；Earth ellipsoid；Ellipse；Meridian ellipse；Parallel ellipse；Curvature radius；Mathematical model；Solar altitude Angle；the Winter Solstice；Hours of Solar

1672－8262(2010)03－103－03

P226

B

2010—12—06

楊小兵(1977—)，男，工程師，主要從事城市測繪、城市GIS建設與管理、數字化航空攝影測繪等。