動態(tài)測量誤差損失函數(shù)研究

張月義，宋明順，韓之俊

（1.中國計量學院 經(jīng)濟與管理學院，杭州 310018；2.南京理工大學 經(jīng)濟管理學院，南京 210094）

0 引言

20世紀60年代末期，Taguchi博士將質(zhì)量損失函數(shù)和他提出的信噪比（SN比）應(yīng)用到測量領(lǐng)域，逐漸形成一門新的學科《測量質(zhì)量工程學》[1]。測量質(zhì)量工程學在評價測量系統(tǒng)的優(yōu)劣、開發(fā)質(zhì)高價廉的測量系統(tǒng)、選擇和配備適宜的測量設(shè)備等方面有著廣泛的應(yīng)用。目前，在日本計量領(lǐng)域，以田口為代表的測量質(zhì)量工程學的思想和技術(shù)方法占據(jù)著主導地位。在日本計量管理協(xié)會，由于通商產(chǎn)業(yè)省的大力支持和宣傳，極力鼓勵和指導工程技術(shù)人員在實踐中加以應(yīng)用，現(xiàn)已取得了良好的經(jīng)濟和社會效益。傳統(tǒng)評價測量質(zhì)量優(yōu)劣的方法是用測量不確定度評定的方法進行的[2][3]，在測量質(zhì)量工程學領(lǐng)域則用測量特性信噪比和測量誤差損失函數(shù)來表征測量質(zhì)量的優(yōu)劣。但在現(xiàn)有關(guān)于測量誤差損失函數(shù)的文獻中[4][5]，都是針對被測量為靜態(tài)即被測量固定不變的情況，對于動態(tài)測量情況下的測量誤差損失函數(shù)沒有研究。本文在研究田口靜態(tài)測量誤差損失函數(shù)的基礎(chǔ)上，研究了動態(tài)測量的測量誤差損失函數(shù)。在實際的測量系統(tǒng)評價過程中，可能是測量幾個標準物質(zhì)進行的；還可能是在工作現(xiàn)場，工作人員隨機抽取幾個實物進行測量質(zhì)量評價。本文將分為上述兩種情況進行研究，并給出針對實際問題的應(yīng)用實例。

1 靜態(tài)測量誤差損失函數(shù)

在測量質(zhì)量工程學中，使用測量誤差二次損失函數(shù)來表征測量質(zhì)量。設(shè)測量特性的真值為m，其測量結(jié)果為y，當y≠m，則造成質(zhì)量損失，且|y-m|越大，E［L（y）］越大。 設(shè) L（y）在y=m處存在二階導數(shù)，按泰勒級數(shù)展開公式有：

不失一般性，若 y=m 時，L（y）=L（m）=0；又因為 L（y）在y=m時達到極小，故L′（m）=0；再略去二階以上的高階項，因此有：

該函數(shù)稱為測量誤差損失函數(shù)。對該函數(shù)兩邊求數(shù)學期望，則有：

稱 E［L（y）］為測量質(zhì)量水平。

當進行重復測量時，設(shè)被測量的真值仍然為m，測量觀測值分別為 y1，y2，…，yn，稱：

2 動態(tài)測量誤差損失函數(shù)設(shè)計

當被測量為動態(tài)特性時，其目標值（即被測量真值）隨著被測量的變化而變化。設(shè)測量結(jié)果的測量特性值為y與被測量 M 之間存在線性關(guān)系，則有 y～N（α+βM，σ2），即：

其中，M 為被測量，ε～n（0，σ2）。

當被測量變化時，測量結(jié)果的動態(tài)特性值y會取一系列隨機值。對于動態(tài)的測量特性，與靜態(tài)測量誤差損失函數(shù)不同的是，目標值m不是固定值，而是一個隨被測量變化而變化的目標函數(shù)，即有：

與靜態(tài)測量誤差損失函數(shù)相似，我們定義動態(tài)測量誤差損失函數(shù)為：

這里的損失系數(shù)K可以用相同的方法確定，當知道測量特性值與目標值偏離△時的損失為A元時，損失系數(shù)K=A/Δ2。但式（7）中的α，β，是未知常數(shù)，即使再給出一個被測量M得到一個測量特性值y也無法計算L（Y）。

對式（7）求數(shù)學期望，并將式（5）代入得：

簡記為：

由此可見，確定動態(tài)測量誤差平均損失的關(guān)鍵是求出測量誤差方差的估計值σ^2。

2.1 測量幾個標準物質(zhì)時動態(tài)測量誤差損失函數(shù)

在實際衡量測量誤差大小時，有時是用一些標準物質(zhì)測量若干次來評價測量質(zhì)量特性。

設(shè)有 k 個標準物質(zhì) M1，M2，…，Mk，稱 M 為被測量（信號因子），M1，M2，…，Mk為 M 的 k 個水平，對每個標準物質(zhì)，進行r0次獨立重復測量，測量結(jié)果如表1所示。

表1 測量結(jié)果數(shù)據(jù)表

在表1中，Ti為標準物質(zhì)為Mi時重復測量ro次所得測量特性值之和，T表示所有kr0次測量的測量特性值之和。根據(jù)最小二乘法原理，測量誤差損失函數(shù)的確定步驟為：

（1）求 α，β 的估計值

（2）進行波動平方和分解

總波動平方和ST為：

其自由度為：

信號M引起的波動平方和Sβ為：

相應(yīng)自由度為：

測量誤差引起的波動平方和Se為：

2.1 測量幾個實物時動態(tài)測量誤差損失函數(shù)

在工作現(xiàn)場有時是測量幾個實物來評價測量系統(tǒng)測量質(zhì)量的。設(shè)在工作現(xiàn)場隨機抽取k個實物，其未知的真值分別用M1，M2，…，Mk表示，對每個實物進行r0次獨立重復測量，測量結(jié)果表與表1基本致，只是測量實物時信號因子M未知。此時，Ti為實物Mi時重復測量r0次所得測量特性值之和，T表示所有kr0次測量的測量結(jié)果之和。

與測量幾個標準物質(zhì)相比，除了真值未知外，按照最小二乘法原理，只有信號M引起的波動平方和計算公式不同，其他計算過程基本一致。測量幾個實物時，實物M引起的波動平方和計算公式為：

（4）求動態(tài)測量的測量誤差損失函數(shù)

對于動態(tài)測量誤差損失的數(shù)學期望可以由式（8）得：

將式（17）代入式（18）得動態(tài)測量的測量誤差損失函數(shù)的估計式為：

相應(yīng)自由度為：

（3）求測量誤差方差的估計值

此時，測量誤差引起的波動平方和Se為：

相應(yīng)自由度為：fe=k（r0-1）

則測量誤差方差的估計值為：

于是未知信號因子時測量誤差損失函數(shù)的估計式為：

3 例證

三坐標測量儀是一種常用測量工具，主要用于測量復雜形狀表面輪廓尺寸。為研究某三坐標測量儀的測量性能，工程師選擇了五種標準零件：M1=10mm，M2=15mm，M3=20mm，M4=25mm，M5=30mm。每種標準零件測量3次，測量結(jié)果如表2所示。

表2 三坐標測量儀測量數(shù)據(jù)表

設(shè)該三坐標測量儀的最大允許誤差 （即容差△）為0.020mm，測量誤差超出最大允許誤差時的損失為20元，試確定該三坐標測量儀的測量誤差損失函數(shù)。

解：（1）計算 α，β 的估計值

于是：

（2）進行波動平方和分解

總波動平方和ST為：

其自由度為：

f總=kr0-1=5×3-1=14

信號M引起的波動平方和Sβ為：

相應(yīng)自由度為：

fβ=1

測量誤差引起的波動平方和Se為：

相應(yīng)自由度為：

fe=kr0-2=5×3-2=13

（3）求測量誤差方差的估計值

（4）求動態(tài)測量的測量誤差損失函數(shù)

由于Δ=0.02mm，A=20元，則損失函數(shù)的系數(shù)為K=

由（19）式計算測量誤差損失的估計值為：

計算結(jié)果表明，上述15次測量的平均測量誤差損失為1.028元。

現(xiàn)在假定被測量是工作現(xiàn)場隨機抽取的實物進行測量，其余條件和測量結(jié)果完全一致。測量誤差損失函數(shù)的計算步驟中被測量M引起的波動平方和為：

自由度：fM=4

測量誤差引起的波動平方和為：

Se=ST-SM=749.8302769-749.8300303=0.0002466

相應(yīng)自由度為：

則測量誤差方差的估計值為：

損失系數(shù)的確定方法與測量幾個標準一致，K=50000。

于是測量幾個實物時測量誤差損失的估計值為：

計算結(jié)果表明，如果我們用實物去測量，造成的損失要比用已知信號因子測量時大些。

4 結(jié)束語

傳統(tǒng)測量系統(tǒng)分析經(jīng)常用隨機測量誤差標準差或測量結(jié)果不確定度來表征測量質(zhì)量的優(yōu)劣。在田口創(chuàng)建的測量質(zhì)量工程學理論中，用測量誤差損失函數(shù)和測量特性的SN比加以描述。但現(xiàn)有的測量誤差損失函數(shù)只是針對被測量是固定值的情況。實踐中被測量往往是動態(tài)變化的。本章在研究靜態(tài)測量誤差損失函數(shù)的基礎(chǔ)上，提出了動態(tài)測量誤差損失函數(shù)，詳細介紹了確定動態(tài)測量誤差損失函數(shù)的步驟，包括測量幾個標準和測量實物時測量誤差損失函數(shù)的確定方法，并通過具體實際問題進行了應(yīng)用舉例。

[1]韓之俊，靳京民.測量質(zhì)量工程學[M].北京:中國計量出版社,2000.

[2]王偉，宋明順，陳意華等.蒙特卡羅方法在復雜模型測量不確定度評定中的應(yīng)用[J].儀器儀表學報，2008，29（7）.

[3]Stephen V C,Robert D M.A Two-stage Monte-carlo Approach to the Expression of Uncertainty with Non-linear Measurement Equation and Small Sample Size[J].Metrologia,2006,（43）.

[4]趙宇，陳松濤.用田口方法推斷校準儀器的測量不確定度[J].電子測量與儀器學報，2005，19（2）.

[5]薛躍，盛黨紅，朱立峰等.田口式測量質(zhì)量工程學與傳統(tǒng)MSA的比較分析[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2006，（8）.