基于IQRD-RLS的自適應均衡算法在DS-SS系統的應用研究

李 明，黃 華，夏建剛

(四川大學 電氣信息學院，四川 成都 610065)

在目前的移動通信領域中，克服多徑干擾、降低出錯率，是提高通信質量一個非常重要的問題。特別是當信道特性不固定時，該問題尤為突出，而自適應濾波器[1]，則完美地解決了這一問題。自適應濾波器的核心就是自適應算法，而自適應算法有很多，如LMS算法、歸一化NLMS算法和RLS算法等，這些算法已經廣泛應用于通信、系統辨識、信號處理和自適應控制等領域。但是這些算法是在有限精度運算條件下，舍入誤差的積累，容易導致算法的不穩定。在實際應用中，需要一個具有略高的運算復雜度且數值穩定性良好的自適應濾波算法。因為一個數值魯棒性好的自適應濾波算法可以用更短的字長甚至定點運算實現，同時又可以減少時延。

本文基于逆QR分解[2]提出了一種更有效逆QR分解的RLS自適應算法 (IQRD-RLS)，它能有效降低計算復雜度、改善矩陣條件數，具有比基于相關矩陣的最小二乘算法有更好的數值穩定性。該算法的主要優點是可以采用脈動陣[3]，并在考慮量化效應時改善算法的數值特性。逆QR分解方法避免了RLS問題的不準確求解問題，并且很容易隨時檢查變換信息矩陣的正定性。通過在(DS-SS)擴頻系統[4]進行仿真，驗證了逆IQRD-RLS算法所具有的特性，起到了減少信道傳輸錯誤、濾除干擾的效果，改善了濾波性能，因而值得繼續深入研究其他基于IQRD-RLS算法的改進算法。

1 基于逆QR分解的RLS算法

數據矩陣的QR分解是：如果復(實)矩陣A可以分解成一個酉(正交)矩陣Q和一個復(實)的上三角矩陣R的乘積，即A=QR，則稱該式為A的一個QR分解。由此可以得到一個長方矩陣的分解定理：設n×r矩陣A∈Cn×r(∈Rn×r)且 rankA=r，則存在 n 階酉(正交)矩陣和 r階與復(實)的正線上三角矩陣 R，使得：

當n=r時，長方矩陣就變成正方矩陣，同樣QR分解定理存在。

基于逆QR分解[5]的遞推最小二乘算法，首先采用Givens旋轉等正交變換把加權輸入信號矩陣變換為上三角矩陣，然后再利用回代法求解三角矩陣方程，計算自適應濾波器的權系數向量。與標準的遞推最小二乘算法一樣，基于逆QR分解的遞推最小二乘算法也是基于最小二乘準則，即：求解權系數向量 w(k)，使估計誤差的指數加權平方和最小。假設x(k)為輸入信號、y(k)為期望輸出信號、N為濾波器階數，則IQRD-RLS算法中的代價函數可以表示為：

式中，λ是遺忘因子，0<λ≤1。代價函數也可以表示為矩陣形式。定義k×k對角矩陣∧(k)如下：

k×1維加權期望輸出信號向量 y(k)和 k×N維加權輸入信號矩陣X(k)定義如下：

誤差向量 ε(k)=y(k)-X(k)w(k)，因此代價函數可表示為：

根據矩陣的QR分解定理，存在一個k×k維正交矩陣 Q(k)使得：

式中，R(k)表示一個 N×N維的上三角矩陣，有時也稱為Cholesky因子；0表示一個(k-N)×N維的零矩陣，對加權期望輸出信號向量y(k)進行相同的正交變換，可以得到：

式中，z(k)為 N×1 維向量，v(k)為(k-N)×1 維向量。由于正交變換不改變向量的范數，則代價函數可以重寫為：

把式(7)、式(8)代入式(9)，可以得到：

從式(10)可以看出，當右面向量中頂部的 N×1維向量等于零向量時，代價函數取最小值，這等價于R(k)·w(k)=z(k)，則 w(k)=R-1(k)z(k) (11)

如果能夠直接更新矩陣R-1(k)，就可以直接計算權系數向量，矩陣R-1(k)被稱為逆Cholesky因子。假設已知R-1(k-1)和 z(k-1)，如果能夠用遞推方式計算 R-1(k)和 z(k)，就可以遞推計算權系數向量。

式中，A 為一 N×N 維方陣，δ=γ(k)，得：

把式(16)、式(17)代入式(11)可得到：

定義一個N×1維狀態向量d(k)如下：

因此向量c可以重寫為：c=-δd(k)

因此w(k)迭代公式為：

式中，e(k)=y(k)-xT(k)w(k-1)，表示自適應濾波器的先驗估計誤差。

從式(23)可以看出，只要求得增益向量g(k)和標量就可以更新權系數向量w(k)。根據定義，這兩個未知量由狀態向量d(k)決定，而d(k)由逆 Cholesky因子R-1(k-1)計算得到。所以，未知量都可以由R-1(k-1)計算得到。

R-1(k-1)滿足下面方程：

因此，角度參數函數的計算公式為：

從以上的算法推斷可知，基于逆QR分解的遞推最小二乘法(IQRD-RLS)的運算總量是7N(N+1)/2+3N+1，而除法和平方根運算次數是3N+1次。

2 IQRD-RLS[6]算法在擴頻系統中的應用仿真研究

直接序列擴頻通信系統通常包括信道編碼器、譯碼器、調制器、解調器以及兩個完全一致的偽隨機序列發生器，其中，一個在發送端與調制器相接，另一個在接收端與解調器相接。而擴頻是通過偽噪聲序列(PN)對發送的信息數據進行調制來實現的。在接收端，原偽噪聲序列和所收信號的互相關運算可將窄帶干擾擴展到DS信號的整個頻帶，使干擾等效為幅度較低、頻譜較平坦的噪聲；同時，將DS信號解擴，恢復原始信息數據。由于窄帶干擾是非高斯的，樣值間有很強的相關性，可以從過去樣值來估計當前樣值。而DS信號頻譜平坦，以Chips率取樣的樣值之間幾乎不相關，所以解擴前利用自適應濾波算法對信號濾波，從當前信號中減去干擾估值，再將差信號與PN碼進行相關解擴，可大大提高直擴通信系統的性能。

為了檢驗基于IQRD-RLS自適應均衡算法在DSSS擴頻系統的抗干擾、降低接收信號錯誤率的性能，本文考慮如下系統功能的信道：從QPSK星座獲得的符號用來訓練一個自適應濾波器，自適應濾波器的系數采用直接決定模式下從16-QAM調制星座獲得的500個符號。信噪比設置為30 dB、自適應濾波器系數為35。在訓練模式下，使用的算法是 LMS(μ=0.001)、NLMS(μ=0.4)和IQRD-RLS(λ=0.99)。結果將顯示為散射圖的輸出信號，該情況下不同數目的訓練符號為 150、300和600，仿真結果如圖1所示。

圖1 仿真結果

從圖1可以看出，IQRD-RLS、LMS和 NLMS三種算法隨著訓練符號的增加，均不同程度上降低了接收信號的錯誤率，提高了接收端接收信號的可靠性，極大地改善了通信質量，特別是IQRD-RLS算法效果更佳。

本文詳細地分析了基于逆QR分解的IQRD-RLS自適應均衡算法在DS-SS系統中的應用。該算法有效降低了計算復雜度和接收信號的錯誤率，改善了矩陣條件數，提高了通信質量，具有比基于相關矩陣的最小二乘算法更好的數值穩定性。本算法還有很多有待改進的地方，進一步的工作就是繼續分析那些更好的算法，以不斷完善系統模型，以期更好地應用于實踐中。

[1]西蒙赫金.自適應濾波器原理[M].第 4版.鄭寶玉，譯.北京：電子工業出版社，2004.

[2]LIU Z S，LI J.A QR-based least mean squares algorithm for adaptive parameter estimation[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems-II： Analog and Digital Signal Processing， 1988，45：321-329.

[3]洪增.矩陣理論與方法[M].北京：電子工業出版社，2006.

[4]藏珍，徐向東.一種基于最小二乘的DS-SS系統搞窄帶干擾方法[J].空軍雷達學院報，2006，20(3)：174-176，179.

[5]姜波，楊軍，張爾揚.稀疏自適應 Volterra濾波的 QRD-RLS 算法[J].信號處理，2008，24(4).

[6]馮地耘，陳立萬.基于 LCMV的 IQRD-SMI自適應數字波束形成算法[J].蘭州理工大學學報，2007，33(1).