基數約束下基于CVaR度量的投資組合優化模型

王 波，高岳林

（北方民族大學 信息與系統科學研究所，銀川 750021）

0 引言

投資組合選擇是現代金融理論的核心問題之一,主要解決的問題就是如何把一定數量的資金分配到不同的資產當中去,使得在小于某一給定的風險水平下最大化收益或者在收益滿足一定閾值下最小化風險。因而,如何度量風險就成為非常重要的課題。

風險價值［1］VaR反映一項資產或資產組合在一定的持有期內、給定的置信水平下潛在的最大損失。作為VaR的改進,Uryasey與 Rockafellar［2］提出了條件風險價值 CVaR的優化投資組合的模型,并得出CVaR最優化投資組合與VaR最優化投資組合近似一致的結論。其含義是：組合損失超過VaR的條件均值,也稱為平均超額損失,平均短缺或尾部VaR,它反映了損失超過VaR閥值時可能遭受的平均潛在損失的大小。CVaR是一致性的風險度量,已成為金融風險度量的有力工具。

近年來,國內關于基于條件風險價值度量的投資組合以及考慮實際市場摩擦如交易成本方面的文章很多,但是對于考慮基數約束和整手交易下的投資組合問題研究相對較少。胡支軍,張珣解決了基數約束下的指數追蹤問題,王懿［4］,陳志平等研究了多元t分布下帶有基數約束的投資組合問題。本文根據我國實際證券市場條件,考慮整手買入交易和折線交易費用［5］,建立了帶有基數約束的投資組合優化模型,利用進化算法求解并進行了實證分析,數值結果表明模型的合理性和算法的有效性。

1 條件風險價值簡述

設 f（x，y）是在決策向量 x下的損失函數,其中,向量可以看成是組合中各資產的頭寸或者權重，x∈X?Rn，X為可行集。向量表示對影響損失的市場因子,如市場價格或收益率。對每一個x，由y引起的損失f（x，y）是R上服從某一分布的隨機變量。為方便起見,假設y的概率密度函數為p（y），則損失f（x，y）不超過某一閾值△p的概率為：

作為在x固定時△p的函數,ψ（x，△p）是與 x對應的損失的累積分布函數,關于△p非減右連續,與給定置信水平α下的損失對應的α-VaR與α-CVaR值分別為：

2 基于CVaR度量的投資組合優化模型建立

為了敘述方便,我們做以下符號解釋,Qi，i=1，2，…，n 代表第 i種股票;ri，i=1，2，…，n 代表 i種股票的收益率;Pi，i=1，2，…n 代表 i種股票的價格;dbi，i=1，2，…n 代表買入第 i種股票所要征收的交易費用；ratio代表投資在一只股票上的資金比例上限;C代表初始資本（單位：元）；a代表置信水平;Zi={0，1}，Z z代表（0，1）整數變量；l和 u 代表股票持有種數的上下限;k1,k2代表股票的持有量的上下限。

2.1 目標函數

本文假設資產收益率為正態分布,我們在文獻的基礎上得出本文的目標函數。

記 r=（r1，r2…n） 為收益率向量,x=（x1，x2…n），x∈z為決策變量,假設 rN（μ,V）,其中為組合的期望收益,V為r的方差協方差矩陣,則收益（x）），其中，σ2（x）=（Px）V（Px）PxT，Px=（P1x1，P2x2…Pnxn）。 因此損失f=-記買入證券時的交易費用為則凈收益為xi我們給出VaR和CVaR具體公式：

其中,Zα為標準正態分布的α下側分位數，φ（·）為標準正態分布下的密度函數,φ（·）為標準正態分布下的分布函數。

2.2 約束條件

（1）收益約束

（2）資產價值約束

（3）資產投資比例約束

（4）基數約束

（5）不允許賣空約束

綜上我們給出帶有基數約束的投資組合模型

其中 i=1，2，…n.

3 算法描述

3.1 自適應差分進化算法簡介[7]

差分進化算法[8-9]是由Rainer Ston和Kenneth price為求解切比雪夫多項式而于1995年共同提出的一種浮點矢量編碼在連續空間進行隨機搜索的優化算法。DE的原理簡單,受控參數少,實施隨機、并行、直接的全局搜索,易于理解和實現。DE算法的個體由實值向量組成,它們的維數D即為目標函數變量的個數,NP為種群的規模,由用戶自己設置。我們給出解決整數規劃的自適應差分進化算法如下:

3.1.1 變異操作

設當前進化個體為xit，i為當前個體在種群中的序號，t為當前進化代數。從當前進化個體重隨機選取三個個體xt，取這兩個個體向量的差經縮放因子F放大后加到第r1個個體向量上得到變異個體

其中,t代表當前迭代代數,T最大迭代代數,round（·）為取整函數。

3.1.2 交叉操作

變異后的個體ut+1i和種群中當前的進化個體以離散交

3.1.3 選擇操作

3.2 約束處理

綜上,我們給出求解模型的自適應差分進化算法實現過程如下。

第1步：定義差分進化算法中包含的粒子數目和維數。

第2步：設定變異概率值和縮放因子上下限值。

第 3步：用 round（rand（））命令產生一個每行元素中 1的個數之和在k1到k2之間的矩陣A。

第 4 步：用 round（l+（u-1）+*rand（））產生一個每行元素在l到u之間的矩陣B，其中l為大于0的整數。

第5步：將上述產生的兩個矩陣A和B中的元素按照各自的位置對應相乘得到矩陣 C,此過程中已經保證約束（7）、（7a）、（7b）成立。

表1 不同置信水平下的計算結果

第6步：計算出滿足約束的粒子的適應值.將適應值最小的個體信息和對應的適應值記錄下來。

第 7 步：按照（8）、（9）式進行交叉操作產生實驗個體,并判斷實驗個體trail的每一維是否在l到u之間,如果超出邊界約束將該個體的當前維賦值為 round（l+（u-1）+*rand（）。

表2 不同收益閾值下的計算結果

第8步：（1）找出上述實驗個體trail中非零元素個數,如果非零元素個數超出邊界約束k1,k2,我們將按照第3步，第4步的做法產生一個新的個體trail1

（2）對上述產生的個體trail1進行（6）式的約束判斷,如果滿足執行第9步,否則,按照第3步,第4步的做法產生一個新的個體trail1,直到滿足（6）式。

第 9步：按照（10）式進行選擇操作,找出最優個體和最有個體對應的最優值。

第10步：不斷更新個體的最優值,直到滿足程序的終止條件,輸出結果。

表3 收益閾值s=1500下的計算結果

表4 不同置信水平和不同收益閾值下的計算結果

4 實證分析

4.1 資產選取

為了分散風險,本節挑選不同行業、不同流通盤的股票進行投資,選取了滬深股票市場八支股票進行投資。十六支股票分別是：長春高新（000661）,新大陸(000997),飛亞達A(000026),S上石化(600688),東方電氣(600875),雙錢股份(600623),民生銀行(600016),長春經開(600215),深發展A(000001),曙光股份(600303),浪潮軟件(600756),酒鋼宏興(600307),隆平高科(000998),招商地產(000024),華夏銀行(600015),中化國際(600500)。

4.2 數據預處理和算法參數設置

我們選取十六支股票2009年3月20至2009年7月31日20周的收盤價作為計算數據.我們用以下表達式計算股 票 的 周 收 益 率 ri，t=ln（pi，t-ipi，t）,其中pi，t和pi，t-i分 別 代 表 第 i支股票（i=1，2，…，16）t和 t-1 時刻的周收盤價.我們用MATLAB 7.0進行編程計算,算法中參數設置為：種群規模N=80,迭代代數 gen=500,縮放因子 F_max=0.8，F_min=0.4，變異概率CR=0.6懲罰因子sigma=106。

4.3 實驗結果分析

我們將初始資金C=50，000（單位：元）,投資資產數目上下限設定為k1=5,k2=8(單位：手,1手=100股),持股數量上下限設定為l=2,u=5,ratio=0.2.

（1）數值試驗中,我們首先將期望收益收益率閾值設定為s=1400元,由表1知,在不同的置信度水平下,我們得到投資的資產和買入量,以及收益值、損失值、投入資金值(單位:元).從損失值看,高的置信度表示投資者越厭惡風險,從而估計的風險就越大,這也反映了對于保守的投資者而言,他們將會選擇較大的置信度。從投入資金值、收益值上分析,都滿足模型中（4）、（5）的約束,從而也說明算法的運行結果是可行的。

圖1 不同置信水平下的風險有效邊緣

(2)在置信水平αlpha=0.95水平下,表2,表3分別給出了收益率閾值s從1000元增加到1500時,所投資的資產和買入量,以及收益值、損失值、投入資金值(單位:元)。首先,隨著收益閾值s的增加,損失值也不斷增加,投入資金值也增加,這也滿足高投入高產出,高風險高收益的原則。其次,投資的股票只數也從八只減小到了六只,趨于集中,相對而言不利于分散風險,所以對應的風險損失值也會增大。

（3)表4我們給出了不同置信水平下,收益率閾值 s從1000增大到1500時,對應的CVaR值,從表4中可以看出,隨著收益率的增加,條件風險價值CVaR值也隨著增加。根據表4數據繪制出收益風險的有效邊緣見圖1,從圖1可以看到,置信水平越小,投資組合有效邊緣越靠近圖形的左上方,這是因為置信水平越高,投資者厭惡風險的程度越高。在相同的期望收益下,置信水平較低的對應的風險也相應較小,這也符合理論研究結果。

由上述分析我們可知,模型和運行的結果也是合理的,自適應差分算法對解決我們提出的模型是合理的。

5 結論

本文用CVaR來度量投資組合的風險,考慮了我國證券市場不允許賣空的條件,建立帶有基數約束的考慮整手買入的投資組合模型.利用罰函數處理約束收益,運用差分進化進行求解,并采用滬市和深市的十六種股票作為備選股票。數值結果表明了模型的合理性和算法的有效.我們計算出了不同收益閾值下的買入量、收益值、損失值、投入資金值,為投資者提供了決策參考。

[1]Philippe J.Value atRisk:the New Benchmark forControlling Market Risk[M].Chicago:Irwn Prefessional，1996.

[2]Rockafellar R T，Uryasev S.Optimization of Conditional Valueat-Risk[J].The Journal of Risk，2000.

[3]胡支軍，張珣.帶有基數約束的指數跟蹤問題及其粒子群算法求解[J].黑龍江大學自然科學學報，2009，26（5）.

[4]YiWang，Zhiping Chen,Kecun Zhang.A Chance-constrained Portfolio Selection Problem Under T-distribution[J].Asia-Pacific Journal of Operational Research，2007，24（4）.

[5]高岳林，苗世清.考慮交易費用的投資組合優化模型研究[J].商業研究，2010，396（4）.

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[7]高岳林，劉俊芳.自適應差分進化算法[J].河北工程大學學報，2008，25（4）.

[8]R.Storn,K.Price.Differential Evolution-a Simple and Efficient Adaptive Scheme for Globle Optimization over Continuous Spaces[R].Technical Report,International Computer Seience Institute，1995，（8）.

[9]R.Storn,K.Price.Differential Evolution-a Simple and Efficient Adaptive Scheme for Globle Optimization over Continuous Spaces[J].Journal of Global Optimization，1997，11（4）.