時頻分布的分辨率比較

蘇 峰,曲長文,簡 濤

（海軍航空工程學院,煙臺 264001）

0 引 言

信號的時頻分布將時域和頻域有機地結合在一起,反映信號在時頻平面的特征。時頻分析通過將信號的時域或頻域表示變換為時頻二維表示,分析信號的瞬時頻譜或頻譜隨時間的變化規律,是分析非平穩或時變信號的有力工具。線性時頻分析方法有短時傅里葉變換、Gabor變換、小波變換等；能量或平方時頻分析方法有Wigner-Ville分布、Cohen類分布、模糊函數、譜圖、尺度圖等。時頻分析近幾年得到迅速發展,廣泛應用到許多領域的信號分析與處理中。

各種時頻分布之間有著一定的聯系,Cohen類分布是Wigner-Ville分布的一般平滑型,譜圖、尺度圖是Wigner-Ville分布的特殊平滑型。短時傅里葉變換、小波變換、Wigner-Ville分布是3種典型的時頻分布,其它時頻分布的性能介于它們的性能之間。短時傅里葉變換、小波變換、Wigner-Ville分布的計算量基本相同。將信號轉換為解析信號,Wigner-Ville分布與離散的短時傅里葉變換、小波變換具有相同的頻率周期。短時傅里葉變換、小波變換、Wigner-Ville分布的交叉項、分辨率有較大的差別,而交叉項、分辨率是影響它們應用的重要因素。本文主要分析、比較短時傅里葉變換、小波變換、譜圖、尺度圖以及Wigner-Ville分布的分辨率以及交叉項對分辨率的影響。

1 時頻分布

短時傅里葉變換和Gabor變換的基本原理是一致的,均是加窗傅里葉變換。窗函數使短時傅里葉變換具有了局域特性,窗函數的移動使短時傅里葉變換又具有全局特性。短時傅里葉變換是時間和頻率的二元函數。信號z（t）的短時傅里葉變換為:

式中:w（t）為窗函數,可以在L2（R）空間內任意選擇,一般以具有好的時頻聚集性為原則。

短時傅里葉變換是線性的,其模的平方定義為信號z（t）的譜圖。譜圖是能量時頻分布,不滿足線性疊加原理。

Wigner-Ville分布是一種能量時頻表示,幾乎滿足期望具有的所有數學性質。信號z（t）的Wigner-Ville分布定義為:

小波變換是一種多分辨分析,其定義為:

當時間平移參數b變化時,窗函數在時間軸上平移。當尺度參數a變化時,窗函數寬度在時間軸上伸縮。若a＞1,使窗函數時寬增大,而窗函數頻寬縮小；若a＜1,使窗函數時寬縮小,而函數頻寬增大。小波變換是線性變換,其模的平方定義為信號z（t）的尺度圖。尺度圖是能量時間-尺度分布。

由于小波變換、尺度圖是時間-尺度分布,不方便與其它時頻表示比較性能。根據小波變換的原理,提出改進小波變換,如下:

當f=0時,改進小波變換變為小波變換；當a=1時,改進小波變換變為短時傅里葉變換。在考慮小波變換的時頻特性時,將尺度參數a看作參變量。改進小波變換的模的平方定義為改進尺度圖。

2 分辨率分析與比較

時頻分布的分辨率是指將時頻平面上2個信號區分開來的能力,包括2個參量:時間分辨率和頻率分辨率。由于高斯函數滿足不確定性原理的最低限,在時頻平面上具有較好的聚集性,選擇高斯函數作為比較時頻分布分辨率的信號。

設高斯信號為:

相應的Wigner-Ville分布為:

2t0）的Wigner-Ville分布為:

為了方便分析,選取受單一頻率調制的高斯信號作為第1個信號,其時寬為a=15 s,時延為t1=40 s。第2個信號與第1個信號相同,時延為t2=70 s,與第1個信號在時間上相隔30 s。這2個信號之和的Wigner-Ville分布,如圖1所示。2個信號產生交叉項與2個自Wigner-Ville分布項處于相連與非相連的臨界狀態,只有當2個信號時間相隔大于30 s時,才能將2個信號區分開來,從而交叉項影響了分辨率。

對于短時傅里葉變換,選擇高斯函數作為窗函數,即

圖1 交叉項對Wigner-Ville分布分辨率的影響

則單個高斯信號的短時傅里葉變換為:

相應的單個高斯信號的譜圖為:

它們與信號和窗函數的時寬有關。在信號一定的情況下,窗函數時寬越窄,譜圖的時間分辨率越高,頻率分辨率越低。對于多個信號的情況,短時傅里葉變換不產生交叉項,譜圖的交叉項僅出現在信號自譜圖項重疊的區域,對譜圖的時間分辨率和頻率分辨率沒有影響。

以時寬αw=25 s的高斯函數作為窗函數,2個信號與圖1中所用的2個信號完全相同。2個信號之和的譜圖如圖2所示。這2個信號沒有重疊區域,也就沒有交叉項。即便2個信號有重疊區域,交叉項也僅限于重疊區域。因此,信號的多與少對分辨率無影響。

圖2 譜圖分辨率示意圖

為了考察小波變換的在時頻平面上的特性,采用改進小波變換。單個高斯信號的改進小波變換為:

對于小波變換,選擇調制高斯函數作為基本小波,即:

相應的單個高斯信號的改進尺度圖為:

它們與信號的時寬、基本小波的時寬及尺度參數有關。在信號一定的情況下,基本小波時寬越窄,尺度圖的時間分辨率越高,頻率分辨率越低。當尺度參數較大時,位于尺度圖的低頻端,尺度圖頻率分辨率高,時間分辨率低；當尺度參數較小時,位于尺度圖的高頻端,尺度圖頻率分辨率低,時間分辨率高。對于多個信號的情況,小波變換不產生交叉項,尺度圖的交叉項僅出現在信號自尺度圖項重疊的區域,對尺度圖的時間分辨率和頻率分辨率沒有影響。

為了反映尺度圖的時間分辨率和頻率分辨率變化情況,取 4個調制高斯信號z1（t）、z2（t）、z3（t）、z4（t）,它們的時寬均為α=15 s。z1（t）與z2（t）有相同的調制頻率,z3（t）與z4（t）有相同的調制頻率。z1（t）與z3（t）有相同的時延,t1=t3=40 s。z2（t）與z4（t）有相同的時延,t2=t4=76 s。以調制高斯函數作為基本小波,時寬為 αg=11 s。這4個信號之和的尺度圖如圖3所示。圖3所示結果反映了尺度圖時間分辨率和頻率分辨率變化的規律,交叉項不會出現在自尺度圖項非重疊區域。

圖3 尺度圖分辨率示意圖

3 結 論

本文利用時頻聚集性較好的高斯函數作為標準信號,統一分析、比較了短時傅里葉變換、小波變換、譜圖、尺度圖、Wigner-Ville分布的分辨率,尤其是通過改進小波變換使時間-尺度分布與時頻分布分辨率可以統一比較,給出了時間分辨率和頻率分辨率的表達式。時頻分布分辨率的比較,為在信號分析與處理中選擇合適的分析方法提供了依據。

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