距離交會的誤差估算及應用

李建豪

(廣東省化工地質勘查院，廣東廣州 510800)

距離交會的誤差估算及應用

李建豪?

(廣東省化工地質勘查院，廣東廣州 510800)

本文運用幾何方法分析距離交會測量點位誤差的分布情況，將余弦定理與方差的定義相結合，推導出距離交會測量點位誤差的估算公式。利用該公式分析在距離交會測量中，交會角對點位精度的影響以及在兩種常見測距精度條件下所能達到的點位精度，并通過一個測量實例的觀測數據進行驗證。最后簡要介紹了距離交會法在水平位移監測中的幾點應用。

距離交會；誤差估算；精度；水平位移監測

1 引 言

在工程測量中，經常使用距離后方交會的方法來測定未知點的坐標。如圖1所示，在未知點P架設儀器，分別測定到兩已知點A、B的水平距離a、b，根據A、B的x、y坐標和水平距離a、b計算出P點的x、y坐標。在精度要求比較高時，可能需要估算P點相對于A、B點的誤差。直接根據P點x、y坐標計算公式進行誤差估算，計算過程比較復雜，下面介紹一種簡單的估算方法。

圖1 距離交會法定點

圖2 距離及點位誤差

2 距離交會的誤差估算

在作圖上，距離交會可理解為分別以A、B為圓心，以a、b為半徑畫圓弧la、lb，(如圖1所示)，兩弧的交點即待定點P，連AP和BP，夾角β為交會角。設水平距離a、b的測量誤差分別為±δa、±δb，弧線la、lb會出現±δa、±δb的平移(實為同心圓弧，平行弧線)，如圖2所示。由于誤差的微小性，可認為小弧段為小直線段，P點為圖中大平行四邊形的4個角點之一。由于圓弧與半徑在切點處垂直，圖2中另外兩個標示夾角都等于交會角β；ka、kb邊為:

P點的點位誤差△P可根據余弦定理計算得:

代入式(1)化簡可得:

由圖2可知，當a和b誤差的正負號相同時，應按式(3)計算，不同時，按式(2)計算。為方便計算，分別以△a、△b表示含正負號的誤差，式(2)、式(3)可統一寫成:

令f＝1/sinβ，根據方差的定義

因為△a與△b相互獨立，式中:

用中誤差m代替標準差σ，并替換f，得:

通常，在觀測人員、儀器設備和外界條件相同的情況下，水平距離a、b大致相等時，可認為a、b邊的觀測精度相同，即ma＝mb，此時:

在已知a、b的中誤差時，可根據式(5)或式(6)計算交會點的點位中誤差；當交會角β＝90°時，mP取得最小值，此時距離誤差對P點的點位誤差影響最小。

3 距離交會的測量精度

距離交會測量可用于水平位移監測。使用標稱精度為±(2 mm＋2 ppm×D)的儀器，水平距離300 m時，測距中誤差為2.6 mm(不考慮垂直角誤差對水平距離的影響)；使用標稱精度為±(1 mm＋1 ppm×D)的儀器，水平距離300 m時，測距中誤差為1.3 mm。表1列出了在上述兩種條件下，按式(6)計算出的點位中誤差mP(此處省略±號)。

按部分交會角計算的點位中誤差 表1

從表1中的數據可以看出，隨著交會角的減小，mP顯著增大，在實際測量中，交會角宜在40°～140°之間。水平距離300 m以內，交會角在40°～140°之間時，標稱精度為±(1 mm＋1 ppm×D)的儀器，距離交會的點位中誤差小于3 mm，可以滿足《工程測量規范》(GB 50026－2007)二等變形監測的精度要求；標稱精度為±(2 mm＋2 ppm×D)的儀器，距離交會的點位中誤差小于6 mm，可以滿足三等變形監測的精度要求。

表2是某基坑水平位移監測中，1個基準點的10次檢測數據。已知B1、B5點的平面坐標，在B6點架設全站儀，B1、B5采用強制歸心裝置安置棱鏡，測定B6至B1、B6至B5的平距a、b，計算B6的X、Y坐標。水平距離使用Topcon GTS－721型全站儀及其配套棱鏡單向施測兩測回。儀器測距標稱精度±(2 mm＋2 ppm×D)，10次測量平均間隔7天。

基準點B6的10次檢測數據 表2

表2中中誤差的計算過程:先計算10次觀測數據的算術平均值，再由白塞爾公式計算子樣中誤差s；根據現行《工程測量規范》附錄A中的方法，中誤差(母體中誤差估值):m＝1.07×s。

經計算，水平距離a、b的中誤差為±1.3 mm，再根據式(6)計算B6的點位中誤差為±2.6 mm。這一實例表明，采用距離交會法測定點位，可以達到較高的觀測精度，而且工作量較小。

4 距離交會在水平位移監測中的應用

在水平位移監測中，距離交會法可以用于檢測基準點或工作基點、測定觀測點坐標和設置臨時測站。在測定觀測點坐標時，也可以根據測區情況采用距離前方交會方式，在已知點上安置儀器，待測點架設棱鏡。用于設置臨時測站時，宜在地上設置固定的對中標志，每期觀測都在該標志處對中整平儀器，用當次測定的坐標作為測站坐標，這樣可以消除測站對中誤差，還可保證每期測站的位置相同，觀測圖形相同。采用視準線觀測時，可以使用兩臺測距精度相同的儀器，在測線的兩端分別對相同的兩個基準點進行距離后方交會觀測，設置臨時測站，兩臺儀器對向照準就形成實地的視準線，兩個測站點的坐標確定一條相對于這兩個基準點的直線，用于計算位移量。在場地周圍空地狹窄、不便于設置穩定的校核基準點或工作基點的情況下可以考慮這種方法。

5 結 語

現在全站儀的測距精度一般都比較高，在短距離情況下，與角度或邊角測量相比，使用距離交會法進行水平位移監測，方便快捷，容易實現較高的測量精度。

[1] 武漢測繪科技大學測量平差教研室編著.測量平差基礎(第三版).北京:測繪出版社，1992

[2] GB 50026－2007.工程測量規范.

[3] 覃輝主編.土木工程測量.上海:同濟大學出版社，2004

[4] 高井祥、張書畢、汪應宏、張紹良、張華海等.測量學.徐州:中國礦業大學出版社，1998

[5] 李青岳、陳永奇主編.工程測量學(修訂版).北京:測繪出版社，1995

Estimate of the Error and Application of Linear Intersection

Li JianHao
(Guangdong Chemical Industry Geology Exploration Institute，Guangdong 510800，China)

This paper uses geometric method to analysis position error distribution of linear intersection point，which combines the cosine theorem and variance together to deduce the estimate formula of the position error.It analysis the impact of intersection angle position accuracy and the position accuracy that can be achieved under two common range accuracy conditions，and test and verify by a group of observational data.Finally，briefly introduce the linear intersection in horizontal displacement monitoring in a few applications.

linear intersection；estimate of the error；measurement accuracy；horizontal displacement monitoring

1672－8262(2010)03－119－03

P207

B

2010—10—17

李建豪(1976—)，男，工程師，主要從事工程測量工作。