點球應該射哪邊

陸晶靖

高明的射手和經濟學家有一個共同點：他們都知道如何罰進更多的點球。

2008年，莫斯科的歐冠決賽之夜進入到點球大戰，切爾西的阿內爾卡站在了曼聯門將范德薩的面前，準備罰點球。荷蘭人完全進入了狀態，他大吼一聲，狠狠擊掌，然后伸展雙臂，對著阿內爾卡指了指自己的左邊，好像在說：“你不就是要踢這邊嗎？來呀！”

阿內爾卡開始犯難。此前，切爾西的6粒點球全部射向門將的左邊，范德薩沒有一次撲對方向。實際上，這是個博弈論的經典困境：阿內爾卡知道范德薩愛撲右邊，而范德薩知道阿內爾卡知道他愛撲右邊，可阿內爾卡知道范德薩此時已經知道他知道范德薩愛撲右邊，怎么辦？

球門寬7.32米，高2.44米，點球點距離門線約11米。在世界頂尖球員腳下，球只需0.2秒就能從罰球點到達門線。球罰出后，守門員是不可能有時間反應并做出有效撲救動作的。守門員必須事先決定向哪邊傾斜重心，而球員也必須在看見守門員向哪邊傾斜之前決定把球射向哪個方向。由于不像下棋那樣有考慮的時間，雙方都會盡力向對方掩飾自己的選擇，這種博弈叫“同時行動博弈”，很考驗事先的功課。我們都還記得2006年世界杯1/4決賽中德國和阿根廷的點球決戰，德國隊事先聘請專家分析了13000個點球的錄像，對于阿根廷7個最優秀的點球射手的習慣了如指掌，萊曼只需要根據小紙條上的指令撲救就行，而阿根廷人對此一無所知，輸在了起跑線上。

球員在射點球的時候，一般都會用腳的內側觸球，所以右腳球員偏愛的射門方向多為守門員的右側，左腳將則是門將左側，這個方向我們姑且稱為“自然邊”，門將一般會根據這個規律撲自然邊。西班牙人帕蘭喬斯·韋爾塔統計了1995年至2000年之間西甲、意甲和英超的所有點球數據，球的方向和撲救方向相反的，按照自然邊和非自然邊，得分率分別為93%和95%；而射手和門將同時選擇非自然邊，得分率約為58%；同時選擇自然邊，得分率為70%。

這是一個宏觀數據，在實戰中，如果一個球員總是選擇一個方向，那么守門員只要留點心眼兒，就能判斷出他下一個點球的方向，所以，一個好的點球射手必須時不時選擇自然邊以外的方向。假設選擇左右的概率各為50%，按照帕蘭喬斯的數據，如果守門員選擇左邊，那么射手的成功率為50%×（58%＋93%）＝75.5%；選擇右邊，成功率為50%×（70%＋95%）＝82.5%。也就是說，如果按照隨機策略1：1地選擇左右方向，射手的最低成功率也能達到75.5%。

美國經濟學家迪克西特和奈爾伯夫在這個統計基礎上算出了最優方案：踢球者應該在61.7%的時間里選擇自然邊，38.3%的時間里選擇非自然邊，這樣，無論守門員選擇左還是右，進球率都穩定在79.6%。不是巧合，61.7%，也就是0.617，離黃金分割點0.618只差0.001。

讓我們回到阿內爾卡的位置：范德薩在嘗試擾亂他的心神，挑釁他射非自然邊；而按照習慣，阿內爾卡想選擇自然邊。

阿內爾卡最終把球踢向了自然邊。荷蘭人撲住了這個球，曼聯捧走了冠軍杯。如果這位法國人懂點博弈，他也許會明白，多選擇非自然邊是非常必要的，隊友的成功已經證明了這一點。而美國布朗大學在賽前給切爾西的報告里，也是這么建議的，作者正是經濟學家帕蘭喬斯·韋爾塔。

（張游宇摘自《體育畫報》2010年第23期）