基于行程時間可靠性的彈性需求SUE配流模型

吳開信，牟瑞芳

(西南交通大學 交通運輸與物流學院，四川 成都 610031)

交通網絡可靠性最早由 Asakura Y 和 Kashiwadani M 于 1991年提出[1]，其后各國學者從不同側面對其進行了研究，其中，行程時間可靠性一直是研究的熱點。行程時間和行程時間可靠性不僅是用戶關心的路網性能評價指標，也是交通規劃和管理部門為用戶提供服務的質量評價指標。對于用戶，希望在一定的出行時間范圍內到達目的地；作為管理者，希望提供更多可靠的服務，使用戶出行時間波動性較小[2]。OD (origin-destination) 需求量會受到網絡運營狀況的影響。當網絡中兩個節點之間的擁擠程度增加時，部分用戶可能會因廣義出行費用的增加而改變自己的出行目的地或放棄出行；當通過投資使路段通行能力提高，OD 需求量也會明顯改變。為了精確描述出行者和路網狀況之間的交互作用，引入彈性需求表示用戶的路徑選擇行為將更加符合實際。為此提出基于行程時間可靠性的彈性需求隨機用戶平衡 (Stochastic User Equilibrium，SUE) 配流模型，給出與其等價的變分不等式形式，并分析相應的算法。

1 行程時間可靠性和廣義出行費用

1.1 路段行程時間和路徑行程時間

交通網絡G＝(N,A)，N為網絡中的節點集合，A為網絡中的路段集合。W為 OD 對集合，w為W中的一個元素，Pw為所有有效路徑集合。假設路段a的設計容量為，通行能力是一個非負的連續隨機變量，而且服從于區間[]上的均勻分布，ρa表示路段a由于突發交通事故、自然災害等原因而造成的實際容量下降程度，ρa∈[0,1)。路段上的實際行程時間會隨路段通行能力的變化而變化，因而也是一個隨機變量，在此采用 BPR (Bureau of Public Roads) 函數確定路段上的實際行程時間：

式中：ta、ta0、xa和xa/Ya分別表示路段a上的實際行程時間、自由行程時間、交通流量和飽和度；α和β為 BPR 函數中的確定性參數，可從統計資料中獲得。假設路段通行能力的隨機變化獨立于路段上的交通流量，可以求得路段a上的行程時間均值[3]：

當交叉口的延誤忽略時，路徑行程時間Tkz是由組成路徑的各路段行程時間ta決定的，即

式中：表示路段a和路徑k的關聯系數，如果a∈k，則＝1；否則，＝0。根據中心極限定理，可知Tk服從正態分布，并且有：

1.2 路段行程時間可靠性和廣義出行費用

定義路段行程時間可靠性為出行者在某一路段上完成一次出行所需時間在規定時間范圍內的概率。

路段時間可靠性用數學表達式表示為：ra＝P(ta≤ta0＋Δa)，即實際行程時間小于自由行程時間加上出行者可接受延誤 Δa的概率。顯然，路段不同，Δa的值也會不同，可根據統計資料進行確定。

出行者在選擇路徑時一般需考慮兩個指標：行程時間和行程時間可靠性。這兩個指標具有以下 3個特點。

（1）不可公度性，即量綱不同，不便于相互之間進行運算。

（2）變化范圍不同。

（3）矛盾性，即一種方案能使某個指標值得到改善，但可能以另一個指標值的變壞為代價。

根據出行者對行程時間和行程時間可靠性所持的不同態度，定義出行者在路段a上的廣義出行費用：

式中：αa為路段a上的行程時間費用系數，表示將行程時間轉換成相應的出行費用；βa為路段a上的行程時間可靠性費用系數，表示將行程時間的不可靠性轉換成相應的出行費用。

由此，確定了一個綜合意義上的具有相同量綱的阻抗值。費用系數αa和βa分別反映出行者對行程時間和行程時間可靠性的態度。αa越大、βa越小則出行者越傾向于以行程時間作為擇路標準；反之，則越傾向于以行程時間可靠性作為擇路標準。在此規定：路段上的廣義出行費用是該路段交通流量的嚴格增函數，即 dca/dxa＞0，?a∈A；路段上的廣義出行費用只與組成該路段的交通流量有關，與其他路段的交通流量無關，即 dca/dxb＝0，?a、b∈A，a≠b。由路徑和路段之間的相互關系，出行者在路徑k上的廣義出行費用為所包含路段的廣義出行費用之和，即

2 基于行程時間可靠性的彈性需求SUE模型

2.1 建立模型

研究行程時間可靠性應考慮出行者的路徑選擇行為，目前國內外學者對行程時間可靠性的研究大多是基于 Logit 模型或 Probit 模型。Chen 等考慮了出行者對行程時間的意識誤差和行程時間本身的隨機性，將用戶選擇進行了分類，利用 Monte Carlo 技術，計算了不同路徑選擇模型下的行程時間可靠性[4]。Lam 等通過交通流模擬仿真估計行程時間可靠性[5]。通過比較可知，Logit 模型簡單易于理解，因此研究采用此模型評價行程時間可靠性。對研究的有關假設如下。

（1）路徑k上的交通流量滿足 Logit 模型：

式中：隨機變量與路徑行程時間及其可靠性有關；qw表示第w個 OD 對之間的交通需求量；θ是一個非負系數，可理解為出行者對路網的熟悉程度，θ越大，說明出行者對出行費用的認識越準確，估計的阻抗方差越小。

（2）Sw(cw) 是關于cw的凹函數。Sw(cw) 和cw分別表示第w個 OD 對之間的期望最小估計廣義出行費用和廣義出行費用。由定義可知：

式中：表示估計路徑出行費用；為服從 Gumbel 分布的隨機變量。

一般情況下，OD 矩陣隨廣義出行費用矩陣的變化而變化，為了更好地描述需求量的可變性和用戶選擇行為的隨機性，現假設qw是Sw(cw) 的連續單調下降函數，并有上確界Qw，即

在實際運用中，需求函數可采用線性形式[5]：

式中：表示路網處于理想狀態時第w個 OD 對之間最大交通量；常數ψ表示需求量對期望最小估計廣義出行費用的靈敏度。

基于行程時間可靠性的彈性需求SUE配流問題可用以下數學規劃模型表示：

模型中為第w個 OD 對之間交通量需求函數的反函數。

2.2 解的惟一性與等價性證明

2.2.1 惟一性證明

將約束條件⑵代入目標函數⑴，可得：

此時，目標函數的第三項是xa的嚴格凸函數，但相對于路徑流量來說是凸函數，其余3項是關于的嚴格凸函數。因此，目標函數是關于的嚴格凸函數，又由于約束條件都是線性的，此數學規劃模型有惟一最優解。

2.2.2 等價性證明

構造模型⑴的Lagrange 函數：

由于此數學規劃模型是一個凸規劃模型，因此有惟一的路徑流量最優解，并且 K-T 條件是惟一解的充分必要條件。K-T 條件如下。

式中：uw、和xw分別是公式⑵、公式⑷和公式⑸的 Lagrange 算子。

設Pw是第w個 OD 對之間所有有效路徑集合，即＞0，?k∈Pw，從而有＝0，此時由公式⑹可得：

說明路徑k上流量的最優解滿足 SUE 平衡條件。當qw＞0時，xw＝0，此時由公式⑺可得：

由于exp[?(qw)]＝()，因此，qw＝。此式是彈性需求函數關系式的具體表達式。

2.3 變分不等式模型

在城市交通網絡G＝(N，A) 中，假設uw表示第w個 OD 對之間最小出行費用。對于 ?k∈Pw，當＞0 時，uw－＝0；當＝0 時，uw－≤0，則稱路徑流量為平衡流[6]。

變分不等式模型：

根據文獻[7]的結論，如果變分不等式⑼有解，則必然存在Lagrange算子uw、和xw，使得：

3 彈性需求 SUE 模型的算法

模型的具體求解步驟如下。

步驟 1：確定有效路徑集合。

步驟 2：初始化。在沒有交通量的情形下，算出有效路徑的廣義出行費用(0) 及期望最小估計廣義出行費用，利用交通量需求函數得到相應的交通流量，基于(0) 和進行隨機分配，計算初始路段流量{xa,1}和有效路徑流量{}，令n＝1。

步驟 3：令ta,n＝ta(xa,n)，根據當前路段流量{xa,n}和有效路徑流量{}計算出路段廣義出行費用ca,n、有效路徑廣義出行費(n)和，再由交通量需求函數得出新的交通量，并對在網絡上進行重新分配，得出新的有效路徑流量{}。

步驟 5：收斂性檢驗。收斂準則：(－)/＜ε，?w∈W。當誤差ε達到預定誤差時，結束循環；否則，令n＝n＋1，轉回步驟 3。

4 結束語

基于出行者根據行程時間和行程時間可靠性選擇路徑，路徑上的交通流量滿足 Logit 模型，建立彈性需求交通網絡 SUE 配流模型，并給出與其等價的變分不等式形式，提出相關模型的算法。模型假定路段之間是相互獨立的，但是在實際路網中，路段上的廣義出行費用是相互影響的。下一步研究的方向是在路段之間相互影響的情況下，進行出行時間可靠性分析和平衡配流，以及基于時間可靠性的彈性需求交通網絡平衡配流問題的靈敏度分析，并在交通網絡上進行測試。

[1] Asakura Y，Kashiwadani M.. Road network reliability caused by daily fluctuation of traffic flow[C]// Proceedings of the 19th PTRC Summer Annual Meeting. Brighton，1991：73-84.

[2] 許 良，高自友. 基于出行時間可靠性的城市交通網絡設計[J]. 系統仿真學報，2008，20(2)：494-498.

[3] Lo H.K.，Tung Y.K.. Network with degradable links：capacity analysis and design[J]. Transportation Research Part B，2003，37(4)：345-363.

[4] Chen A.，Yang H.，Lo H.K.，et al. Capacity Reliability of a Road Network：An Assessment Methodology and Numerical Results [J]. Transportation Research Part B，2002，36(3)：225-252.

[5] Lam W.H.K.，Xu G.. A traffic flow simulator for network reliability assessment[J]. Journal of Advanced Transportation，1999，33(2)：159-182.

[6] Ben-Akiva M.，Leman S.R..Discrete choice analysis：Theory and application to travel demand [M]. Cambridge，MA：M IT Press，1985.

[7] 高自友. 城市交通連續平衡網絡設計：理論與方法[M]. 北京：中國鐵道出版社，2000.