基于改進粒子群算法的圓柱度誤差評定＊

喻 曉 ，彭建喜 ，劉建萍

(1.佛山職業技術學院 電子信息系，廣東 佛山 528137；2.佛山職業技術學院 機電工程系，廣東 佛山 528137)

隨著現代精密和超精密加工技術以及納米技術的迅速發展與應用，對機械產品制造精度的要求不斷提高。傳統的以幾何學為基礎的第一代產品幾何技術規范由于在誤差評定模型、數據采集方法等方面存在經驗性、隨意性等缺點，已經不能完全適應現代制造業對誤差評定既準且快的要求[1]。近年來，隨著以計量學為基礎的新一代產品幾何技術規范GPS(Geometrical Product Specification and Verification)系列標準的出現，對形狀誤差的規范評定提出了新的要求。

在形狀誤差的幾種要素中，圓柱度誤差作為衡量軸類零件形狀誤差的主要指標，其精度的高低對產品的質量及其使用壽命有著至關重要的影響，能否實現圓柱度誤差快速、準確的評定具有重要的實際意義。因此，本文以圓柱度精度檢測為例，依據新一代GPS形狀誤差規范認證標準，提出一種帶交叉算子的改進粒子群優化算法應用于圓柱度測量數據的最小區域評定。該算法借鑒了遺傳算法中的選擇交叉操作，通過交叉增加粒子多樣性，充分利用群體粒子的優良特性，跳出局部最優的同時也加快了收斂速度。

1 基于新一代GPS標準體系的圓柱度誤差評定的數學模型

在新一代GPS標準體系中，操作是為了規范幾何產品的誤差評定而提出的概念，是獲得幾何要素的特征值及特征的幾何變動范圍(極限值)的基本數學工具。操作分為要素操作和評估操作。其中，要素操作中的擬合操作定義了基于計量數學的各種擬合目標函數，且用Lp范數定義了最小二乘、最小區域、單邊切比雪夫目標函數的統一數學模型[1]。Lp范數的定義為：

式中，i為非理想要素(即實際被測幾何要素)上特定點的序號；p為函數的級數；n為所采用的非理想要素點的個數；ri為對應于從非理想要素到所擬合的理想要素距離的余量。

最小區域法目標函數的定義是使余量絕對值中的最大值為最小，令式(1)中的 p=∞，即：

在圓柱度擬合操作中，由于圓柱度誤差是單一實際圓柱所允許的變動全量。因此，按最小區域法評定的平面度誤差的關鍵是尋求某一圓柱面，計算被測輪廓上各測量點 Pi(xi，yi，zi)(i=1，2，…，n) 到此圓柱面軸線的距離，令各距離中的最大最小值之差為最小，則此距離差即為圓柱度誤差值，如圖1所示。

圖1 圓柱度誤差示意圖

設理想圓柱面的軸線方程為：

其中，l，m，n為理想圓柱面軸線 L的方向向量。則第 i個點(xi，，yi，zi)到此軸線的距離 di為：

圓柱面度誤差的最小區域目標函數即為：

在以往的圓柱度評定過程中，一般令c=0，n=1，從而將式(5)中的六個變量簡化為四個變量，以減小計算難度及復雜度。但這種做法的前提是假設軸為垂直放置，軸線平行于Z軸，且軸線起點的Z坐標位置為零。而在實際情況中，被測圓柱面往往會因加工或定位誤差導致軸線偏差，此時使用簡化后的公式是無法得到精確的評定結果的。因此，本文針對六個變量的復雜目標函數，提出基于遺傳交叉算子的改進粒子群算法進行圓柱度誤差評定，以獲得準確及高精度的評定結果。

2 基于遺傳交叉算子的改進粒子群算法

2.1 基本粒子群算法

粒子群優化算法PSO(Particle Swarm Optimization)是由Kennedy和Eberhart于1995年提出的一種基于群體智能理論的全局優化方法，通過群體中粒子間的合作與競爭產生的群體智能指導優化搜索[2]。研究實踐表明，PSO在多維空間函數尋優、動態目標尋優等方面有著收斂速度快、非劣解質量高、魯棒性好等優點，特別適合于工程應用。但同時PSO也存在早熟收斂、搜索精度不高、后期迭代效率不高[3]的缺點。

在基本粒子群算法中，每個優化問題被看作是搜索空間中的一個沒有體積沒有質量的飛行粒子，粒子在每一次迭代中通過跟蹤兩個“極值”來更新自己：一個是粒子自身目前找到的最優解，即個體極值pbest；另一個是全局極值gbest，即整個種群目前找到的最優解[4]。找到這兩個最優解后，粒子根據如下的公式來更新自己的速度和新的位置：

2.2 引入收斂因子模型的PSO算法

為有效地控制粒子的飛行速度，使算法達到全局探測與局部開采兩者間的有效平衡，Clerc M在基本PSO的基礎上，構造了引入收斂因子模型的 PSO算法[4]，其位置更新方程同式(7)，速度更新方程如式(8)所示：

實驗結果表明[5]，收斂因子K比慣性權重系數ω，更能有效地控制與約束粒子的飛行速度，增強算法的局部搜索能力。因此，本文在引入收斂因子模型的PSO算法基礎上，借鑒了遺傳算法中的選擇交叉操作，提出了基于遺傳交叉算子的改進粒子群算法。

2.3 基于遺傳交叉算子的改進粒子群算法

基于遺傳交叉算子的改進粒子群算法(GHPSO)借鑒了遺傳算法中的組合交叉和變異思想，通過采用交叉算子產生出代表新的解集的種群。其交叉方法如下：每一次迭代中，取排序后適應度好的前一半粒子直接進入下一代，后一半粒子放入粒子選擇池中兩兩配對，產生一個隨機交叉位置進行遺傳選擇和交叉操作，生成和父代同樣數目的子代后再和父代做比較，選擇適應度好的一半進入下一代，以保持種群的粒子數目不變。這樣通過交叉既可以增加粒子多樣性，跳出局部最優，還可以加快收斂速度[3]。

設a、b分別表示被選擇進行遺傳選擇和交叉操作的兩個父代個體的指針，則該操作的具體計算公式如下：

經過上述計算，在由父代粒子形成的超立方體中隨機產生了兩個新的位置，其中在速率的交叉處將兩個父代個體的速率之和的長度進行了規格化。因此，只有粒子的方向受到影響，數量卻不會改變。該算法流程圖如圖2所示。

圖2 算法流程圖

3 實例驗證與結果討論

本文使用參考文獻[6]給出的兩組圓柱度誤差的測量數據按照之前提出的數學模型和優化算法進行計算分析。根據圓柱度誤差的特性并參考經典PSO參數集[7]，本文設置算法的基本參數如下：

(1)粒子規模數 n：一般取 20～40，本文取 n=40；

(2)粒子維數D：由目標優化函數的自變量個數決定，本文取 D=6；

(3)粒子范圍：根據測點的分布范圍確定；

(4)最大速度 vmax：由于圓柱度的誤差較小，設 vmax=0.02；

(5)最大迭代次數：設為500次；

(6)終止條件：循環達到終止迭代次數或最優適度值連續迭代50次，計算結果差值小于0.000 000 1。

[6]分別應用最小區域法(MZM)和最小二乘法(LSM)對這兩組數據進行了計算；參考文獻[8]和參考文獻[9]則分別應用了遺傳算法(GAM)和基本粒子群算法(PSO)對這些數據進行計算分析。表1和表2為以上幾種算法和本文使用GHPSO算法得到的結果。圖3和圖4分別為GHPSO算法計算這兩組數據時的粒子適應度收斂曲線。由這些表和圖中可以看出，本文針對同一組數據計算得出的結果明顯優于遺傳算法和基本粒子群算法，收斂過程迅速、穩定。

表1 第一組數據計算結果比較

表2 第二組數據計算結果比較

圖3 第一組數據粒子適應度迭代曲線圖

圖4 第二組數據粒子適應度迭代曲線圖

本文根據新一代GPS標準體系給出了圓柱度誤差的定義及誤差評定的數學模型，并將一種帶交叉算子的改進粒子群優化算法應用于圓柱度誤差評定，得到了較好的效果。該改進粒子群算法原理較簡單，且計算效率高，相比其他幾種算法可以更有效、準確地評定圓柱度誤差。同時，將圓柱度誤差的目標函數稍加改變，即可方便地應用于其他形位誤差的評定。因此，該方法作為一種誤差評定方法，對于規范形狀誤差的評定過程具有一定的現實意義與參考價值。

參考文獻

[1]蔣向前.新一代 GPS標準理論與應用[M].北京：高等教育出版社，2007.

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[3]ANGELINE P J.Evolutionary optimization versus particle swarm optimization：Philosophy and performance differences[C].Proc.of the 7th Annual Conf.on Evolutionary Programming.Germany： [s.n.]， 1998.

[4] CLERC M.The swarm and the queen： Towards a deterministic and adaptive particle swarm optimization[C].Proc.1999 Congress on Evolutionary Computation.Washington， DC： [S]， 1999.

[5]EBERHART R C，HU X.Human tremor analysis using particle swarm optimization [C].Proc.1999 Congeress on Evolutionary Computation.Washington， DC： [S]， 1999.

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[7]CARLISLE A，DOZIER G.An off-the-shelf PSO [J].Purdue School of Engineering and Technology， 2001(10)：20-21.

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[9]崔長彩，黃富貴，張認成，等.粒子群優化算法及其在圓柱度誤差評定中的應用[J].光學精密工程，2006，14(2)：256-260.