GM(1，1)與自回歸模型在位移監(jiān)測中的應(yīng)用

趙言，花向紅，翟高鵬

(1.武漢大學(xué)測繪學(xué)院，湖北武漢 430079； 2.武漢大學(xué)災(zāi)害監(jiān)測與防治研究中心，湖北武漢 430079)

GM(1，1)與自回歸模型在位移監(jiān)測中的應(yīng)用

趙言1，2?，花向紅1，2，翟高鵬1，2

(1.武漢大學(xué)測繪學(xué)院，湖北武漢 430079； 2.武漢大學(xué)災(zāi)害監(jiān)測與防治研究中心，湖北武漢 430079)

通過分析建筑物位移監(jiān)測數(shù)據(jù)的特點，采用GM(1，1)和自回歸模型對建筑物位移監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，實現(xiàn)了兩種數(shù)據(jù)處理模型的建模過程，并用于建筑物位移變化量的實際預(yù)測，驗證了模型的可行性。

GM(1，1)；自回歸模型；建筑物位移；變形預(yù)報

目前，在建筑物位移監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中，能夠進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的方法有很多種，如灰色關(guān)聯(lián)分析法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、曲線擬合法等，但這些方法對監(jiān)測數(shù)據(jù)都有一定的限制要求，如果條件不符，則會在預(yù)報分析中產(chǎn)生較大的誤差。針對這種情況，根據(jù)建筑物位移監(jiān)測數(shù)據(jù)的特點，將GM(1，1)和自回歸模型引入建筑物位移監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中，通過對某大壩建筑物位移監(jiān)測數(shù)據(jù)的計算分析，驗證其可行性與有效性。

1 GM(1，1)與自回歸模型

1.1 GM(1，1)模型

GM(1，1)模型法作為最常用、最簡單的一種灰色模型，是由一個只包含單變量的微分方程構(gòu)成的模型，由于具有所需數(shù)據(jù)少、計算量小的優(yōu)點而得到了廣泛的應(yīng)用。具體建模過程的步驟如下:

(1)設(shè)有n個非負(fù)原始觀測數(shù)據(jù)序列:

一次累加序列:

(2)利用X(1)構(gòu)造新序列:

其中:z(1)(k)＝0.5[x(1)(k)＋x(1)(k－1)]，k＝2，3，…，n

(3)建立灰色GM(1，1)模型的一級白化微分方程:dx(1)(t)/dt＋ax(1)(t)＝b，式中，a是用來控制模型模擬發(fā)展態(tài)勢的大小，稱為發(fā)展系數(shù)；b用來反映觀測資料變化的關(guān)系，稱為灰色作用量；

(4)根據(jù)最小二乘原理，灰色GM(1，1)模型的參數(shù)列為:

(5)將計算求出的參數(shù)a，b代入微分方程式，取x(0)(1)為初始條件，那么可以得到X(1)的時間響應(yīng)函數(shù):

對式(1)作一階累減計算，則可以得到原始序列X(0)的還原值:

當(dāng)k≤n時，所得式(2)的值為原始數(shù)據(jù)的擬合值，當(dāng)k＞n時，所得數(shù)值為預(yù)測值。

1.2 自回歸模型

自回歸模型所要研究的是一組隨時間變化而相互關(guān)聯(lián)的平穩(wěn)數(shù)據(jù)序列，在數(shù)據(jù)序列中，不同時刻的數(shù)據(jù)彼此間具有一定的相關(guān)性。因此，自回歸擬合模型是依據(jù)已知樣本值x1，x2，…，xn，通過一系列的分析步驟對AR(n)模型做出估計，利用包括現(xiàn)在和以前的所有監(jiān)測資料，對未來時刻的可能值進(jìn)行預(yù)測。下面主要介紹一種建立自回歸模型的較好方法。

假設(shè){xt}是一個平穩(wěn)數(shù)據(jù)序列，已有的測量觀測值為x1，x2，…xt，未來(t＋l)時刻的變化量為xt＋l，將其預(yù)測值記為(l)，即從t時刻開始向前l(fā)步進(jìn)行預(yù)測。根據(jù)最小二乘原理，有:E[xt＋l－(l)]2＝min，即，使預(yù)測誤差的方差最小，則稱(l)為xt＋l的最佳估值。具體建模過程見參考文獻(xiàn)[1]。

2 實驗分析

針對以上兩種模型建模原理，利用對某大壩建筑物一個位移監(jiān)測點監(jiān)測獲取的20期監(jiān)測數(shù)據(jù)，具體如表1所示:(T為觀測周期，X，Y，Z分別為水平和數(shù)值方向上的初始位移觀測值)

齊海峰想先試試也行，李紅倒是很認(rèn)真。沒過幾天，菜站從上到下，包括領(lǐng)導(dǎo)都知道他們倆的關(guān)系了。齊海峰敢甩掉李紅，那就是玩弄人家情感的不良青年。

大壩位移監(jiān)測數(shù)據(jù) 表1

通過數(shù)據(jù)建模分析運算，得到以下模型公式:

自回歸模型(取自回歸參數(shù)個數(shù)為10，t＞9):

根據(jù)已建立的GM(1，1)模型和自回歸模型公式(3)(4)(5)、(6)(7)(8)，對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，結(jié)果如表2所示。(T為觀測周期，X，Y，Z分別為水平和數(shù)值方向上的初始位移觀測值，X1，Y1，Z1為GM(1，1)擬合值，X2，Y2，Z2為自回歸模型擬合值)

位移觀測值與擬合值比較 表2

根據(jù)表2中位移變化量擬合的情況，對于GM(1，1)模型經(jīng)計算可知:X坐標(biāo)擬合模型殘差平方和為0.041 9，中誤差為0.2046，Y坐標(biāo)擬合模型殘差平方和為0.217 4，中誤差為0.466 3，Z坐標(biāo)擬合模型殘差平方和為0.068 7，中誤差為0.262 3。GM(1，1)預(yù)測模型對建筑物位移監(jiān)測三維數(shù)據(jù)的擬合效果如圖1、圖2、圖3所示。

圖1 GM(1，1)模型X方向擬合效果

圖2 GM(1，1)模型Y方向擬合效果

圖3 GM(1，1)模型Z方向擬合效果

從圖1、圖2和圖3中可以看出，GM(1，1)模型擬合曲線呈現(xiàn)出遞減(或遞增)的趨勢，這是由模型指數(shù)化形式?jīng)Q定的，對于波動性較大的位移數(shù)據(jù)(圖1中X坐標(biāo)觀測值)擬合效果不好，階段性的位移增加或減少不能再預(yù)測模型中反映出來。因此，在本例中采用GM(1，1)模型處理所選的位移數(shù)據(jù)效果不好，在用該模型處理類似監(jiān)測數(shù)據(jù)時，要注意監(jiān)測變化量的總體變化趨勢，以求獲得較好的數(shù)據(jù)處理結(jié)果。

根據(jù)建立的GM(1，1)模型預(yù)測后三期的地表位移變化值，如表3所示。(T為觀測周期，X、Y、Z為觀測值，X1、Y1、Z1分別為X、Y、Z觀測值的預(yù)測值)

位移觀測值與模型預(yù)測值 表3

從表3中可以看出，X位移變化呈階段性遞減，而預(yù)測值則呈現(xiàn)總體遞增的趨勢，與實際變化情況有出入；Y和Z位移方向的位移實際變化情況和預(yù)測趨勢大體相同，具有一定的精度。在未來三期(21期、22期和23期)預(yù)測值中，根據(jù)位移殘差公式:，可計算第21期位移變化量為10.454 mm，預(yù)測殘差為0.180 mm，誤差比為1.72%；第22期位移變化量為10.769 mm，預(yù)測殘差為0.238 mm，誤差比為2.21%；第23期位移變化量為11.073，預(yù)測殘差為0.465 mm，誤差比為4.20%。

根據(jù)表2中位移變化量擬合的情況，對于自回歸模型經(jīng)計算可知:X坐標(biāo)擬合模型殘差平方和為1.772E－06，中誤差為1.330E－03，Y坐標(biāo)擬合模型殘差平方和為1.268E－06，中誤差為1.126E－03，Z坐標(biāo)擬合模型殘差平方和為1.184E－06，中誤差為1.088E－03。自回歸預(yù)測模型對建筑物位移監(jiān)測三維數(shù)據(jù)的擬合效果如圖4、圖5、圖6所示。

圖4 自回歸模型X方向的擬合效果

圖5 自回歸模型Y方向的擬合效果

圖6 自回歸模型Z方向的擬合效果

位移觀測值與模型預(yù)測值 表4

從表4中可以看出，在未來三期(21期、22期和23期)預(yù)測值中，根據(jù)位移殘差公式:可計算第21期位移變化量為10.454 mm，預(yù)測殘差為0.044 mm，誤差比為0.42%；第22期位移變化量為10.769 mm，預(yù)測殘差為0.115 mm，誤差比為1.06%；第23期位移變化量為11.073，預(yù)測殘差為0.256 mm，誤差比為2.31%。

3 結(jié) 語

通過對建筑物位移監(jiān)測數(shù)據(jù)處理方法的研究，采用GM(1，1)模型和自回歸模型對位移監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，根據(jù)建立的模型對具體建筑物的監(jiān)測點的位移變化量進(jìn)行預(yù)報。經(jīng)過計算分析，根據(jù)位移量之間變化的關(guān)系而建立的自回歸預(yù)測模型具備較高的擬合及預(yù)測精度，而GM(1，1)模型由于受到自身指數(shù)化形式的限制，只能模擬總體呈遞增或遞減趨勢的監(jiān)測數(shù)據(jù)，無法滿足波動性較大的位移監(jiān)測數(shù)據(jù)處理的要求。因此，本文選擇自回歸分析法作為處理建筑物位移監(jiān)測數(shù)據(jù)的主要模型。

[1] 黃聲享，尹暉，蔣征.變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理[M].武漢:武漢大學(xué)出版社，2007

[2] 王佳璆.時空序列數(shù)據(jù)分析建模[D].廣州:中山大學(xué)碩士學(xué)位論文，2008

[3] 曾超，肖鋒，唐仲華.應(yīng)用灰色(G，M)預(yù)測軟土路基沉降量[J].安全與環(huán)境工程，2002，9(1):17～19

[4] 金彪，吳北平，李艷芳.曲線擬合與自回歸模型在地鐵變形監(jiān)測中的運用[J].地礦測繪，2009，25(1):35～37

[5] 王堅，岳廣余，孟凡濤.GM(1，1)模型在沉降預(yù)報中的應(yīng)用[J].四川測繪，2003，26(2):79～81

Application of GM(1，1)Model and Auto Regression Model to Displacement Monitoring

Zhao Yan1，2?，Hua XiangHong1，2，Zhai GaoPeng1，2
(1.School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University，Wuhan 430079，China；2.Hazard Monitoring and Prevention Research Center，Wuhan University，Wuhan 430079，China)

By analysing the characteristics of the building displacement monitoring data，GM(1，1)model and auto regression model were proposed and established separately to deal with building displacement monitoring data for the purpose of forecasting the possible values of the building displacement and verifying the feasibility of the models.

GM(1，1)；auto regression model；building displacement；deformation predicting

1672－8262(2010)03－115－04

TU196＋.4

B

2010—09—26

趙言(1988—)，男，碩士研究生，主要從事精密工程測量與工程變形監(jiān)測研究工作。