基于LPV模型的航空發動機控制器Kalman濾波器設計

李述清，張勝修，劉毅男，周志清

（第二炮兵工程學院，西安 710025）

1 引言

航空發動機是復雜的非線性系統，其氣動參數隨外界條件及工況的變化改變較大。利用非線性數學模型對發動機的控制器進行設計，可以獲得很高的控制精度，但由于計算量巨大，算法復雜，使得動態模型的計算速度和有效性在工程應用中受到一定影響。因此，通常利用線性化方法建立航空發動機線性模型，再根據線性系統理論進行控制器設計，這樣便于解決工程問題[1]。發動機線性模型雖然有很多優點，但是主要應用于穩態控制分析，對于工況偏離線性模型設計點較大情形就不適合了。許多新型建模方法[2-5]同時考慮了模型的準確性和實時性，其中發動機線性變參數（LPV）模型能夠方便地適應發動機動態過程分析和控制器設計[4-9]，得到迅速發展。文獻[4,5]根據航空發動機非線性模型，采用內插或擬合方法求取線性狀態空間模型系數矩陣元素，建立基于局部線性模型的渦扇發動機LPV模型，并在動態過程中得到應用。

同時，自從1960年卡爾曼濾波算法(Kalman filter：KF)[10]提出以來，成為控制、信號處理與通信等領域最基本最重要的計算方法和工具之一，并已成功地應用到航空、航天、工業過程及社會經濟等不同領域。然而KF算法主要針對線性系統模型，極大地限制了KF算法的應用范圍[11]。為了把KF算法應用于非線性系統，可把非線性模型線性化，然后再使用KF算法估計系統狀態。其中，推廣卡爾曼濾波(EKF)是1種應用最廣泛的非線性系統濾波方法。EKF與線性卡爾曼濾波公式完全類似，只是上述濾波公式中系統狀態系數矩陣需要在線由非線性函數的偏導計算得到[12,13]。卡爾曼濾波方程的應用都存在非線性系統線性化近似的問題，即需要實時更新系統的線性化模型，然后應用Klaman濾波基本方程，解決非線性濾波的問題。由于需要不斷根據非線性系統方程進行線性化處理，以修正系統線性化模型，這顯然增加了濾波算法的復雜性和計算量，不便進行數據處理。

如前所述，對于LPV模型這類特殊的非線性系統，其模型描述形式具有線性系統的特點，即其模型系數矩陣是關于1個調度變量的函數，而這個調度變量可以根據系統的可測量來定義。這樣，可以為Kalman濾波器方程中相關系數矩陣更新提供方便以快速跟蹤實際系統的變化，而無需進行線性化過程的實時計算，大大簡化了計算步驟。顯然，開展航空發動機基于LPV模型的濾波方法研究，可以提高發動機性能分析和控制器設計效能，并具有顯著的工程和理論意義。

本文針對航空發動機線性變參數模型，提出1種簡便的改進Kalman濾波方法，并通過仿真對比，檢驗了該方法的有效性。

2 渦扇發動機LPV建模

某型渦扇發動機非線性模型為

對于本文研究的雙轉子幾何不可調渦扇發動機,只考慮2個獨立轉子部件為儲能元件，并取系統狀態變量x=[n1, n2]′，輸入為主燃室供油流量u=Wf，輸出為低壓轉子轉速y=n1。

在渦扇發動機平衡點（u0,x0,y0）附近，可構建局部線性模型，繼而可得到線性模型簇[4]

式中:A、B、C和D為常數矩陣。

根據LPV系統建模方法，基于發動機線性模型（式（2）），采用內插或擬合方法求取模型（式（2））中系數矩陣[4]，得到如下渦扇發動機LPV模型

式中:系數矩陣 A(ρ)、B(ρ)、C(ρ)和 D(ρ)中各元素是調度變量ρ的函數；下標“0”為仿真計算初始值。

如果ρ包含狀態變量的元素，則稱為準LPV（quasi-LPV）模型。

為了建立上述航空發動機LPV模型，在地面靜止狀態(H=0,Ma=0)、標準大氣條件下，通過發動機非線性計算程序，在n1轉速范圍70%～110%間選取若干穩定工作點，依次在這些工作點處使用動態響應擬合法[14]求得發動機局部線性傳遞函數模型。

考慮低壓轉子轉速n1是表征渦扇發動機工作、實施發動機控制的重要參數，且為發動機系統的測量參數，因此，選取n1作為發動機LPV模型調度變量ρ是合適的，即ρ=y=n1。

然后對各工作點對應傳遞函數模型的系數進行關于調度變量的2次多項式擬合，擬合效果如圖1所示（圖中：“model”對應實際值，“fit”對應擬合值）。

3 基于LPV模型的Kalman濾波器設計

對于下面考慮控制作用的線性系統

經典線性離散卡爾曼濾波方程[12]為

在一般工程實踐中，濾波方程的狀態方程或測量方程常是非線性方程，經典濾波方程（式（4））并不能直接使用。基于LPV模型（式（1））具有線性模型結構形式的特點，采用與Kalman濾波器類似的預測修正結構，給出如下離散濾波器

由此，根據濾波方程（式（（5）），可以通過調度變量ρ(k)=y(k)實時更新Kalman濾波器系統方程的系數矩陣，從而實現Kalman濾波器方程與系統動態特性相匹配，從而提高濾波準確性。方便起見，本文記為LPV-KF。

于是，根據渦扇發動機LPV模型（式（3））及LPV-KF方程（式（（5）），即可構造渦扇發動機LPV-KF濾波器。

4 基于Klaman濾波器的渦扇發動機轉速控制回路

通過渦扇發動機轉速控制回路，可以實現發動機轉速的穩定控制。發動機主供油量執行機構可視為時間常數為0.1 s的慣性環節。控制器設計，可考慮地面靜止狀態(H=0,Ma=0)條件下，根據發動機非線性模型在90%轉速穩定工況近似線性模型，采用增益成形PID設計方法，設計得PID參數：Kp=0.5628,Ki=0.6966,Kd=0.0298。

再結合前面所建立LPV-KF環節，容易構建基于Kalman濾波器的發動機轉速控制系統閉環結構，如圖2所示。

5 仿真

為了檢驗本文改進LPV-KF方法的有效性，利用該型渦扇發動機部件非線性模型，進行仿真檢驗。假設1個典型發動機轉速控制過程：從穩態低工況約80%轉速點，以階躍響應形式依次加速過渡到穩態工況90%和100%轉速點，然后減速到80%轉速點。對此轉速控制過程進行仿真，并分別采用本文所構造渦扇發動機LPV-F進行濾波，估計發動機模型狀態x=[nl,nh]T，以及輸出y=n1，并與非線性模型計算結果進行比較。

其中，根據發動機燃油流量傳感器性能，設系統噪聲Q=0.00012；根據發動機低壓轉子轉速傳感器性能，設測量噪聲R=0.0052；系統初始狀態x(0)=[0.8 0.894]2，濾波誤差方差陣初值P0=diag([0.12,0.12])，仿真計算時間步長0.01s。

不考慮該LPV-KF環節（圖中虛線所示）和考慮該LPV-KF環節（如圖中實線所示）作用所得燃油流量響應如圖3所示。顯然，該LPV-KF環節能夠有效改善平滑供油，并有利于改善控制的準確性和平穩性。

圖4～6分別給出了考慮該LPV-KF環節時，在上述轉速控制過程仿真中所得發動機控制系統輸出低壓轉子轉速y和系統狀態低、高壓轉子轉速nl、nh的響應值（圖中虛線所示）和濾波值（圖中實線所示）效果。一方面，轉速控制過程平穩、準確；另一方面，該LPV-KF環節對各參量均達到良好的跟蹤和濾波平滑效果，濾波后的噪聲明顯減小，這顯然有利于改善控制的準確性和平穩性。

6 結束語

本文針對航空發動機LPV模型，提出了1種改進Kalman濾波器設計方法，并應用于某型渦扇發動機控制系統中。通過對渦扇發動機寬工況變化過程進行仿真，表明該濾波器可實現對系統輸出和狀態的有效跟蹤和濾波。

同時，本方法無需在線對系統的線性化模型進行計算，求解過程簡潔，可以簡化相關的理論分析、計算和工程實現。

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