洪水預(yù)報中的不確定性研究

[英國]S.布萊茲科瓦 K.貝文

李紅梅 譯自荷刊《結(jié)構(gòu)與基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)工程》2009年第 8期

洪水預(yù)報中不確定性處理的方法在很大程度上取決于洪水的預(yù)報目的,例如,是用于實時預(yù)報還是用于洪水風(fēng)險評估方面的模擬等。在實時預(yù)報中,主要目標(biāo)是在利用事件中可以獲得的任何數(shù)據(jù),使得預(yù)見期精度最大化,并且預(yù)測變量的變化范圍最小化。因此,這種方法應(yīng)該是自適應(yīng)的并且能充分利用同化數(shù)據(jù)。這種對于預(yù)報問題的自適應(yīng)性意味著能用簡單模型來代表系統(tǒng),并且能超強(qiáng)適應(yīng)不可避免的誤差。如下文所述,可以用歷史數(shù)據(jù)來建立這樣的模型。

模型模擬的問題是各不相同的。在尋求最大的精確度和最小的預(yù)測不確定性的同時,對不同類型的應(yīng)用都要求模型能以合適的方式代表水文過程,或者以合適的原因獲得正確的水文預(yù)報值。這可能會帶來一些問題。即使在流域研究中,也常會發(fā)生這樣的情況:沒有足夠的信息來確定不明確的自然過程。實際上,獲得流域出口的合理的流量模擬可以有很多不同的方式,研究人員把這種現(xiàn)象稱為“殊途同歸”現(xiàn)象 ,或稱為 “模糊 ”、“非唯一 ”、“不可識別”的現(xiàn)象。研究人員用“殊途同歸”這一術(shù)語暗示其不僅是在很多解決方法中擇優(yōu),同時也表明所研究的問題具有普遍性。很多模型都可產(chǎn)生合理的結(jié)果,可以認(rèn)為是有很多關(guān)于系統(tǒng)過程的假設(shè)在起作用,這些假設(shè)如果在有足夠多的數(shù)據(jù)的情況下,有些可能得到驗證,有些則被拒絕。

多種假設(shè)共同作用的方法是根據(jù)基于優(yōu)化的模型率定所遇到的問題而采取的解決方式。這種解決方式當(dāng)然很自然地將重點置于流域系統(tǒng)的模擬方面,尤其是模型顯示出某些“最好”的統(tǒng)計特征,例如最小的誤差變化等。然而,經(jīng)驗表明,好的模型可能會有很大的變幅,這取決于所使用數(shù)據(jù)的系列,而結(jié)果殘差用常規(guī)的統(tǒng)計結(jié)構(gòu)卻難以表達(dá)。這并不奇怪,水文系統(tǒng)的自然過程模擬受制于每一個事件的輸入,這就意味著有期望改變誤差的分布。很顯然,不合適的誤差假設(shè)會導(dǎo)致不合適的結(jié)果。

如果有多種模型結(jié)構(gòu),不同的模型運行時的同一參數(shù)可能會有不同的值(或者是同一模型的不同方式運行時),這種情況還會更復(fù)雜。尺度問題也可能意味著合適的模型參數(shù)值可能會與實際測量值不同。而模型需要的有效參數(shù)值是由模型的結(jié)構(gòu)決定的。

本文僅僅是研究洪水預(yù)報,重點是預(yù)報中的不確定性,提出了一種使用“殊途同歸”的方法來解決問題及確定有效參數(shù)值。

1 洪水預(yù)報中的不確定性

在實時預(yù)報模型中,原則上是可以使用任何功能完備的降雨產(chǎn)流模型,概念性或者是基于物理的分布式模型。實時預(yù)報模型有很多種,但是基于數(shù)據(jù)的機(jī)理模型(DBM)卻顯示出有較大的優(yōu)越性。這種模型主要是識別和評估能代表線性轉(zhuǎn)換功能等動態(tài)行為的主導(dǎo)模型。非線性問題可以通過輸入過濾功能來完成轉(zhuǎn)換。假設(shè)在事件的過程中,知道關(guān)于降雨或者水位方面的信息,研究人員從處理不確定性出發(fā),目標(biāo)是預(yù)報誤差變化范圍的最小化。數(shù)據(jù)同化中一個重要的步驟是使用卡爾曼濾波方法(Kalman filter-based approach)更新預(yù)報值和評估預(yù)報中的不確定性因素。

基于數(shù)據(jù)的機(jī)理模型(DBM)能夠用于產(chǎn)流和匯流的實時預(yù)報系統(tǒng),基于數(shù)據(jù)的機(jī)理模型能和預(yù)報流量一樣,準(zhǔn)確地實時預(yù)報水位。這個模型有的是直接使用水位更新預(yù)報值,而不必用水位流量曲線將水位轉(zhuǎn)為流量來更新預(yù)報值。通過避免水位流量關(guān)系曲線的非線性,該方法有望穩(wěn)定預(yù)報變量的異方差,尤其是在發(fā)生漫岸流量的時候更是如此。

然而,仍然需要考慮一些非線性關(guān)系,例如降雨-水位預(yù)測和水位 -水位預(yù)測等。研究人員發(fā)現(xiàn),存在于降雨 -水位或者降雨 -流量的非線性關(guān)系,能夠用一個帶有參數(shù)的指數(shù)關(guān)系來表達(dá):

式中 uk代表過濾后的有效降雨;rk代表測量后的降雨;yk是水位或者是代表土壤濕度的流量;c是一個常數(shù);γ是一個冪指數(shù);k代表時間步長的序數(shù)。

對于流量或者水位與有效降雨之間的關(guān)系,可以采用線性轉(zhuǎn)化函數(shù)來表達(dá):

式中 a1…an和 b0…bm是系數(shù);δ是一個時間推遲;k是時間步長的序數(shù);ηk是噪聲輸入;uk是有效降雨。

經(jīng)驗表明,可以使用2個以上的系數(shù)靈活地確定降雨 -水位或者流量模型。這可以分解為一個快速響應(yīng)和一個慢速響應(yīng)來代表占主導(dǎo)的系統(tǒng)行為。使用卡爾曼濾波法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理是最簡單的辦法,可根據(jù)時間變增益來處理不斷更新的預(yù)報值。其目的是在追求給定的預(yù)見期內(nèi)預(yù)報方差的最小化。

2 模擬中的不確定性

洪水預(yù)報模擬在確定設(shè)計數(shù)據(jù)時,需要一定重現(xiàn)期的設(shè)計水文過程線,如預(yù)估一定重現(xiàn)期的洪水淹沒范圍,或者研究洪水產(chǎn)生機(jī)制等等。

通常,模擬方面的不確定性問題由兩個部分組成,兩個部分的不確定性都有多種來源。首先是預(yù)測在指定條件下的流量,尤其是不同重現(xiàn)期下的極端流量。其次是預(yù)測這些事件的影響,例如水庫入流、洪泛區(qū)淹沒面積、泥沙輸移和財產(chǎn)損失等。這可能需要額外(不確定性)的模型模塊。

在這兩種情況下,預(yù)測的準(zhǔn)確性將受制于模型輸入的誤差,某些系統(tǒng)特征的模型參數(shù),模型率定所使用的數(shù)據(jù),以及代表系統(tǒng)主導(dǎo)過程的模型結(jié)構(gòu)自身的誤差等。目前存在著很多結(jié)構(gòu)復(fù)雜的流域徑流產(chǎn)生模型,例如概念性模型(主要是基于很多水庫概念的模型)和一些所謂的基于物理的模型(這些模型以一種分布式的微分方程表示)。將各個產(chǎn)流過程統(tǒng)合起來引入了越來越多的參數(shù),以至于不能夠很好地確定每個參數(shù)的意義,實測數(shù)據(jù)也沒有足夠的關(guān)于參數(shù)的信息用于模型率定。模型的參數(shù)由觀測到的降雨徑流數(shù)據(jù)率定得到,試圖使用不經(jīng)過參數(shù)率定的模型來進(jìn)行降雨產(chǎn)流模擬肯定是不行的。

模型的校驗一開始是由有經(jīng)驗的水文專家根據(jù)模型參數(shù)的物理意義手工完成,或者采用自動優(yōu)化步驟完成。由于模擬過程的復(fù)雜性,模型的響應(yīng)面也是復(fù)雜的,存在著很多局部最優(yōu)值。研究人員花費了很多的努力,試圖尋找有效的優(yōu)化方法獲得全局最優(yōu)值。經(jīng)驗表明,相同模型的不同參數(shù)系列,或者是非模型的不同參數(shù)系列都能夠得出同樣的結(jié)果。模型的識別并非唯一,從這個角度來說,降雨徑流模型和環(huán)境模型在數(shù)學(xué)上是不適宜的。因此,不可能將誤差具體分解為多種誤差源。

優(yōu)化的參數(shù)設(shè)置對應(yīng)于特定的模型輸入系列。不同的誤差可能會相互抵消,例如參數(shù)的誤差可能會與某種輸入誤差相抵消。對于另外一套輸入系列,研究者可能會得到另外一套最優(yōu)化參數(shù)設(shè)置。解決這種問題的辦法就是拋棄最優(yōu)參數(shù)設(shè)置和最優(yōu)模型的觀念,并且對能產(chǎn)生合理結(jié)果的參數(shù)系列(有效參數(shù)系列)進(jìn)行評估。計算的結(jié)果是可以從有效預(yù)測值的累積分布圖上讀出預(yù)測的包絡(luò)線。

3 “殊途同歸”理論和模型評估

“殊途同歸”理論認(rèn)為模型有很多合理的表達(dá),并且不能輕易被拒絕,還要在預(yù)報不可確定性的評估中考慮。這就是研究人員使用的“通用不確定性評估”方法。

在“通用不確定性評估”方法中,參數(shù)系列是在物理成因的范圍內(nèi)隨機(jī)設(shè)置,通常在參數(shù)設(shè)置前并沒有關(guān)于參數(shù)值的信息,而是均勻取值。參數(shù)被用來實現(xiàn)不同的模型輸出,然后再使用一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行檢驗,并且確定每個參數(shù)的權(quán)重。其中重要的一步是,如果參數(shù)不能得出令人可接受的模擬結(jié)果,則該參數(shù)需要被舍棄。“可能性”在這里比統(tǒng)計學(xué)上的“幾率”范疇要廣。確定“可能性”的措施包括觀測流量和模擬流量之間的確定系數(shù),這是一種基于觀測數(shù)據(jù)和模型流量數(shù)據(jù)的頻率曲線之間絕對誤差之和,或者其他各種表達(dá)觀測值與模擬值之間相似程度的模糊判別方法。在進(jìn)行模擬以前,一些觀測誤差的范圍如果能夠確定,將會簡化不確定性的分析過程。模型的模擬結(jié)果超出誤差范圍,都應(yīng)被舍棄。

這種概念下的集合理論模型評估則十分簡單,模型結(jié)果不在誤差范圍之內(nèi)的都要被舍棄。這樣可能有很多模型的模擬結(jié)果均在誤差范圍之內(nèi),并且會被接受。因此,任何這種類型的模型評估應(yīng)當(dāng)仔細(xì)考慮模型誤差的不同來源,如前所述,這種誤差評估在實際中是很困難的。模型誤差的來源可以簡化為輸入誤差、模型結(jié)構(gòu)誤差和實際測量誤差。這些誤差不能通過簡單地比較觀測值和預(yù)測值得到,在非線性模擬中,還沒有通用的理論來指導(dǎo)分析不同來源的誤差。大多數(shù)模擬者只是簡單地認(rèn)為這些誤差數(shù)量相同,即使事實并非如此。因此,在評估模型的可接受程度的時候,有必要考慮確定合適水平的“有效觀測誤差”來考慮這些差別。這樣定義以后,有效觀測誤差不必要有零均值或者是方差為常數(shù),不必為高斯(Gaussian)分布,尤其是該種誤差受著某種物理制約的時候。這樣,任何有效模型都應(yīng)該提供有效觀測誤差范圍之內(nèi)的模擬結(jié)果。

因此,對于一個有參數(shù)設(shè)置 Θ的模型,如果其所預(yù)測的變量 M(Θ,X,t)對于任何一個變量 Q(X,t)來說,滿足:

則認(rèn)為該模型是可以接受的。根據(jù)模型的可見性能,假設(shè)[Qmin(X,t),Qmax(X,t)]是觀測值可能的范圍,模型的“可能性”加權(quán)方式不一定非要使模型輸出的結(jié)果在觀測值Q(X,t)周圍均勻?qū)ΨQ,可能有其他多種分布形式。

這組簡單的模糊隸屬函數(shù)或者相對可能性方法適用于所有能提供預(yù)報的模型,其所提供的預(yù)報范圍在可接受的范圍之內(nèi)。模型預(yù)報值與觀測值很接近,賦予較高的權(quán)重;模型預(yù)報值超出觀測誤差范圍則被賦予零權(quán)重。用這種方式對模型預(yù)報值進(jìn)行限制,是基于如下隱含的假設(shè),即模型預(yù)測中的誤差與評估中的誤差是相似的。

對于任何時刻的變量Q(X,t),如果預(yù)測值不在可接受的誤差范圍之內(nèi),則模型將被視為不可接受,并且要被舍棄。這與傳統(tǒng)的統(tǒng)計模型不同,在那里一個錯誤的模型受制于模型結(jié)構(gòu),有時可能會被誤認(rèn)為是正確的,且在結(jié)構(gòu)中補(bǔ)償模型模擬的不足。如果沒有一個模型被證明是理想的,那么表明,模型可能存在著概念上、結(jié)構(gòu)上和數(shù)據(jù)方面的錯誤(盡管哪個原因是最為主要的仍然很難確定)。

所有模型的被拒絕或者被舍棄不能認(rèn)為模型是失敗,只是表明研究者需要了解更多的關(guān)于模型的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、輸入數(shù)據(jù)或者邊界條件方面的信息。輸入數(shù)據(jù)和邊界條件是一個重要的考慮因素,因為即使一個“完善”的模型在輸入數(shù)據(jù)有較大誤差的情況下,也不能得到具有較高精確度的預(yù)測。所以需要將輸入數(shù)據(jù)和邊界數(shù)據(jù)的實際情況和模型參數(shù)共同進(jìn)行評估,以確保模型誤差是在觀測誤差的范圍。最終結(jié)果是希望得到一些可接受的模型,每個模型賦有一定的可能性權(quán)重。

這種方法提供了一種比較好的模型檢驗和評估方式,通過假定有效的觀測誤差來避免對模擬誤差進(jìn)行假設(shè)。重點放在模型可預(yù)測變量和實際所觀測變量在評價合理觀測誤差上的差異。

用散點圖(將可能性空間的點投射到以單個參數(shù)為坐標(biāo)軸的圖上)可以說明模型的“殊途同歸”理論和估計有效參數(shù)的可能范圍。在大多數(shù)模型的應(yīng)用中,只有1～2個參數(shù)是具有敏感性的,那些不敏感的參數(shù)在整個范圍的模擬過程中能反應(yīng)出模型是否可接受(圖1)。圖1為可能性散點,即確定性(圖中的橫軸為參數(shù)范圍;縱軸為可能性檢測;每個點為一次模擬)。

有時,模型需要考慮多個變量,例如在評估水力學(xué)模型的時候,出口的水文過程線和洪水淹沒范圍都可用作確定可能性。在評估洪泛區(qū)淹沒范圍的過程中,研究人員使用了一個淹沒插值與觀測值之間差異的方法,其方程式為:

還有研究者在評估洪水淹沒范圍的模型時是采用模糊方法,其結(jié)果是顯示了一個給定流量下淹沒范圍的概率分布,提供一個未來事件淹沒風(fēng)險的簡單評估辦法。

圖1 可能性散點示意

在提供土壤含水量空間分布水文模型中,可能性評估方法是兩個標(biāo)準(zhǔn)的組合,即流域出口流量模擬符合程度,以及土壤飽和模擬與實測區(qū)域的對比。

4 實例研究

下面用一個實例來講述“通用不確定性評估”方法在熱利夫卡(Zelivka)河流域洪水頻率研究方面的應(yīng)用。

研究流域面積為1186 km2,被分為7個子流域,其中 4個流域的流量信息是可以獲得的。計算過程詳見圖2和圖 3。模擬是使用的頂級模型(TOPMODEL)的頻率模塊進(jìn)行的,該模型適用于在雨雪累積和融化的大型流域。

對于每個有觀測數(shù)據(jù)的流域,設(shè)置一個模糊模型,同時結(jié)合以下 3個標(biāo)準(zhǔn):即洪水頻率曲線的擬合、洪水歷時曲線和年最大水(雪)深(見圖2)。

圖2 短歷時(100a)模擬可能性計算

在此基礎(chǔ)上,對區(qū)域子流域模擬的可能性進(jìn)行了研究。3個子流域的可能性評估,以及有長歷時的觀測數(shù)據(jù)的下克拉洛維采(Dolni Kralovice)站的流量頻率可能性評估,壩址處洪水歷時可能性評估,再加之跨流域融雪水當(dāng)量評估,這些都是第2個模糊系統(tǒng)的輸入。基于此,對以小時為單位的100a的短歷時模擬進(jìn)行了評估,然后用其參數(shù)進(jìn)行了10000a的長系列模擬,以獲得較長歷時頻率統(tǒng)計的較好評估。最后的評估也是以一種模糊的方式進(jìn)行的,并使用了模擬降雨和最大可能降雨(PMP)的關(guān)系。預(yù)測的百分位通過從所有有效模型及相關(guān)的最終模糊可能性估計得到的預(yù)測值取權(quán)重來確定。圖 3顯示的是下克拉洛維采站的洪水頻率曲線的包絡(luò)線及觀測數(shù)據(jù)。

圖3 長歷時(10000a)模擬可能性計算

5 結(jié) 論

“通用不確定性評估”方法要求有很多主觀因素,例如決定模型的參數(shù),哪些是固定的,哪些是要變化的,以及參數(shù)范圍、有效觀測誤差的合理范圍、可能性的標(biāo)準(zhǔn)、輸入數(shù)據(jù)和邊界條件誤差的處理等。然而,為便于分析和改變所有這些參數(shù),都要精心考慮確定。例如對于洪水頻率的評估問題,與終端用戶討論設(shè)計頻率曲線的預(yù)測百分位是有必要的:他們是否會認(rèn)為 95%的預(yù)測邊界太高了?

最近幾年,“通用不確定性評估”方法已經(jīng)擴(kuò)展為更加依賴與觀測值有關(guān)的模型合理性的預(yù)估。這將會使人們的注意力集中到不可比較的誤差(由于尺度或者不均勻性導(dǎo)致的預(yù)測值和觀測值之間的差異),以及輸入誤差的影響方面,這兩方面往往會被忽略。模擬只考慮預(yù)測值在有效觀測誤差范圍之內(nèi)的模型行為評估。

這種“通用不確定性評估”方法需要考慮在輸入誤差、有效觀測誤差,以及模型被拒絕的可能性假設(shè)等方面的“殊途同歸”,會產(chǎn)生很多模擬過程的研究課題。這個方法在應(yīng)用上受到限制,尤其是對具有多個參數(shù)、長歷時或者是多結(jié)構(gòu)的模型,希望未來這些制約因素會減少。