異方差混合轉(zhuǎn)移分布模型的譜分析

朱文剛，楊芝艷

（南京工程學(xué)院 基礎(chǔ)部，南京 211167）

0 引言

平穩(wěn)過(guò)程{yt，t=0，±1，…}的譜表示本質(zhì)上是將{yt}分解為互不相關(guān)隨機(jī)系數(shù)正弦分量之和。與平穩(wěn)過(guò)程{yt}的譜分解相應(yīng)的是其自協(xié)方差函數(shù)也可以分解為正弦分量之和。確定性函數(shù)的Fourier表示是與平穩(wěn)過(guò)程譜分解類似而又為讀者更為熟悉的內(nèi)容。時(shí)間序列的“頻域”分析就是以這兩類譜表示為工具對(duì)平穩(wěn)序列進(jìn)行分析?；谧詤f(xié)方差函數(shù)時(shí)間序列的“時(shí)域”分析為研究時(shí)間序列提供了另一種方法，但頻域分析方法往往對(duì)某些實(shí)際應(yīng)用更具有啟發(fā)性，所以我們有必要研究時(shí)間序列的頻域。近年來(lái)，相關(guān)工作被國(guó)內(nèi)外眾多的學(xué)者廣泛的研究[1～6]，本文將討論的異方差混合轉(zhuǎn)移分布模型譜分析由于其序列之間的顯式表達(dá)式在一般情況下是非線性的，故其譜密度通過(guò)定義難以獲得，所以筆者擬采取基于Herglotz定理的思想求譜密度。

1 模型引入

Berchtold(2003)引入的K個(gè)成分的異方差混合轉(zhuǎn)移分布模型定義如下：

記作 F（yt|h-1）～HMTD（k；p1，…qk）。 這里 F（yt|ht-1）是給定歷史ht-1的條件下jh，yt的條件分布函數(shù)，ht是至?xí)r刻 t時(shí)的所有信息。Φ（·）是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，αk表示第k個(gè)成份的權(quán)重，滿足

2 主要公式的推導(dǎo)及定理的證明

引理1[11]設(shè)k階線性差分方程

其中 α1， …，αk是實(shí)數(shù)，αk≠0，T 是端點(diǎn)為整數(shù)的子區(qū)間。 上述方程簡(jiǎn)記為：A（β）ht=0。 其中 A（β）=1+α1β＋…＋αkβk，β為推移算子。 （2）的通解為：

其中 CIn由初始條件 h0，h1，…，hk-1決定，ξl-t，l=1，2，…，j是 A（z）＝1＋α1z＋…＋αkzk的相異零點(diǎn)，rl是 ξl的重?cái)?shù)。

其中：μkt=φk0+φk1yt-1+…φkpkyt-pk

證明：作變換 x=（yt-ukt）/σkt，我們有

證畢。

假定序列是平穩(wěn)的，且不妨設(shè) E（yt）=0，則 φk0=0。 又由于Andre Berchtold等人所做的是參數(shù)估計(jì)，而這里做的是譜分析，不存在過(guò)度擬合的問(wèn)題，所以我們可以對(duì)階進(jìn)行統(tǒng)一處理。 令 p=max（p1，p2，…，pk），q=max（q1，q2，…，pk）所以模型(1)便轉(zhuǎn)化為模型：

對(duì)某些不足p階的成分令其后面一些回歸系數(shù)為零即可。

定理1在模型(1*)下，其自協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為：

其中：γ-h=γh

證明：令 h＞0，則

證畢。

引理3[11]（Horglotz）定義在整數(shù)集上的復(fù)值函數(shù)是非負(fù)定函數(shù)的充分必要條件是對(duì)任何h=0，±1，…，有（λ），其中 F（.）是（π,-π）上的右連續(xù)非降有界函數(shù)，F(xiàn) （－π）＝0.稱函數(shù) F 為 γ（．）的譜分布函數(shù)，進(jìn)而如果dv，則稱 f為 γ（．）的譜密度。

引理4[11]定義在整數(shù)集上的復(fù)值函數(shù) γ（．）是一平穩(wěn)過(guò)程{yt，t=0，±1，…}的自協(xié)方差函數(shù)的充分必要條件是對(duì)任何h=0，±1，…，有其中F是右連續(xù)、非降、［－π，π］上的有界函數(shù),F（－π）＝0。

引理5[11]定義在整數(shù)集上的絕對(duì)可和的復(fù)值函數(shù)γ（.）是一平穩(wěn)過(guò)程 {yt，t=0，±1，…}的自協(xié)方差函數(shù)的充分必要條件是：對(duì)任何 λ∈［π，－π］，有f（λ）其中 f是 γ（．）的譜密度。

若我們能從上述定理中的遞推公式中解出，并對(duì)它輔以絕對(duì)可和，即的約束，則我們可以由引理5得到

一般來(lái)說(shuō)，這種表達(dá)式不能通過(guò)一步獲得，從而我們提出“三步算法”，在講三步算法之前，我們首先對(duì)（5）、（6）式按次序重新整理。 由（5）、（6）式得到：

三步算法：

第一步：在（7）式中分別令 h=1，2，…p-1 得到 p-1個(gè)方程，這些方程聯(lián)立（8）可得p個(gè)方程組成的線性方程組，從這個(gè)線性方程組中可求得初始條件：γ0，γ1，…γp-1。

第二步：差分方程(7)式所對(duì)應(yīng)的特征方程為：

可以求得其 p 個(gè)根 ξ1，ξ2…ξp，重根按重?cái)?shù)計(jì)算.結(jié)合初始條件由引理1可得

第三步：代入公式

h=0

下面我們針對(duì)幾種特殊的情形來(lái)導(dǎo)出譜密度的具體表達(dá)式。

情形 1：若 k=1，p=q=1。

第一步：遞推公式為

第二步：差分方程(9)所對(duì)應(yīng)的特征方程為1－φ11z＝0，其根為 ξ＝1／φ11（單根）。

所以 γh=C10ξ-h其中 C10由初始條件決定.令 h=0 得 γ0＝，所以

第三步：計(jì)算的表達(dá)式

情形 2：若 k=K，p=q=1。

同上，可計(jì)算出

其中：A=α1φ11+α2φ21+…＋αkφk1，

一般來(lái)說(shuō)，平穩(wěn)序列的自協(xié)方差函數(shù)只滿足引理(4)的結(jié)論，為了使它也滿足引理(5)的結(jié)論，即要求(11)式也成立的話，還必須要求γh絕對(duì)可和，即要求即要求 2即要求

這兩式顯然成立,因?yàn)樗鼈兦『脤?duì)應(yīng)模型一階、二階平穩(wěn)條件，

從上可以看出：（1）在這種特定的情況下，模型若是寬平穩(wěn)（即：一階、二階平穩(wěn)的，則自協(xié)方差函數(shù)必定是絕對(duì)可和的，則譜密度函數(shù)必然存在；（2）混合模型中的某些成分可以是單位根過(guò)程（非平穩(wěn)的），但它們的混合可以是平穩(wěn)的；（3）當(dāng)k=1時(shí),將回到第(1)種情形；（4）金融時(shí)間序列中,有許多模型服從單位根過(guò)程,當(dāng)然混合了單位根過(guò)程的混合模型也必然有其實(shí)際背景[8]。

代入（13）式得

則(14)式變?yōu)椋?/p>

若 A2+4B＝0，則 ξ1＝ξ2（重根）。

所以此時(shí)可設(shè)通解為：γh=C10ξ1-h+C11ξ1-h=（C10＋C11h）ξ1-h。 由初始條件 γ0，γ1知：C10=γ0，C11=γ1ξ1-γ0。所以：γh=［γ0＋h（γ1ξ1-γ0）］ξ1-，從而

3 結(jié)論

本文已討論了一類新的時(shí)間序列(HMTD)模型的譜分析問(wèn)題，這類模型是MAR(mixture autoregressive)模型[2]的推廣，而MAR模型又是AR(autoregressive)模型的推廣，考慮實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性，對(duì)它的譜分析不僅有理論上的價(jià)值，而且有實(shí)際上的需要。

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